Zmn-0143沈卫国：评薛问天先生对师教民教授文章的评论

【编者按。下面是沈卫国先生发来的文章。是对《Zmn-0133》薛问天先生评论文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

评薛问天先生对师教民教授文章的评论

沈卫国

文老师，最近看到薛问天先生对师教民教授文章的评论。发表看法如下：

1、薛问天认为因变量与自变量的微分是两个不同的定义，因此就无问题。也就是，定义就是定义，没有什么道理。这个论点是错的。没有什么只要定义了就是对的这回事。定义的对错，要看你这个定义会不会引起矛盾，不会，才对。会，就不对。张景中院士以前曾经说过，微分就是定义在函数的，自变量没有微分定义。起码是正规的微分定义。

2、薛问天在讨论中，大段地用dx+之类区别不同用法。请薛先生把那篇文章中的此类符号统统改成dx，你不是自己说的，可以如此定义的吗？为什么在写文章时，就不坚持了。如果坚持，想必您这篇文章都写不下去。人家都不知道您的dx究竟指的是哪一个。是增量还是线性部分。请薛先生好好琢磨，先把文章改写。请您看看，究竟当同一个变量在作为函数和自变量不同角色时，用同一个符号dx表示不同的微分（线性主部和增量本身）究竟会带来什么。

       莫绍揆老先生，老资格了，明确自变量的微分定义方式“肯定有问题”，理由他讲的清清楚楚。不重复了。

      王元和台湾方源的微积分教程，就没有提自变量的微分是定义，而只是说在大部分情况下可以如此认为云云。意思马虎点够用了，不深究了。后来我看到，他们这个实际是抄的美国普林斯顿教程的说法，几乎一字不差。请薛先生自己去查资料。显然，恐怕是国外也有人质疑自变量的微分这个东西。传统微积分之所以非要如此定义，自有其苦衷，不这么干，到积分那里就很麻烦。最近看到克莱因的古今数学思想，里面写道作为极限论微积分的看山鼻祖级的人物柯西，在定义微分时与现有理论、教科书的普遍说法完全不同。他是先由极限求出导数，然后说自变量的增量dx乘以这个导数，然后把二者的积定义成dy，与莱布尼兹的微分等同。而且，克莱因说微分只是一个辅助概念，没有它也行，只不过方便些云云。很明显，极限论微分在这里实际是偷偷地回到了第一代的莱布尼兹微积分，绕了个大圈子，又回到了出发点。因为显然，实际莱布尼兹是对的，不过没有解释清楚罢了（解释见我的系列文章）。现在的教程，先定义函数的线性主部为微分，到自变量这里就出了问题，定义其微分还是线性主部或增量本身都有问题。而柯西的原始做法，是先定义自变量的增量，由其与导数的乘积再定义dy，根本就没有提什么函数的线性主部等等（至于它实际就是那是另一回事），而且也没说它是微分，只不过与莱布尼兹的微分一回事了。自变量与因变量微分的定义顺序反过来了，如此，自变量微分的问题自消，但问题又回归到导数的贝克莱悖论问题。可以说，柯西的这个真经，被后世和尚给念歪了。柯西的做法，实际上与我的解释完全吻合，也只有我的解释可以解释通他这么做的合理性。在柯西这里，dx就是自变量的有限增量，不是极限，也不是无穷小。这就很说明问题了，我不就是这么定义导数、微分的吗？详情看我的文章。

     据说，曾有院士说（不知真假）即使微分定义有问题，也没关系，因为微积分不要微分概念一样可以说的通。这种观点是最不负责的：既然微分无用，为什么大学里还在教？还要考学生这些没有用的还有错的东西？为什么不改教材？人家提出问题，反倒是人家的不是了？一方面说微分有错，没用，一方面又教学生这些东西，一方面还攻击提出微分问题的人，这叫什么事儿啊。

     此外，有个建议。这么多年，栏目中的这些讨论，无论如何，是一笔财富（精神的）。我认为很有价值的。难得有如此基础且深入的讨论，辩论。交锋。讽刺的是，似乎只有在民间，才有这些不图其它，只求明白的这些人！仔细想想，是不是这么回事？不是，举出实例！这里讨论的这些问题，无论孰对孰错，这些且不论，但就算错的多，也是教学中都可能碰到的问题，学生会提的问题，等等。因此希望文老师将这些东西包括留言评论，打成一个文件，保存下来（包括网易的），别的地方，还真没有这些自由的辩论，讨论，学术界本该如此（理不辨不明），但现实究竟如何，大家自明吧。

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