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Zmn-0133 薛问天：评师教民《讨论微积分的活动的总结》
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Zmn-0133 薛问天：评师教民《讨论微积分的活动的总结》
【编者按。下面是薛问天先生发来的论文，评论《zmn-0128》师教民先生的《总结》。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
评师教民《讨论微积分的活动的总结》
薛问天
原以为经过这么长时间的讨论，师教民先生原来提出的那些【形成了学生把老师问得张口结舌，老师把专家问得无言以对的尴尬局面，而使微积分的教学无法真正进行下去！】的问题，早己得到完满的解决。没想到师先生还有不少未解的迷团。那么好吧，我们继续讨论，一个一个地慢慢解开。
(一)自变量微分的定义
师先生在 [第 1 种方法 ]中涉及两个问题。
(1) 对菲书的错误理解。
师先生引述了菲书中的一段话后就批评说【 从上述菲书的证明看出，菲书只是证明了在特殊函数 y=x 中有dx=Δx(Δx 不必为无穷小)，并没有证明在一般函数y=f (x)中有没有dx=Δx（Δx 不必为无穷小）．】
其实是师先生没有看懂这段话。
实际上，菲书的这一章是在讲「函数的微分」。函数有两个变量: 因变量和自变量 。因而需要为每个函数分别定义两个微分变量，一个是函数的因变量微分，一个是函数的自变量微分。所引的这段话是在为函数y=f(x)定义了它的因变量微分dy=y'Δx以后，在定义函数的自变量微分dx时说的一段话话。
书中说【 规定 dx=Δx，假若把自变量 x 的微分与函数 y=x 的微分看作是同样的， （这同样也是一种规定！），那么引用(2)式(dy=y'Δx)就可以证明公式(4)(dx=Δx）。】
该段一开始就说【规定dx=Δx】。规定就是定义，也就是说，给出了函数的自变量微分dx的定义: dx=Δx。本來定义己经完成，菲书为使读者更深入的理解，又给出了自变量微分的另一个定义 （这同样也是一种规定！），并证明这两个定义是等价的。书中的意思是说，如果把自变量ⅹ也看作是自变量ⅹ的函数，这个函数就是恒等函数x=I(x)。把自变量的微分就定义为这个恒等函数的因变量的微分。由于恒等函数的导数等于1，于是dx=1Δx，这就证明了这两种定义是等价的。
看懂了这段话的意思，就明白师先生的指责是没有道理的。定义就是规定 ，不需要证明 。这里不是在证明定义的对错，而是在证明两种定义(规定)的等价性。
要注意，这里关于自变量微分的两个等价定义所定义的是函数y=f(x)的自变量的微分dx=Δx。证明它的等价性就是证明【 函数y=f(x)的自变量的微分dx】，等于【 恒等函数x=I(x)的因变量的微分dx】，都有dx=Δx。
师先生所举的例子，dx是函数 x=y^2的因变量的微分，它不等于Δx，同自变量的微分dx等于Δx是两码事。所以，这里dx≠Δx这很正常，没有矛盾 。师先生的错误就如同书上说1+4=2+3=5，而你举了个例子说2+2=4≠5，就以为找出了个矛盾，在逻辑上是一样的道理。
(2) 关于y,x互为反函数的情况。
设 y=f (x)，x=g (y)．f,g互为反函数。则有:
dy①=f '(x)dx①，dx①=Δx，......①
dx②=g'(y)dy②，dy②=Δy，......②
由于有两个不同的dx，两个不同的dy。师文未加区分，容易混淆。其实只要标注清楚，问题出在哪里就一目了然了。师先生不反对这个标注方法吧！其中:
dy① 表示函数y=f(x)的因变量微分，
dx① 表示函数y=f(x)的自变量微分，
dx② 表示函数x=g(y)的因变量微分，
dy② 表示函数x=g(y)的自变量微分。
由于f,g互为反函数，它们的导数互为倒数。即
y'=1/x'，dy①/dx①=1/(dx②/dy②)。即
dy①/dx①= dy②/dx②。即
dy①dx②=dy②dx①=ΔyΔx。......③
这就是师文中未加标注的【 等式 dydx=ΔyΔx】，实际上是 dy①dx②=ΔyΔx。
接着师先生说【如果规定 dx=Δx，那么必然有 dy=Δy，这就与 Δy=dy+o(Δx)≠dy 相矛盾了．】
看出师先生的错误了吧！上式的dx是dx②，它是【 函数x=g(y)的因变量微分】，没有人【 规定】 dx②=Δx。在①式中规定的是【 dx①=Δx】而不是【 dx②=Δx】。可见师先生犯了【混淆了dx①和dx②】的错误。
由于没有这样的规定，自然也就不会导致师先生说的dy①=Δy错误，当然师先生推出的矛盾也就荡然无存了。
师先生在文中作了辩解 ，他说不是他混淆了dx①和dx②，而是这两者本来就是一个。他说【 x=g (y)和 y=f (x)中的 dx 是同一个．同理，函数 y=f (x)和 x=g (y)中的 dy 也是同一个．】dx①是函数f的自变量的微分，dx②是函数g的因变量的微分，怎么会是同一个微分变是呢？师先生说他可以「证明」。下面我们就来分析他「证明」中的错误。
