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Zmn-0124 一阳生：大错特错的薛问天老师
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Zmn-0124 一阳生：大错特错的薛问天老师
【编者按。下⾯是一阳生先生的来稿。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
大错特错的薛问天老师
一阳生
关于下面四个问题我认为完全能驳倒薛问天老师。当然大错特错的也有可能是我，希望薛老师不必介意。烦请文清慧老师转发薛老师并可在评论上发表，谢谢！
第一：从《Zmn-0079》您的回复中我看到了多处类似下面的回答：
【我们之所以能从【P(n)是已知真】直接推出【P对于所有的自然数都是真的】是因为你说了n是【任一自然数】。 说 「任一自然数n，P(n)为真。」就等于在说 「每一自然数n，P(n)为真 。」和 「所有自然数n，P(n)为真。」所以归根到底还是对全称量词的正确解释和理解的问题。不是需要给出【证明】的问题。】
这种类似的回答充斥全篇，我的几乎任何论据，您都用这种回答挡回去。
首先我把我关于这个问题的最终观点重申一下：
【如果用具体的变量符号(如n)表示某个一般性的自然数，那么全称量词“所有”并不等价于量词“任一”或“每一”。】
我是使用条件命题来表达的，如果不用变量符号表达，那么说“任一”等于是说“所有”。如「任一自然数都是有限的」等于是说「所有自然数都是有限的」。但若用变量符号(如n)表达如「对于任一自然数n，n是有限的」则并不等于是说「所有自然数都是有限的」；还需要证明n'也是有限的。
我不认可用全称量词“所有”作为某具体变量的修饰词，如「所有自然数n，P(n)为真。」；我认可这种表达「所有自然数，P为真。」
我的【对于任一自然数n(或设n是自然数)，则以n为元素的自然数集合可以表示为{0,1,2,3…n,n+1,n+2,n+3…}。】正如您的猜想【我猜想，你想要说的是:「全体自然数的集合」是 {0,1,2,3…n,n+1,n+2,n+3…}。其中的n是任一自然数。】
根据您的【既然 「所有自然数n，P(n)为真。」把它换成等价的「所有自然数m，P(m)为真。」自然不仅对m=0,1,2,3,...,n，P(m)为真，对m=n+1,n+2,...P(m)也为真。】和您的【皮亚诺公理五(C)：任何自然数，或者是0，或者可以由0经有穷次的后继运算而得到。】。m固然可以等于n+1,n+2,...P(m)也为真，但n经过有穷次(如x次)的后继运算即可等于m，n+x=m。那么对于n+x+1即m+1，n+x+2即m+2，…，性质Ｐ关于它们的真假依然不确定。
聪明如您，一定能猜想到我想要表达什么。请不要纠缠于我在表述上的可能不严格。您已经有了足够的思考时间，再次请您直接回答【对于任一自然数n(或设n是自然数)，则包含但不限于n为元素的全体自然数集合可以表示为{0,1,2,3…n,n+1,n+2,n+3…}。】这个判断的真假！当然变量n可以被替换成m。
您的【(2) 一阳生先生对皮亚诺公理五作了一些分析后所得的对公理五的理解:【 对于任一自然数n，P(n)真且P(n‘真，才能得出P对于所有的自然数都是真的。】是错误的。错误出在把【对于任一自然数n，P(n)真作为前提】。】和您的【另外我建议一阳生先生读点《数理逻辑》的书，最好用大家公认的词汇。一阳生这里用的【 验证真】、【 假设真】和【 已知真】都不是规范的词语。使读者很难确切地把握它的严格含义。】
首先感谢您的批评建议，我的知识浅薄，空闲时一定会加强学习数理逻辑知识。现在我把关于公理五的分析中不规范的用词去除，希望能够简洁准确的表达我想要说的。公理五在形式上 【「P(0)真且P(n)真且P(n')真」推出 「对于所有自然数,Ｐ真」】。我认为「对于所有自然数,Ｐ真」推出「对于任一自然数n,Ｐ(n)真」；反之不然。我认为量词“任一”和“所有”有微妙的差别，从我的角度，P(n)真是前提，而不是结论。显然通过公理五形式上的表述，P(n')真对于推出结论不可或缺！
