博文

Zmn-0137 薛问天：评欧阳耿《数学分析中悬而未决的问题》

已有 1599 次阅读 2020-4-6 20:18 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0137 薛问天：评欧阳耿《数学分析中悬而未决的问题》

【编者按。下面是薛问天先生发来的评论文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

评欧阳耿《数学分析中悬而未决的问题》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

欧阳耿先生来信寄来了他的多篇文章，希望我做些评论。我就挑了一篇，谈谈我的看法。这篇文章是欧阳耿：《数学分析中悬而未决的问题》（发表于1995年10月吉安师专学报）。

(一)调和级数的和。

这个问题比较简单，先讨论。

(1)无穷级数的和的定义。

我们只知道有穷个数相加的和，无穷级数是无穷个数的相加:

u₁+u₂+u₃+...+u_n+......。

一般来讲这属于无穷演算，是不允许的，受到禁忌，除非「另设定义」。也就是说，如果你不「另设定义」，这无穷个数的相加没有任何意义，不知道相加结果是什么.无法演算。只有「另设定义」，成为【结果有定义的无穷演算】，才能从禁忌之列中排除，成为合法的演算。

【定义】(无穷级数的和)。

部分和S_n=u₁+...+u_n，在n→∞时的极限，称为无穷级数 u₁+...+u_n+...的和。

有了这个定义以后，你的脑子就要转个弯了。不要把这无穷级数的和再想像成【无穷个数的相加】了，无穷个数没办法相加。在你的脑海中要牢固地树立起这个新的定义: 无穷级数的和是部分和的极限。

(2) 下面来谈调和级数能否【任意加括号】的问题。

在无穷级数中允许还是不允许【任意加括号】的依据是什么?依据只有一个，就是㸔在无穷级数中【任意加括号】对【部分和的极限】有没有影响。这样说来，欧阳耿先生的质疑是有道理的。在没有证明「在无穷级数中【任意加括号】对【部分和的极限】没有影响」以前，是不能允许【任意加括号】的。

我们举个简单的例子。无穷级数1+(-1)+1+(-1)+......。本是一个发散级数，它的部分和Sn在1和0间跳动，没有极限。但是如果两个两个加括号就变成:

(1-1)+(1-1)+......=0+0+0+...，它的和(部分和的极限)是0。

釆取另一种加括号的方法，又变成:

1+(-1+1)+(-1+1)+......=1+0+0+0+...，它的和 (部分和的极限)是1。

可见【任意加括号】对【部分和的极限】有影响，因而在无穷级数中不允许【任意加括号】。

但是不能不说欧阳耿先生所叙述的理由是不恰当的，他说【如想对级数 ( 1) 加上无穷多个括号而制造出无穷多个大于1 / 2 的量，就要求级数提供无穷多个被加的量......。所以, 如此加括号法则仅能处理调和级数中的一部分数项而制造出许多个大于 1/2 的量,但却没有能力处理调和级数中的无穷数项而得到无穷多个大于1/2的量。】

这些说法都不是严格的数学陈述，而且也不完全正确_n。

【这样, 一个u_n→0的无穷常减级数就可以象变戏法一样变成了任意的S_n→∞的无穷常增级数,难道这样两种性质上有很大区别的无穷级数果然真的可以互相转化 ? 】

这段质问没有道理。这里讨论的不是【互相转化】，而是讨论这两个级数的和是否相同。亦即它们的部分和是否具有相同的极限。没有理由认为一个【u_n→0的无穷常减级数】它的部分和不能同一个【S_n→∞的无穷常增级数】的部分和一样趋近于无穷大！

(3) 调和级数和为无穷大的严格证明。

虽然，1360年的这个加括号的证明，用现在的严格眼光来看，在形式上，不能认为是调和级数和为无穷大的严格证明。但是它实际上为我们的严格证明提供了具体的思路。所以对此贡献还是要充分肯定的。换句话说，现在的严格证明只是原有证明的一种严格表述而已。

下面给出这个严格的证明。

证明中利用原证明中的不等式(在有穷个数相加时，可以【任意加括号】)，对任何k :

1+...+1/2^k=1+1/2+(1/3+1/4)+...+(1/(2^k-1+1)+...+1/2^k)＞k/2。

【定理】调和级数1+1/2+1/3+...+1/n+......的和是无穷大。

【证明】要证明的是部分和S_n= 1+1/2+1/3+...+1/n的极限是无穷大。即要证明对任何Δ，存在N，对任何n＞N，有S_n＞Δ。

现证明如下: 对任何Δ，选N=2^2Δ，显然当n＞N时有:

S_n＞S₂^2Δ=1+...+1/2^2Δ＞(2Δ)/2=Δ。即S_n＞Δ。证毕。

我们用严格的数学语言来证明调和级数的和是无穷大。亦即证明其部分和的极限是无穷大。按照严格的极限定义，就是证明对任何Δ，都存在有N，使任何n，当n＞N时，有Sn＞Δ。

