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Zmn-0177黄汝广：也谈飞矢不动悖论与抛球悖论
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Zmn-0177黄汝广：也谈飞矢不动悖论与抛球悖论
【编者按。下面是黄汝广先生发来的短文。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
也谈飞矢不动悖论与抛球悖论
笔者认为悖论的产生，往往是其概念缺乏可操作性，并大致可区分为以下几种情况：（1）概念违反基本的科学定律；（2）概念分类不当，或分类不完备，或虚假分类，或不同标准的分类相互纠缠；（3）概念的界定与通常意义不同，却不加区分地混用；（4）概念的界定不够明确，或太过宽泛；（5）忽略了不该忽略的条件变化，未意识到概念已不适用于新情况；（6）概念涉及的条件实际上不相关，纯粹多余。
我们来看芝诺有名的“飞矢不动悖论”——射出去的箭是不动的：因为芝诺认为箭在每一个瞬间都有确定的位置，占据着和自身体积一样大小的空间，并由此认定箭在每一瞬间都不动；既然箭在每一瞬间都不动，它又怎么会动呢？我们必须说，芝诺对“不动”的界定并不符合通常的定义：实际上，在一个长度为零的单一瞬间，是不可能定义“不动”的；而且，每一个瞬间都有确定的位置，并不必然意味着每一个瞬间都在同一个位置，还可以每一瞬间在确定但不同的位置——按照通常的定义，这其实就是“动”。另外，芝诺在悖论里并没有对“动”进行定义，事实上，如果把每一个瞬间都有确定的位置定义为“不动”，根本就不可能再定义“动”。
芝诺还有一个“阿基里斯追龟悖论”，如果用箭代替阿基里斯，并假设乌龟不动，则该悖论可以简化为：一支箭永远不可能从A点飞到B点。仿照芝诺的“二分悖论”，可以这样论证：一支箭要从A点飞到B点，必先飞到AB的中点，而从中点到B点还有中点，……如此下去有无数的中点，永远不可能到达B点。当然，在“二分悖论”中，芝诺找中点的方向刚好和我们相反，但实质上是同一回事——用庄子的话说，即“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
有人认为，该悖论的问题在于空间的无限可分性是不真实的——据说，古希腊的哲人提出原子论就是为了规避这一悖论。原子论当然可以规避这一悖论，但这似乎也不是问题的全部。还有人认为，悖论的根源是芝诺没有极限的概念，不知道无穷级数之和也可能收敛。但即使如此，如果你问芝诺：一尺之棰分无数段，再照原样接起来会是多长？我们想，他的回答应该是一尺，而不会是无限长。（不过，如果真这么想的话，不需要任何的数学技巧，芝诺至少是可以得出1＝1/2+1/4+1/8+……的结论，至于这结论最早由谁提出，还有待考证。）
有一个问题是，“一尺之棰”和“万世不竭”是怎么联系起来的呢？“日取其半”！也就是说，“取其半”这个操作总对应一“日”的时间；或者说，空间虽然是无限可分的，但时间却不是。当然，芝诺并没有像庄子一样，明确规定他找中点的操作和时间之间的具体关系，但从操作性上考虑，我们认为，芝诺实际上是依赖了一个类似庄子那样的隐性假设。或者说，一支箭永远不可能从A点飞到B点，应该理解为：一支箭从A点飞到B点，需要无限长的时间。
但如果时间也无限可分，就不见得是悖论了。至少，我们是可以这样设想一个操作：让空间上一段距离对应一段时间间隔，相应于空间距离上找中点的操作，也有一个时间间隔上找中点的操作，两者一一对应，同时完成；并且规定每次找中点的操作所需的时间，就是上一次找中点后剩余时段的一半。这样，虽然操作仍是无限的，但总时间却是有限的，也就是说：一支箭可以在有限的时间内，从A点飞到B点。
也许有人说，即使时间无限可分，如果像下面这样来规定操作，似乎也还是悖论：第一次找中点的操作用1秒时间完成，第二次用1/2秒，第三次用1/3秒，……简而言之，即第n次用1/n秒。由于1＋1/2+1/3+1/4+……是发散的，所以需要的时间仍然是无限长。
真正的问题其实在于，不论是这个操作，还是“日取其半”的操作，实际上都是规定箭在减速运动，而且箭趋近于B点时的极限速度为零。这显然违背伽利略的惯性原理：如果不考虑空气阻力以及重力影响的话，箭在射中目标前应该保持匀速直线运动；实际上，只有我们前面给出的操作，才满足这一要求。
当然，芝诺不可能知道惯性原理，不过，即使从古希腊人认为运动需要力维持的观点看，减速也应该需要力是变化的。既然有变化因素存在，不同的情况得出不同的结论，实在是很自然的事情；各有原因的不同结论之间，当然不存在“悖”的问题。
“抛球悖论”与“汤姆逊灯悖论”都属于“超级任务悖论”，可以看作是芝诺无穷悖论的升级版。我们上面将芝诺的“飞矢不动悖论”与伽利略的惯性原理联系起来，认为“飞矢不动悖论”的根源是违反了惯性原理。那么升级版的“抛球悖论”与“汤姆逊灯悖论”又如何呢？
在“抛球悖论”中，我们假设A抛球者的位置为1，B抛球者的位置为-1，n为抛球次数，并且A先抛，那么球的位置与抛球次数的关系为（-1）n，这个数列是不可能收敛的。因此n趋于无穷时，球的位置是不确定的。
但是，问题在于球每次飞行的距离不变，时间却逐次减半，这最终将导致将导致球的速度大于光速，显然违反了相对论。一旦考虑光速的限制，在1分钟时，球实际上可以在任何一个地方而不一定要在两者抛球者之一手中。
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