第二：您在《Zmn-0067 薛问天；评一阳生先生的《两个问题》》中的：
【(一)关于皮亚诺公理的一些补充和说明。
…我们称滿足公理一、二、三和四的集合为「归纳集」 。显然上述S1，S2己不是归纳集，归纳集必须是无穷集。但是归纳集仍不能确切刻划自然数。因为例如集合S3=｛0，1，2，3，......，a0，a1，a2，a3，......｝，其中规定对所有的n，n的后继是n+1， an的后继是a(n+1)。显然S3是归纳集，但不是自然数集。
再例如S4是非负的实数集合。令后继就是实数的加1运算。显然S4是归纳集，但不是自然数集合。所以需要下述公理五。
一阳生所述的
【皮亚诺公理五：设P是关于自然数的一个性质。验证P(0)是真的，并假设只要P(n)是真的，P(n‘)也是真的。那么性质P对于所有的自然数都是真的。】
确切点可改写如下:
皮亚诺公理五(A)：设P是关于自然数的一个性质。如能证明P(0)是真的，以及能由P(n)是真的，推出P(n‘)也是真的。那么性质P对于所有的自然数都是真的。
这个表述形式也称之为自然数的数学归纳法。即皮亚诺公理五(A)：自然数的数学归纳法成立。】
首先您对皮诺亚公理五进行了改写，我也对皮诺亚公理五修改简化一下(如果错误请直接指出并说出关键理由，我不接受仅仅用不规范让人难以理解等语言进行一带而过的反驳)：
皮亚诺公理五(D)： 如果「P(0)真且P(n)真且P(n')真」，那么 「对于所有自然数,Ｐ真」。
其次对于归纳集Ｓ3=｛0，1，2，3，......，a0，a1，a2，a3，......｝，如果p(a0)假，那么皮诺亚公理五(D)作为蕴含关系命题前提为假依然成立。
所以我的结论是归纳集已经满足自然数五条公理，公理五没有进一步规定自然数的性质，如限制自然数的外延。(自然数的进一步性质由加法定义规定)
第三：我在《Zmn-0065 一阳生：两个问题》关于：
【加法定义：设m是自然数.为使m加上零，我们定义0+m:=m.现归纳的假定已定义好如何使m加上n.那么把m加于n’则定义为n’+m:=(n+m)’.
加法定义首先规定了两个自然数可以相加(+)，相加的结果是有意义的(与等号右边的某自然数相等)，或者说这定义了加法运算。这根据加法定义可用数学归纳法直接证明。其次规定相加的结果等于某特定自然数(如0+m:=m而不是0+m:=m’；0’+m=m’而不是0’+m=(m’)’)，或者说这假设了自然数之间的关系。】
而您在《Zmn-0067 薛问天；评一阳生先生的《两个问题》》中的反驳是：
【(1) 我们在前面的A.(三)中己说过，自然数加法的两个规定，实际上是釆用的「归纳定义」的方法对加法运算的定义。由于自然数的加法要对所有的自然数加以定义，而自然数有无穷多个，怎么定义。我们利用自然数的「归纳结构」，即「自然数要么是0，要么是由0经有穷次的后继运算而得到。」采用只有两项的「归纳定义」即可对所有自然数定义加法。按此定义对任何自然数都可在有穷步内求出加法运算的函数值。所以说【加法的两个规定】只是【定义】而不是什么【前提】。…】
您关于我的“两个规定”中的第一个规定进行详细的解释，我认为是在帮助我而不是反驳我。而对于第二个规定您却视而不见，刻意的忽略。
我现在在符合第一个规定和您的符合「归纳定义」的条件下重新定义加法n+m如下：
(1)n=0，0+m=m'，
(2)己知n+m的定义，n'+m的定义为:n'+m=(n+m)'。
对任意的自然数n，n+m的和要么可以直接应用(1)求出(n=0)，要么可以在有穷次的应用(2)后而求出，即逐步求出0+m，1+m，2+m，......，最后求出n+m。
0+0=1 1+0=2 2+0=3 3+0=4 4+0=5…
0+1=2 1+1=3 2+1=4 3+1=5 4+1=6…
0+2=3 1+2=4 2+2=5 3+2=6 4+2=7…
…………
可证重新定义的加法运算满足交换律。
所以我认为加法定义不仅仅是一种归纳定义，而且规定或假设了一种自然数之间的关系，可以称呼为加法公理。显然集合论决定不了0+m=m还是0+m=m'。请薛老师对我重新定义的加法定义进行针对性的评论！