既然我们严格证明了调和级数的和是无穷大，显然，欧阳耿先生的这段话【以现有数学中传统的有穷、无穷理论体系和与之相关的极限论, 谁也无法自圆其说地回答, 用那样一种加括号法则去处理调和级数. 究竟能制造出多少个大于 1/ 2 的量有穷多个或无穷多个 ?很明显,不管是哪种结论都会产生悖论。】就不符合实际。

从对S_n的实际分析，在任何部分和中都有有穷多个1/2，在部分和S₂^k中至少有k个1/2。而且随着部分和的增大，所含的1/2数量也在增多，每增加2^k-1个项，增加一个1/2。这些都有严格证明的推断，这里没有矛盾，不会产生悖论。极限理论是成熟的理论，没有不能自圆其说的地方。看来欧阳耿先生对极限理论的严格性还缺乏信心，过虑了。

(二) 谈对笫二代微积分的【忧虑】。

欧阳耿先生说笫二代微积分的【基础理论根本无法解决贝克莱悖论, 根本无法解决数学的第二次危机.】

我们先从贝克莱悖论淡起。

(1) 第一代微积分和贝克莱悖论。

关于第一代微积分的求导过程在理论上有矛盾。这在学术界己有公论。

以欧阳耿先生举的自由落体为例。把s=(1/2)gt²在t=1点的瞬时速度(导数)定义为 ds/dt= (g dt+ (1/2)g dt²))/dt。

第一步:ds/dt= (g dt+ (1/2)g dt²))/dt=g+ (1/2)g dt。

第二步:令dt=0，于是ds/dt=g=9.8。

导数定义为ds/dt。把其中的dt说成是无穷小量，这个定义本身是含混不清的。当时由于没有引入极限的概念，说不清无穷小量是什么。由于当时尚无变量的概念，自然认为无穷小量是个有固定的单一值的量(现在称其为常量)。可是在求导过程的第一步要求dt≠0，而第二步要求dt=0。也就是说dt既等于0又不等于0，于是产生矛盾。所以贝克莱悖论通常也可以表述为“无穷小量既是0，又不是0“的矛盾。

(2)第二代微积分的求导过程。

但是在第二代微积分中，导数有严格明确的定义，把导数定义为增量比函数

G(Δt)=Δs/Δt在Δt→0时的极限，即

导数s '=lim_[Δt_→_0]G(Δt)。...①

第一步。由于在Δt≠0的条件下，G(Δt)等于函数F(Δt)= g+ (1/2)gΔt。所以，这两个函数G(Δt)和F(Δt)在Δt→0时的极限相等，即

lim_[Δt_→_0]G(Δt)= lim_[Δt_→_0]F(Δt)。...②

第二步。这里有两种求法。第一种是直接求极限。

由于知 lim_[Δt_→_0](Δt)=0，所以 lim_[Δt_→_0]( g+ (1/2)gΔt)=g+0=g。 ...③

第二种方法是根据F(Δt)= g+ (1/2)gΔt是Δt的连续函数，而连续函数的极限值等于函数值，于是直接求Δt=0点的函数值，得出:

lim_[Δt_→_0]F(Δt)=(g+ (1/2)gΔt)|_(Δt=0)=g。 ...④

根据①,②,③或④，求出:导数s '=g。

(3) 如何能消除悖论。

使欧阳耿先生忧虑的第一个问题是，在求导过程的操作上两者几乎完全一样，如何能消除悖论。要知道虽然操作的结果相同，但其中各步推导的含义是完全不同的。第一代把导数定义为ds/dt，说dt是无穷小量，应具有确定的值，第一步要求dt≠0，而二步又令dt=0，当然产生了悖论。然而在第二代中，导数定义为增量比函数G(Δt)=Δs/Δt在Δt→0时的极限。要知道在极限理论中，Δt趋近于0时Δt始终是不等于0的。所以无论第一步和第二步对所论述的G(Δt)和F(Δt)中的Δt，Δt≠0都成立。这里没有矛盾，不产生悖论。

在第二步推导中所使用的并不是 F(Δt)中的Δt=0，而是Δt的极限是0。 Δt趋近于0时Δt始终是不等于0的。在概念上使用的是F(Δt)的极限值，而不是Δt=0时的函数值。既使在第二种方法中也只是利用了「连续函数的极限值等于函数值」的这个性质。在求 F(Δt)的极限值时 Δt≠0也是成立的。

(4) 变量

欧阳耿对【变量】有偏见。认为它是【一种很玄的,似有似无的名称】，【同一个dt, 一会儿可以说它是“ 变动的有穷增量”, 一会儿又可以说它是“ 变动的充分小的量”(或叫“ 无限趋于0的量”)】。

确实，引入【变量】是两代微积分在理论上的分水嶺。恩格斯对在数学中引入变量也给与了很高的评价，认为这是在数学中引入了辩证法。

变量不是一个确定不变的【数】，而是可以在一定的范围中取数为值。函数就有两个变量，自变量和因变量。这些变量也都是可以在一定范围，即所谓【定义域】和【值域】中取数为值的。也可以说变量是在相应的数域中变化的量。所以【变量】可以根据需要【一会儿】取这个值，【一会儿】取那个值，这正是【变量】的本性所在，不能因此就说【变量】【很玄】【似有似无】。函数的因变量随自变量的变化而变化。当自变量取某确定值时，因变量也随着取一个相应的确定的函数值。当因变量无限趋近于某数值时，如果极限存在，因变景也无限趋近于此极限值。一个变量在不同情况下取不同的值，这不产生矛盾。而只是对于仅有一个值的常量，说它既是这又是那，等于不同的值才产生矛盾。

