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Zmn-0145 薛问天：调和级数中没有【悖论】-评欧阳耿先生的回复。
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Zmn-0145 薛问天：调和级数中没有【悖论】-评欧阳耿先生的回复。
【编者按。下面是薛问天先生发来的评论文章。是对《Zmn-0142》欧阳耿先生评论的回复。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
调和级数中没有【悖论】
-评欧阳耿先生的回复
薛问天
(一) 正确认识【芝诺悖论】
所谓【芝诺悖论】是现代人对古希腊时芝诺提出的一个【人龟赛跑】问题的一种称呼。两千多年前芝诺能提出这么深奥的问题，说明古时候人也是很聪明的。但是对【芝诺悖论】一定要有正确的认识，不要盲目祟拜。【芝诺悖论】并不是如欧阳耿先生所说的那样，是【 全世界科学界公认的一个 2500 多年来一直悬而未决的“芝诺悖论”】。
早己被现代科学界解释清楚，芝诺悖论并不是通常意义下的悖论，它没有揭示任何理论系统存在的矛盾。而是在解决【人龟赛跑】问题中釆用了不适当的解题方法。把用有穷算法可以解决的问题，釆用了无穷步推理的方法来论证。实际上芝诺并没有能证明阿基里斯赶不上乌龟，而只是说明芝诺提出的方法无法证明阿基里斯能赶上乌龟而已。
芝诺方法不能证明阿基里斯可以赶上乌龟。并不等于就不能证明这个命题。芝诺提出的乌龟同阿基里斯的赛跑问题，完全可以用最简单的算术方法来求解。例如可以这样来证。设乌龟的速度为v1(米/秒)，阿基里斯的速度为v2 (米/秒)，开始时刻阿基里斯落后乌龟的距离为s(米)，则赶上乌龟所需的时间是t(秒)=s/(v2-v1)。也就是说，计算的结果只需t秒，阿基里斯即可赶上乌龟。
我们知道人类所有的思维推理只能进行有穷次，不允许进行无穷次推理，也就是说无穷次的推理是被禁忌的，是无法实现的。芝诺把乌龟同阿基里斯的赛跑问题归结为无穷步的推理，第一步阿基里斯先赶到原有乌龟的位置，未能赶上。 第二步阿基里斯再赶到第一步末乌龟的位置，仍未赶上。余此类推，以至无穷，在有穷步内永远赶不上。因为人的推理只允许有穷次。所以在有穷步的推理下，阿基里斯赶不上乌龟。也就是说，用芝诺这样的方法，在有穷步推理下，推不出阿基里斯能赶上乌龟 。
这说明什么。这只能说明【芝诺的推理方法证明不了阿基里斯能赶上乌龟】。 用芝诺的方法，在有穷次推理下，无法论证阿基里斯能赶上乌龟。但这里并没有证明【 阿基里斯赶不上乌龟】，只是用芝诺的这种方法证明不了【 阿基里斯能赶上乌龟】而已。 芝诺方法不能证明并不等于就不能证明。事实表明，用其它方法完全可以证明，只需要t秒【 阿基里斯就能赶上乌龟】。用芝诺方法证明不了，用其它方法可证，这很正常。所以说这里并无任何矛盾，它并不是通常意义下的那种产生矛盾的悖论。不存在什么【 一直悬而未决的】问题。也没有出现什么【 传统有穷、无穷理论体系的缺陷】。
(二) 调和级数中没有【悖论】
调和级数中并无悖论。【调和级数悖论】可能是欧阳先生的用语。含义不详。
关于无穷级数同芝诺悖论之间的关系，我想只有一点，那就是都必须正确了解无穷的禁忌。虽然数学上可以讨论【无穷对象】如无穷集合，无穷二叉树，...等。但有两种无穷属禁忌之列，不可用。一是无穷步推理，一是无穷次演算。对于芝诺悖论要认识到无穷步推理不可用，所以芝诺方法中用有穷步推理是证明不了【 阿基里斯能赶上乌龟】的。
调和级数是无穷级数，涉及到无穷个数的相加问题，是无穷次演算。必须认识到无穷次演算一般是受禁忌，而不允许使用的，只能另设定义。把【无穷级数的和】定义为【部分和的极限】，这才使其成为「结果有定义的无穷演算」，才不被列入禁忌之列。在没有「另设定义」的情况下，即不用【部分和的极限】作为【无穷级数的和】的定义，而仍然把它想像成【无穷个数的相加】的任何【推论】都是主观的臆想，而不是真正意义下的的数学推论。
欧阳耿先生所谓【用数学语言来表达】的四个不等式就属此类。这根本不是【数学语言】，纯属主观臆想。
在这四个不等式中， 你不用【部分和的极限】作为无穷级数的和的定义，你凭什么就说左边的调和级数的和就一定大于(＞)右边无穷级数的和?
我们证明调和级数的和是无穷大，是严格地用【部分和的极限】作为【无穷级数的和】的定义，严格证明的 ，而不是根据你写的这四个未加证明的不等式(而且是错误的，实际上不是＞，而是=。)你在那里想像【 尽管多项式加括号法可以越大越快处理掉调和级数中的许许多多数项 ,但理论上却永远有无数可用多项式加括号法则去处理的数项.所以那里的阿基里斯永远追不上乌龟 ,而这里的多项式运算可以得到无穷多个大于 1/2 的量 .】
关键是在你的思维中【无穷级数的和】是什么，有穷多个数相加有意义，而这无穷多个大于1/2的量相加是没有意义的。 你不用【部分和的极限】作为【无穷级数的和】的定义， 你用什么来定义无穷级数的和？ 用【部分和的极限】作为无穷级数的和的定义，不是就可严格证明调和级数的和是无穷大了么？就没有你说的【 可以得到无穷多个大于 1/2 的量】的所谓的【问题】了么？芝诺方法证明不了阿基里斯赶不上乌龟，是因为无穷推理是被禁忌的。无穷级数涉及无穷次的相加运算，也是被禁忌的。但是情况有变，对于无穷级数的和，我们有了另外的定义。我们这里可以用部分和求极限的方法严格地证明调和级数的和是无穷大。己经有了原则性的不同，为什么还要说是【 一个活生生的芝诺悖论的翻版】？
欧阳耿先生说【 薛问天先生与现今世界上大多数人一样，认可 Oresme 于 1360 年......给出的“加括号证明调和级数的和是无穷大”内容的科学性。】
是不是欧阳耿先生没有仔细㸔我上次的评论。我明确说了如下观点:
(1)，在没有证明 「在无穷级数中【任意加括号】对【 部分和的极限】没有影响」以前，是不能允许【任意加括号】的。【任意加括号】 对【 部分和的极限】有影响，因而在无穷级数中不允许【任意加括号】。
(2)，1360年的这个加括号的证明，用现在的严格眼光来看，不能认为是调和级数和为无穷大的严格证明。但是它实际上为我们的严格证明提供了具体的思路。
(3)，我在文中提供了【调和级数和为无穷大】的一个严格证明。
请欧阳耿先生仔细看看，这是【认可`】加括号证明的【内容科学性】吗?
实际上摆在欧阳耿面前有三个问题，要问欧阳先生是否认可?
(1)是否认可【部分和的极限】是【无穷级数的和】的定义.
(2)是否认可不允许【任意加括号】 的原因是对【 部分和的极限】有影响。
(3)是否认可【调和级数和为无穷大】及对它的【严格证明】。
我认为只要认可了这三点，就不会再认为有什么【调和级数悖论】和 什么【 传统有穷、无穷理论体系的缺陷】了。
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