第四：您在《Zmn-0079 薛问天：对全称量词和皮亚诺公理的正确理解-评一阳生更大的疑惑》中的
【(7) 一阳生提出的 另有一个问题【是否可以把集合论中元素集合之间的属于关系(ϵ)定义为:若对象与集合中的某一元素相等(=)，则对象属于(ϵ)集合。】如果不这样定义，如何证明:若y=a，则yϵ{a}。
属于关系 ϵ在集合论中是原始概念，并无单独的定义。它的含义是由所有的集合论公理所给定的。
集合论的外延原则(外延公理)规定，集合是由它所包含的全部元素决定的。换句话说，如果两个集合它们包含的元素完全相同，则它们是同一个集合。这种同一关系用等号「=」表示。
由外延原则规定的集合相等(=)关系，并不是集合的某个个别属性的相等，而是逻辑上的对象的同一，即集合相等就意味着它是同一个集合，在逻辑上是同一个对象，它们所具有的一切属性都是完全相同的。因而如果a∈A，a=b，自然有b∈A，因为a和b是同一个对象。如果有a∈A，A=B，自然也有a∈B，因为A和B是同一个对象。这些都是不言而喻的，不需要定义或证明，是由逻辑上的同一律所规定的。这就是说，一阳生先生所说的【 若对象与集合中的某一元素相等(=)，则对象属于(ϵ)集合。】并不需要另外定义或证明，是由相等(=)的含义，即同一个对象所规定的。
至于命题【 若y=a，则yϵ{a}。】可以这样证明: 由于 aϵ{a}，从y=a即可知 yϵ{a}。】
首先根据以前向您的请教学习，我大胆的认为我们取得了如下一致的认识：
[两个对象的相同(或者叫同一)和同一个：两个对象如等式1+1=2中的两个“1”，在概念(我认为用词上“概念”比“逻辑”更能够精确的表达)意义上是相同的或同一的，即属同一个概念；但却是存在意义上不同的两个“1”，即不是存在意义上的同一个1，否则加法运算有什么魔力能把存在上的同一个1变成2呢！所以数学中每一个对象都是独一无二的存在，即使两个对象表达形式相同(如同一思维过程中的两个常量“1”、两个变量“X”)，不能认为一定是同一个对象，只能认为属于同一个概念。]
其次我总结一下您的观点：[两个对象相等当且仅当它们相同当且仅当它们同一，彼此相互替换后的判断依然成立，不需要证明，这是由逻辑上的同一律决定的]。
关于相同与相等的关系
一、数学中自然数公理四：[不同的自然数有不同的后继数，即(a≠b)→(a'≠b')]。公理四是蕴含关系命题。我有三种认识：
1、[a与b不同]用[a与b不等]表达，可以认为[两对象不同当且仅当两对象不等]，即[相同当且仅当相等]。但是没有告诉我们相同或相等是什么。
2、[a与b不同]用[a与b不等]表达，可以认为[a与b不同→a与b不等]；反之相等不一定相同。因为自然数公理并没有定义相同与相等是什么，不能预先假定相同或相等的内涵。
3、根据[(a≠b)→(a'≠b')]，在不预先规定相等或相同内涵(自反性、对称性、传递性、替换性)的前提下，如何否定[(a=b)→(a'≠b')]呢？
二、严格的集合论外延公理形式：[给定任何集合A,B,X，(A=B)当且仅当(X∈A当且仅当X∈B)。]。用“属于”关系定义了“相等”关系。
经过考察没有出现“相同”概念。从何得出[相等当且仅当相同]呢？
再次逻辑上的同一律仅仅只是要求(并不能保证)同一思维过程中的概念和判断保持同一，并不能保证相同或相等的两个对象彼此替换后判断依然成立。这只能由定义具体的相等关系保证成立。当然最重要的如果没有定义相等或相同的具体内涵，甚至无法理解同一律和同一律中关键概念“同一”。
最后总结一下您的思路【[若y=a，则yϵ{a}。]的依据依然是对象y与集合中的某元素a是否相等(或相同或同一)。如若相等，它们所具有的一切属性都是相同的，彼此相互替换后的判断依然成立，不需要证明，这是由逻辑上的同一律决定的。】
通过上面的分析，显然不是同一律在决定，同一律不是公理，而是必须先把相等关系的内涵(自反性、对称性、传递性、替换性)定义完毕。
显然[如果有a∈A，A=B，自然也有a∈B…]需要证明也可以证明：根据集合相等定义即可证明。
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