《数学啄木鸟专栏》分享 http://blog.sciencenet.cn/u/wenqinghui 对错误的数学论点发表评论

博文

Zmn-0133 薛问天:评师教民《讨论微积分的活动的总结》

已有 356 次阅读 2020-4-2 21:52 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0133 薛问天:评师教民《讨论微积分的活动的总结》
【编者按。下面是薛问天先生发来的论文,评论《zmn-0128》师教民先生的《总结》。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

评师教民《讨论微积分的活动的总结》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-c.jpg原以为经过这么长时间的讨论,师教民先生原来提出的那些【形成了学生把老师问得张口结舌,老师把专家问得无言以对的尴尬局面,而使微积分的教学无法真正进行下去!】的问题,早己得到完满的解决。没想到师先生还有不少未解的迷团。那么好吧,我们继续讨论,一个一个地慢慢解开。

 (一)自变量微分的定义

师先生在 [第 1 种方法 ]中涉及两个问题。

 (1) 对菲书的错误理解。

 师先生引述了菲书中的一段话后就批评说【 从上述菲书的证明看出,菲书只是证明了在特殊函数 y=x 中有dx=Δx(Δx 不必为无穷小),并没有证明在一般函数y=f (x)中有没有dx=Δx(Δx 不必为无穷小).】

其实是师先生没有看懂这段话。

实际上,菲书的这一章是在讲「函数的微分」。函数有两个变量: 因变量和自变量 。因而需要为每个函数分别定义两个微分变量,一个是函数的因变量微分,一个是函数的自变量微分。所引的这段话是在为函数y=f(x)定义了它的因变量微分dy=y'Δx以后,在定义函数的自变量微分dx时说的一段话话。

书中说【 规定 dx=Δx,假若把自变量 x 的微分与函数 y=x 的微分看作是同样的, (这同样也是一种规定!),那么引用(2)式(dy=y'Δx)就可以证明公式(4)(dx=Δx)。】

该段一开始就说【规定dx=Δx】。规定就是定义,也就是说,给出了函数的自变量微分dx的定义: dx=Δx。本來定义己经完成,菲书为使读者更深入的理解,又给出了自变量微分的另一个定义 (这同样也是一种规定!),并证明这两个定义是等价的。书中的意思是说,如果把自变量也看作是自变量的函数,这个函数就是恒等函数x=I(x)。把自变量的微分就定义为这个恒等函数的因变量的微分。由于恒等函数的导数等于1,于是dx=1Δx,这就证明了这两种定义是等价的。

看懂了这段话的意思,就明白师先生的指责是没有道理的。定义就是规定 ,不需要证明 。这里不是在证明定义的对错,而是在证明两种定义(规定)的等价性。

要注意,这里关于自变量微分的两个等价定义所定义的是函数y=f(x)的自变量的微分dx=Δx。证明它的等价性就是证明【 函数y=f(x)的自变量的微分dx】,等于【 恒等函数x=I(x)的因变量的微分dx】,都有dx=Δx。

师先生所举的例子,dx是函数 x=y^2的因变量的微分,它不等于Δx,同自变量的微分dx等于Δx是两码事。所以,这里dx≠Δx这很正常,没有矛盾 。师先生的错误就如同书上说1+4=2+3=5,而你举了个例子说2+2=4≠5,就以为找出了个矛盾,在逻辑上是一样的道理。

(2)  关于y,x互为反函数的情况。

设 y=f (x),x=g (y).f,g互为反函数。则有:

dy=f '(x)dx,dx=Δx,......

dx=g'(y)dy,dy=Δy,......

由于有两个不同的dx,两个不同的dy。师文未加区分,容易混淆。其实只要标注清楚,问题出在哪里就一目了然了。师先生不反对这个标注方法吧!其中:

dy 表示函数y=f(x)的因变量微分,

dx 表示函数y=f(x)的自变量微分,

dx 表示函数x=g(y)的因变量微分,

dy 表示函数x=g(y)的自变量微分。

由于f,g互为反函数,它们的导数互为倒数。即

y'=1/x',dy/dx=1/(dx/dy)。即

dy/dx= dy/dx。即

dydx=dydx=ΔyΔx。......

这就是师文中未加标注的【 等式 dydx=ΔyΔx】,实际上是 dydx=ΔyΔx

接着师先生说【如果规定 dx=Δx,那么必然有 dy=Δy,这就与 Δy=dy+o(Δx)≠dy 相矛盾了.】

看出师先生的错误了吧!上式的dx是dx,它是【 函数x=g(y)的因变量微分】,没有人【 规定】 dx=Δx。在式中规定的是【 dx=Δx】而不是【 dx=Δx】。可见师先生犯了【混淆了dx和dx】的错误。

由于没有这样的规定,自然也就不会导致师先生说的dy=Δy错误,当然师先生推出的矛盾也就荡然无存了。

师先生在文中作了辩解 ,他说不是他混淆了dx和dx,而是这两者本来就是一个。他说【 x=g (y)和 y=f (x)中的 dx 是同一个.同理,函数 y=f (x)和 x=g (y)中的 dy 也是同一个.】dx是函数f的自变量的微分,dx是函数g的因变量的微分,怎么会是同一个微分变是呢?师先生说他可以「证明」。下面我们就来分析他「证明」中的错误。

由于f,g互为反函数,它们的导数互为倒数。即 f'(x)=1/g'(y),另外根据导数的定义和倒数的性质,有

f'(x)=dy/dx=1/(dx/dy)