(5) 无穷小问题。

欧阳耿先生说【第二代理论根本没有能力真的从数学分析中赶走无穷小, 而仅是在某些场合中给原来的那固定无穷小以及与之相关的数学内容换些称呼而已。】

第二代理论中并没有也不需要【赶走无穷小】，同时也不仅仅是给无穷小【换个称呼】而已。而是彻底改变了无穷小这个概念的定义。第一代理论认为无穷小是数值很小的一个固定的数。按照现代实数理论，这样的数是不存在的。

在现代微积分中，把【无穷小】定义为【趋近于0的变量】。例如，微分变量ds=AΔt，dt=Δt，以及Δs=ds+o(dt)等，在Δt趋近于0时，它们都是【无穷小】。也就是说当【Δt趋近于0时】它们是【无穷小】。平时它们就是普通的变量，该取什么值就取什么值。

(6) 关于函数的极限。

函数的极限，当因变量无限趋近于某数值时，如果极限存在，因变景也无限趋近于此极限值。这是极限论中最基本的内容。ε-δ语言是对极限的最精确的陈述。欧阳耿先生对此似乎并不甚理解。他说【这里有个使人感到无法搞清楚的问题是: 究竟该在何时对变量办理“ε-δ” 语言手续, 而让它们一下子都成为“ 无限趋于0的数学内容” 竟然没有任何理论根据, 凭感觉 ? 凭需要 ? 】

所说的【办理ε-δ语言手续】，就是指【求极限】吧。在第二代微积分中把导数就定义为: 在Δt趋近于0时增量比函数G(Δt)的极限。所以说在导数定义中就有【变量Δt无限趋近于0】的要求。在第一步第二步凡谈到G(Δt),F(Δt)在Δt→0时的极限时都要求Δt→0。这怎么能成为【无法搞清楚的问题】?还说它【竟然没有任何理论根据】。

求导过程中，按照导数的定义一步步所求的导数，完全符合导数的定义。请问欧阳耿先生，你还需要什么【理论根据】？

综上所述并不是【第二代理论实际上没有从本质上解决数学的第二次危机】，而是欧阳耿先生对第二代微积分中的导数定义，求导过程，以及相关的变量，无穷小，函数的极限等概念和ε-δ语言缺乏正确的理解。

(三) 关于非标准分析

欧阳耿先生认为【第二代分析理论具有很本质性的缺陷, 】【实际上没有从本质上解决数学的第二次危机,】存在有【无法解决的问题】。

欧阳耿先生对非标准分析的指责，也全都是基于上述错误认识的。他说【这样一种不够彻底的“新”无穷小理论不可能解决数学分析中原来所存在的那些谜与问题】。

我在前面已经进行了分析。欧阳耿先生所说的【无法解决的问题】根本是子虚乌有的问题，并不存在。完全是由于他对第二代微积分理论的错误理解而产生的。所以他对非标准分析的指责也就毫无意义。

欧阳耿先生把非标准分析称为【“新”无穷小理论】，这很正确。在第二代微积分中，无穷小是【趋近于0的变量】。而在非标准分析中，把【实数】扩充为【超实数】。就是把无穷小作为【数】添进到【超实数】中去了。它的基本思路是这样的。对任何一个实数α，都有很多(无穷多个)【趋近于α的无穷序列】，我们把每个无穷序列都㸔作是一个超实数(当然还要作一些等价和过滤的处理)。这样一来在【超实数】中，每个实数(在超实数中称为标准实数)周围就有无穷多个与其相距为无穷小的超实数。非标准分析就是建立在这样的【超实数】上的数学分析。

由以上解释可以着出非标准分析同标准分析，在理论上并无原则区别，是相互对应和等价的。正如欧阳耿所引用的这段描述：“使用非标准分析, 我们能随时获得合乎于用标准方法计算所要求的结果 , 而且我们还能在非标准系统中重新解释这些结果”。

正是因为欧阳耿先生没有认识到，第二代微积分的极限理论己经完全解消了貝克莱悖论，己经不存在【无法解决的问题】，而非标准分析同标准分析在理论上又是等价的。所以才得出【第一、二、三代数学分析中都存在着其理论体系无法解决的完全相同的谜与问题,】的错误结论。而且莫须有地把它归结为: 【根本的原因在于它们都以传统的有穷、无穷概念体系为其基础理论, 但这基础理论有本质性缺陷.】为了克服这些虚构的【缺陷】，还凭空地提出了要【构造出科学的 (第四代) 数学分析理论】的这种虚无缥缈的任务。这些都是欧阳耿先生不切实际的空洞臆想，没有任何具体目标和内容。

（全文完）

附欧阳耿先生原文。