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Zmn-0177黄汝广:也谈飞矢不动悖论与抛球悖论

已有 704 次阅读 2020-4-27 12:54 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0177黄汝广:也谈飞矢不动悖论与抛球悖论

【编者按。下面是黄汝广先生发来的短文。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

 

也谈飞矢不动悖论与抛球悖论

 

笔者认为悖论的产生,往往是其概念缺乏可操作性,并大致可区分为以下几种情况:(1)概念违反基本的科学定律;(2)概念分类不当,或分类不完备,或虚假分类,或不同标准的分类相互纠缠;(3)概念的界定与通常意义不同,却不加区分地混用;(4)概念的界定不够明确,或太过宽泛;(5)忽略了不该忽略的条件变化,未意识到概念已不适用于新情况;(6)概念涉及的条件实际上不相关,纯粹多余。

我们来看芝诺有名的“飞矢不动悖论”——射出去的箭是不动的:因为芝诺认为箭在每一个瞬间都有确定的位置,占据着和自身体积一样大小的空间,并由此认定箭在每一瞬间都不动;既然箭在每一瞬间都不动,它又怎么会动呢?我们必须说,芝诺对“不动”的界定并不符合通常的定义:实际上,在一个长度为零的单一瞬间,是不可能定义“不动”的;而且,每一个瞬间都有确定的位置,并不必然意味着每一个瞬间都在同一个位置,还可以每一瞬间在确定但不同的位置——按照通常的定义,这其实就是“动”。另外,芝诺在悖论里并没有对“动”进行定义,事实上,如果把每一个瞬间都有确定的位置定义为“不动”,根本就不可能再定义“动”。

芝诺还有一个“阿基里斯追龟悖论”,如果用箭代替阿基里斯,并假设乌龟不动,则该悖论可以简化为一支箭永远不可能从A点飞到B点。仿照芝诺的“二分悖论”,可以这样论证:一支箭要从A点飞到B点,必先飞到AB的中点,而从中点到B点还有中点,……如此下去有无数的中点,永远不可能到达B点。当然,在“二分悖论”中,芝诺找中点的方向刚好和我们相反,但实质上是同一回事——用庄子的话说,即“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”

有人认为,该悖论的问题在于空间的无限可分性是不真实的——据说,古希腊的哲人提出原子论就是为了规避这一悖论。原子论当然可以规避这一悖论,但这似乎也不是问题的全部。有人认为,悖论的根源是芝诺没有极限的概念,不知道无穷级数之和也可能收敛。但即使如此,如果你问芝诺:一尺之棰分无数段,再照原样接起来会是多长?我们想,他的回答应该是一尺,而不会是无限长。(不过,如果真这么想的话,不需要任何的数学技巧,芝诺至少是可以得出11/2+1/4+1/8+……的结论,至于这结论最早由谁提出,还有待考证。

有一个问题是,“一尺之棰”和“万世不竭”是怎么联系起来的呢?“日取其半”!也就是说,“取其半”这个操作总对应一“日”的时间;或者说,空间虽然是无限可分的,但时间却不是。当然,芝诺并没有像庄子一样,明确规定他找中点的操作和时间之间的具体关系,但从操作性上考虑,我们认为,芝诺实际上是依赖了一个类似庄子那样的隐性假设。或者说,一支箭永远不可能从A点飞到B点,应该理解为:一支箭从A点飞到B点,需要无限长的时间

但如果时间也无限可分,就不见得是悖论了。至少,我们是可以这样设想一个操作:让空间上一段距离对应一段时间间隔,相应于空间距离上找中点的操作,也有一个时间间隔上找中点的操作,两者一一对应,同时完成;并且规定每次找中点的操作所需的时间,就是上一次找中点后剩余时段的一半。这样,虽然操作仍是无限的,但总时间却是有限的,也就是说:一支箭可以在有限的时间内,从A点飞到B点。

也许有人说,即使时间无限可分,如果像下面这样来规定操作,似乎也还是悖论:第一次找中点的操作用1秒时间完成,第二次用1/2秒,第三次用1/3秒,……简而言之,即第n次用1/n秒。由于11/2+1/3+1/4+……是发散的,所以需要的时间仍然是无限长

真正的问题其实在于,不论是这个操作,还是“日取其半”的操作,实际上都是规定箭在减速运动,而且箭趋近于B点时的极限速度为零。这显然违背伽利略的惯性原理:如果不考虑空气阻力以及重力影响的话,箭在射中目标前应该保持匀速直线运动;实际上,只有我们前面给出的操作,才满足这一要求。

当然,芝诺不可能知道惯性原理,不过,即使从古希腊人认为运动需要力维持的观点看,减速也应该需要力是变化的。既然有变化因素存在,不同的情况得出不同的结论,实在是很自然的事情;各有原因的不同结论之间,当然不存在“悖”的问题。

“抛球悖论”与“汤姆逊灯悖论”都属于“超级任务悖论”,可以看作是芝诺无穷悖论的升级版。我们上面将芝诺的“飞矢不动悖论”与伽利略的惯性原理联系起来,认为“飞矢不动悖论”的根源是违反了惯性原理。那么升级版的“抛球悖论”与“汤姆逊灯悖论”又如何呢?

在“抛球悖论”中,我们假设A抛球者的位置为1B抛球者的位置为-1n为抛球次数,并且A先抛,那么球的位置与抛球次数的关系为(-1n,这个数列是不可能收敛的。因此n趋于无穷时,球的位置是不确定的。

但是,问题在于球每次飞行的距离不变,时间却逐次减半,这最终将导致将导致球的速度大于光速,显然违反了相对论。一旦考虑光速的限制,在1分钟时,球实际上可以在任何一个地方而不一定要在两者抛球者之一手中。

 

 

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