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Zmn-0157 薛问天：再谈【无穷步推理】和【无穷次演算】的禁忌-同林益先生切磋。
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Zmn-0157 薛问天：再谈【无穷步推理】和【无穷次演算】的禁忌-同林益先生切磋。
【编者按。下面是薛问天先生发来的评论文章。是对《Zmn-0149》林益先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
再谈【无穷步推理】和【无穷次演算】的禁忌
-同林益先生切磋。
薛问天
林益先生误解了我的意思。林说【 如果提倡“无穷禁忌”，既然有“无穷禁忌”，实际就是希望大家不要探讨涉及无穷的问题。但是这是不可能的，】
这不是我的观点，恰恰相反，我曾经说过「不要低估了人类强大的思维能力。」「人的思维能力是相当神奇的。人类受时空的限制，本无法处理【无穷对象】。但是通过【思维推理】就可以来认知【无穷对象】。只用了【所有的】三个字，就把【所有的自然数】这个【无穷集合】给搞定了，从而拿下了ω这个超穷序数。这样乘坐【思维神器】就到达了ω车站。同样通过【思维神器】可以认知其它序数，到达其它序数各站。」(Zmn-0121)
也就是说，人类可以通过思维推理认知【无穷对象】，这里并无禁忌。
我所说的【无穷禁忌】，仅仅只指【无穷步推理禁忌】和【无穷次演算禁忌】这两个范畴的禁忌 。对于其它的【无穷对象】的研究与探讨并无禁忌。
(一) ， 【无穷步推理的禁忌】。
我曾经说过「人的思维能力是相当神奇的」。还要请大家注意，这里更为神奇的是人类不仅可以通过思维推理认知【无穷对象】，而且所有的这些有关无穷对象的逻辑推理都是在有穷步内完成的，人类认知【无穷对象】並不需要进行【无穷步推理】。而且严格规定在任何情况下都只允许进行【有穷步推理】。这就是我说的【无穷步推理的禁忌】。对于这点，林先生说【 我看过涉及探讨无穷的资料也不少，但从来在没有资料中发现涉及...】。实际上确实并不是所有人都很清楚，甚至包括一些专业人士。
我给你讲一个真实的故事。有位大学教授，他还正式出版过《x逻辑学原理》的专著。他竟然建立了一个逻辑系统用无穷步推理来推论无穷性质。当我给他指出这个禁忌后，才恍然大悟。赶忙修改，再也不提他的【无穷步推理】了。
关于【无穷步推理的禁忌】比较容易理解。所谓推理就是指在推理过程中产生的一个命题序列。这个推理序列中所有的命题，都是由前面的命题推导出来的，或者它本身就是公理。显然只有这个推理序列是有穷序列时，才会有最后一个命题，即推理的结论。如果是无穷步推理，这个推理序列就是一个无穷序列。而连续不断的无穷推理序列没有最后一个命题，从而就没有推理的结论。所以无穷推理推不出任何结论来。更何况我们每个人的生命有限，也不可能进行无穷步的推理。于是 【无穷步推理】是被禁忌的。
这个道理比较容易理解。 下面重点谈【无穷次演算的禁忌】。先从无穷对象的给定谈起。
(二)，【无穷对象】的给定。
有人会问，无穷对象是无穷的，你怎么能在有穷步内给定。
举个例子，无穷序列a1,a2,a3,......。你怎么给定?你不可能把这无穷多个项全部都展示出来，你没有足够的空间和时间全部展示，就是你展示出来，别人也没有时间和空间把它读完。所以说给定一个序列，并不是要把它全部列出来，实际上只需要给定一个规则，这个规则保证对每个自然数n∈N+(这个符号表示所有大于0的自然数集合)，都保证存在一个确定的项an与其对应即可。给定了这个规则就算这个无穷序列给定了。显然给定这个规则并不是立即求出所有的an，只是保证在需要时可以求出即可，因而在有穷步内是完全有可能给出的。
例如:0,1,2,3,......。就是一个给定的无穷序列。a1=0,a2=1,a3=2,......。你随便问，如果你问第108项是多少？我可以立即回答a108=107。所以说这是一个给定的无穷序列。而它并没有把这无穷多个数全部呈现在你面前，但由于你知道它的对应规则(an=n-1)，你可以接受这是一个给定的无穷序列 。
林益先生的问题，在康托定理的证明中【 在构造 b=b1b2..... 的过程中，是不是从 b1,b2,...,一个一个的构造出来的呢？】是同样的道理。在实际证明中并没有必要把这些b1,b2,...全部构选出来呈现在你的面前，而是给出如何构造的规则 ，你只要知道对任何n如何构造bn的方法，你就可以接受这是一个给定的无穷序列。给出这个规则并不需要无穷步的逻辑推理，在有穷步内即可完成。至于【 进行逐位比较到无穷位】更不是进行无穷次的比较而得出的，而是使用有穷步的逻辑推理方法推导出来的 。在证明中用有穷步的逻辑推理给出了严格的证明，在证明中自然要用到【所有的】这些量词 ，就可保证在【所有的】情况下都成立。包括无穷位。【在所列的实数序列中每个实数至少有一位αnn，不等于bn。】所以【b不属于此序列】。有穷的几步推理即可证明。这个推理并不需要进行无穷步，有穷步即可完成。
(三)，【无穷次演算的禁忌】。
接下来我们来介绍在无穷对象上的无穷次演算。还是举个例子
例1【继续倒排演算】。
先从一个概念【部分倒排序列】谈起。设有从小到大排列的自然数无穷序列
A0={0,1,2,3,...n,...}。
我们把A0及下面的这些无穷序列称为 【部分倒排序列】
A1={1,0,2,3,...n,...}。
A2={2,1,0,3,4,...n,...}。
A3={3,2,1,0,4,5,...n,...}。
......