师先生说【 1/(dx/dy) 里的 dx 是 y=f(x)中的 dx】这句话没错。它们都用标注着。

另外, 根据导数的定义,有g'(y)=dx/dy)。因而有

1/g'(y)=1/(dx/dy)

所以 师先生说【 1/(dx/dy) 里的 dx 是 x=g(y)中的 dx】这句话也没错。它们都用标注着。

但是师先生由此得出结论说【 所以函数 x=g (y)和 y=f (x)中的 dx 是同一个。】就完全错了。因为由反函数 的导数互为倒数,只能得出:f'(x)=1/g'(y),即

1/(dx/dy)  =  1/(dx/dy)

此式虽都具有 1/(dx/dy)的形式,但它们是不同的微分,它们的标注不同。

由此只能推出dy/dx=dy/dx,和

dydx=dydx=ΔyΔx

但推不出dx=dx和dy=dy所以说师先生所说的【dx 是同一个】是错误的。

为了帮助师先生认识这个错误,我曾画了一张图,举个例子具体看看这些dy,dx,dy,dx是什么,它们倒底相等不相等 。

就用师先生的例子。y=f(x)=√x,x=g(y)=y^2。

设x0=1,y0=1,因而f' (x0)=1/2,g' (y0)=2。

设x1=4,则Δx=x1-x0=4-1=3,【dx=Δx=3】。

Δy=√4-√1=2-1=1,【dy=Δy=1】。

【dy= f' (x0)Δx=(1/2)*3=1.5】,

【dx=g' (y0)Δy=2*1=2】,

dy=1.5,dy=Δy=1,显然不相等。

dx=3,dx=2,显然也不相等。

Dxdy.jpg

反转图dxdy.jpg

看看前面的理论论述,再看看这里的具体例证,就知道师先生所顽固坚持的论断:

【 函数 x=g(y)和 y=f(x)中的 dx 是同一个.同理,函数y=f(x)和 x=g(y)中的 dy 也是同一个。】是不符合实际的错误论断。

师先生在此错误的基础上得出的结论:

【从而进一步敲定了极限理论规定的 dx=Δx 是错误的.由此看来,极限理论规定 dx=Δx 的错误,就像规定 0=1 的错误一样.】

【 在 y=f (x)中规定 dx=Δx 就错了,就产生了 dx≠Δx 和 dx=Δx 矛盾,这个矛盾正是第一代微积分中的 dx≠0 和 dx=0 的矛盾在第二代微积分中的翻版.从而证明了第二代微积分并未解决 dx≠0 和 dx=0 的矛盾或微积分之谜.】

不言而喻,就成为「 海市蜃楼,空中楼阁」不攻自破!

 (二) 推导的错误

师先生在方法二中的错误是推导的错误。师说【 上述正确的(B)式中为什么有 dx/dy=x'?这是根据导数的定义得来的.】

dx/dy=x',並不能从导数定义得出。从导数的定义只能得出x'=dx/dy。(B)式中的dx/dy=x',实际上是这样求得的:

dx/dy=1/(dy/dx)         ......(倒数性质)

=1/y'                                          ......(导数定义)

=x'   .......(根据A式,即反函数的导数互为倒数)

也就是说对于互反函数,我们只能得出:

x'=dx/dy= dx/dy

从导数定义只能推出dy是自变量微分,得不出dy也是自变量微分,更推不出dy=dy。这是师先生推导的错误。

师教民先生 :你看出错误在哪里了吗?你的错误相当于,当你证明了A=B/C=D/E时,你就说如果C是自变量微分,E也一定是自变量微分。这个推理显然是错误的。从 B/C=D/E推不出B=D和C=E来,也推不出【 如果C是自变量微分,E也一定是自变量微分。 】

师先生的方法三,没有叙述清楚,逻辑是混乱的,无法评论。

例如他说【 在函数 x=g(y)中:设因变量的微分 dx=dx,相应的自变量的微分 dy=dy,则据导数的定义知:x′=dx/dy. 】这没有一点问题。

但师先生接着却说【设因变量的微分 dx=dx≠dx,相应的自变量的微分 dy=dy, 则据导数的定义知:x′=dx/dy.

师先生的这些设定又把前面的设定否定了。刚说完【 设因变量的微分 dx=dx】,又设定【 设因变量的微分 dx=dx≠dx 】。究竟你想设定什么?这样的陈述实在无法看懂,不知在说什么?

对师先生的总结中提出的三种方法就评论到此,告一段落。

最后,再提个小意见。在师文中见到这样的字样【 Δx 不必为无穷小】。一看就知道,师教民先生对在现代微积分中,什么是无穷小,还没有完全理解透。

什么是【无穷小】,在现代微积分中,把【趋近于0的变量】称为 【无穷小】。

例如,微分变量dy=AΔx,dx=Δx,以及Δy=f(x0+Δx)-f(x0)等在Δx趋近于0时,它们都是【无穷小】。也就是说当【 Δx趋近于0时】它们才是【无穷小】。平时它们就是普通的变量,该取什么值就取什么值。没有必要特别注明【 Δx 不必为无穷小】。

 

(全文完)


返回到:

   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录





http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1226587.html

上一篇:Zmn-0132 赵峰:最小归纳集合的一个奇特无穷子集合
下一篇:Zmn-0134 张金成:关于悖论研究中几种片面的认识-兼与文兰院士商榷。

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...
扫一扫,分享此博文

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2020-11-24 10:09

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部