由于f,g互为反函数，它们的导数互为倒数。即 f'(x)=1/g'(y)，另外根据导数的定义和倒数的性质，有
f'(x)=dy①/dx①=1/(dx①/dy①)。
师先生说【 1/(dx/dy) 里的 dx 是 y=f(x)中的 dx】这句话没错。它们都用①标注着。
另外， 根据导数的定义，有g'(y)=dx②/dy②)。因而有
1/g'(y)=1/(dx②/dy②)。
所以 师先生说【 1/(dx/dy) 里的 dx 是 x=g(y)中的 dx】这句话也没错。它们都用②标注着。
但是师先生由此得出结论说【 所以函数 x=g (y)和 y=f (x)中的 dx 是同一个。】就完全错了。因为由反函数 的导数互为倒数，只能得出:f'(x)=1/g'(y)，即
1/(dx①/dy①) = 1/(dx②/dy②)。
此式虽都具有 1/(dx/dy)的形式，但它们是不同的微分，它们的标注不同。
由此只能推出dy①/dx①=dy②/dx②，和
dy①dx②=dy②dx①=ΔyΔx。
但推不出dx①=dx②和dy①=dy②。所以说师先生所说的【dx 是同一个】是错误的。
为了帮助师先生认识这个错误，我曾画了一张图，举个例子具体看看这些dy①,dx①,dy②,dx②是什么，它们倒底相等不相等 。
就用师先生的例子。y=f(x)=√x，x=g(y)=y^2。
设x0=1，y0=1，因而f' (x0)=1/2，g' (y0)=2。
设x1=4，则Δx=x1-x0=4-1=3，【dx①=Δx=3】。
Δy=√4-√1=2-1=1，【dy②=Δy=1】。
【dy①= f' (x0)Δx=(1/2)*3=1.5】，
【dx②=g' (y0)Δy=2*1=2】，
dy①=1.5，dy②=Δy=1，显然不相等。
dx①=3，dx②=2，显然也不相等。
看看前面的理论论述，再看看这里的具体例证，就知道师先生所顽固坚持的论断:
【 函数 x=g(y)和 y=f(x)中的 dx 是同一个．同理，函数y=f(x)和 x=g(y)中的 dy 也是同一个。】是不符合实际的错误论断。
师先生在此错误的基础上得出的结论:
【从而进一步敲定了极限理论规定的 dx=Δx 是错误的．由此看来，极限理论规定 dx=Δx 的错误，就像规定 0=1 的错误一样．】
【 在 y=f (x)中规定 dx=Δx 就错了，就产生了 dx≠Δx 和 dx=Δx 矛盾，这个矛盾正是第一代微积分中的 dx≠0 和 dx=0 的矛盾在第二代微积分中的翻版．从而证明了第二代微积分并未解决 dx≠0 和 dx=0 的矛盾或微积分之谜．】
不言而喻，就成为「 海市蜃楼，空中楼阁」不攻自破！
(二) 推导的错误
师先生在方法二中的错误是推导的错误。师说【 上述正确的(B)式中为什么有 dx①/dy①=x'？这是根据导数的定义得来的．】
dx①/dy①=x'，並不能从导数定义得出。从导数的定义只能得出x'=dx②/dy②。(B)式中的dx①/dy①=x'，实际上是这样求得的:
dx①/dy①=1/(dy①/dx①) ......(倒数性质)
=1/y' ......(导数定义)
=x' .......(根据A式，即反函数的导数互为倒数)
也就是说对于互反函数，我们只能得出:
x'=dx②/dy②= dx①/dy①
从导数定义只能推出dy②是自变量微分，得不出dy①也是自变量微分，更推不出dy②=dy①。这是师先生推导的错误。
师教民先生 :你看出错误在哪里了吗?你的错误相当于，当你证明了A=B/C=D/E时，你就说如果C是自变量微分，E也一定是自变量微分。这个推理显然是错误的。从 B/C=D/E推不出B=D和C=E来，也推不出【 如果C是自变量微分，E也一定是自变量微分。 】
师先生的方法三，没有叙述清楚，逻辑是混乱的，无法评论。
例如他说【 在函数 x=g(y)中：设因变量的微分 dx=dx②，相应的自变量的微分 dy=dy②，则据导数的定义知：x′=dx②/dy②． 】这没有一点问题。
但师先生接着却说【设因变量的微分 dx=dx①≠dx②，相应的自变量的微分 dy=dy①， 则据导数的定义知：x′=dx①/dy①.】
师先生的这些设定又把前面的设定否定了。刚说完【 设因变量的微分 dx=dx②】，又设定【 设因变量的微分 dx=dx①≠dx② 】。究竟你想设定什么？这样的陈述实在无法看懂，不知在说什么？
对师先生的总结中提出的三种方法就评论到此，告一段落。
最后，再提个小意见。在师文中见到这样的字样【 Δx 不必为无穷小】。一看就知道，师教民先生对在现代微积分中，什么是无穷小，还没有完全理解透。
什么是【无穷小】，在现代微积分中，把【趋近于0的变量】称为 【无穷小】。
例如，微分变量dy=AΔx，dx=Δx，以及Δy=f(x0+Δx)-f(x0)等在Δx趋近于0时，它们都是【无穷小】。也就是说当【 Δx趋近于0时】它们才是【无穷小】。平时它们就是普通的变量，该取什么值就取什么值。没有必要特别注明【 Δx 不必为无穷小】。
（全文完）
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