An={n,...,2,1.0,n+1,n+2,......}。
......。
即所有这些序列都是由序列A0调换顺序而来。使得序列中0及其以前的项都是倒排(由大到小)的，而0以后的都是顺排(由小到大)着的。
我们把施于部分倒排序列上的如下演算称为【继续倒排演算】，并记为K。
把序列中的0及0以前各项顺次向右移一位，把原先紧接在0后的那个项取出放在序列的首位。
显然在A0上施一次K演算即得到A1，K(A0)=A1，接着K(A1)=A2， K(A2)=A3， ......， K(An)=An+1，......。
显然在A0上施行有穷次(n次)的K演算 ，就会使此序列变成 An，即0及其前面的各项是倒排的，而后面各项是顺排的。
接着提出一个问题，在A0上施【无穷次K演算】结果会是如何？
也许有人会闭着眼晴说:【这太简单了。施行n次K演算，序列前n项倒排了。施行无穷多次K演算，肯定是整个无穷序列全部都倒排。】
果真如此吗？打开你的「思维神器」仔细想想看。
我问你这个【无穷序列全部倒排】的结果序列是个什么样子？这个结果序列的a1=? a2=? 我想这么一问肯定就傻眼回答不上来了。因为自然数根本就没有最大自然数，这a1根本就不可能等于任何数。也就是说我们的 「思维神器」告诉我们，在A0上施行【无穷次K演算】结果序列根本不可能存在。这其实从演算过程就可看出，在有穷的演算过程中a1在不停的换，不停地增大，于是演算无穷次它变化无穷次 ，不可能最后有确定值。既然这种施行【无穷次K演算】结果序列根本不可能存在。那么我们就禁止施行这种【 结果不存在】的无穷次演算，这就是我说的【无穷次演算的禁忌】。
(四)，结果有定义的无穷次演算。
并不是所有的无穷次演算都没有结果，都需要禁忌。还是举个例子来说明。
例2，【0右移演算】。
考虑自然数的无穷序列，如果把其中的0同它后面的数字交换一下位置，序列其它元素均保持不变，就形成一个新的序列。我们把这种对序列的演算称为【0右移演算】。具体说，序列
B0={0,1,2,3,…,n,......}，
经过一次0右移，变成序列B1={1,0,2,3....n,…}，
再经过一次0右移，变成序列B2={1,2,0,3,...,n,…}，…，
经过有穷次(n次)0右移，变成序列Bn={1,2,3,...,n,0,n+1,…}。
对任何有穷次的0右移，结果都是有确切严格的定义的。现在问，在A0经过无穷次0右移演算后，它的结果是个什么序列呢。我们来做一下分析。
我们知道在经过1次0在移演算后 第1项是1，一般地 在经过n次0右移演算后，第n项是n。而且我们发现，在以后的0右移演算中这些项是不会再改变了。所以这种无穷次0右移演算后的结果序列实际上是有明确的定义的。演算后的结果序列的第n个元素就是经过n次0右移演算后的第n个元素，即n。因为以后的0右移演算不会再改变这些元素的内容。既然无穷0右移演算的结果序列有明确的定义，它就不应在禁忌之列，而是被承认和认可的演算。
我们曾仔细分析过这类无穷次演算，这些结果有定义的无穷次演算有个共同的特点，那就是无穷次演算的结果序列的每一项，实际上并不需要无穷次演算全部完成，而是在有穷次演算后即已确定。尽管这些无穷次演算整体讲需要无穷步。但是结果序列中的每一项(例如第n项)，只需要有穷步就已经确定下来。在算法的以后的无穷步中，这些项将不受到影响，不会再发生变化。 这就是【结果有定义的无穷次演算】，这种无穷次演算不在禁忌之列。
(五)，结束语
林先生说【就是你薛老师也不能保证你绝对正确。】那当然，我也常犯错误。例如，最近的一次就是把黄汝广先生的一个演算说成是受禁忌的无穷次演算。其实是结果有定义的无穷次演算。我在《zmn-0030》作了更正。说「 我在《zmn-03论无穷的忌用》一文中禁忌了部分有明确定义的无穷步演算的例子，是不合适、不正确的，应该更正。」
不过林益先生说【 别人所探讨问题的看法，不要一味的反对。......一概否定。】这点不完全符合事实。我所反对的都是我认为有错误的地方。我认为是对的，自然不会去反对。我估计可能是林先生认为是对的地方，我反对了。从而给林先生留下了个【一味的反对】的印象。这其实很好办。以后你认为我反对得不对的地方，可以举出来，咱们共同切磋，探讨孰对孰错。
(全文完)
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