博文
Zmn-0154 薛问天：谈【芝诺悖论】和无穷级数求和的对比-答欧阳耿先生。
||
Zmn-0154 薛问天：谈【芝诺悖论】和无穷级数求和的对比-答欧阳耿先生。
【编者按。下面是薛问天先生发来的评论文章。是对《Zmn-0148》欧阳耿先生评论的回复。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
【芝诺悖论】和无穷级数求和的对比
-答欧阳耿先生的再答。
薛问天
(1)，【芝诺悖论】，虽然叫个【悖论】，但它不是真正意义下的 【悖论】。不是名称而是实质。它不具备构成通常意义下【悖论】的三要素，没有揭示任何理论系统中的矛盾。这不是我个人的看法，而是业界的公识。
我想问欧阳先生，你说的【全世界公认“芝诺悖论”至今仍然悬而未决】，你是否知道【至今仍然悬而未决】的问题指的是什么吗？如果你也不知道这个【悬而未决】的问题指的是什么，只知道有个问题在那里。那就算了不必再讨论了。如果你认为你知道，不妨把你认为的【至今仍然悬而未决】的问题是什么，说出来。让大家评评看看，在2500年后的今天，是否【至今仍然悬而未决】。
(2)，关于调和级数。欧阳耿先生列出「证明」的(1,2,3,4)四个式子，从现在严格的意义上讲有三个错误。
(I)，无穷级数【任意加括号】是不允许的。因为没有证明 【任意加括号】后得到的新无穷级数的和等于原有无穷级数的和。(其实如果没有部分和极限的定义，就不知道什么是无穷级数的和。)所以(2)中的=是没有根据的。
(II)，如果ai＞bi，则∑ai＞∑bi，这只是有穷个数相加的规律，你怎么知道对无穷个数相加的无穷级数也成立。所以(3)中的＞是无根据的。实际上调和级数的和是无穷大，其它几个无穷级数的和也都等于∞。要知道∞＞∞并不成立。
(III)，调和级数的和是无穷大，是=∞，而不是→∞。 →∞指的是调和级数的部分和的极限是无穷大，即Sn→∞(在n→∞时)。所以(4)中的→∞应为=∞。
这三点错误的根源在于对什么是【无穷级数的和】，没有定义。没有用【部分和的极限】来严格的定义，就不可能进行严格的推论。因而所作的关于【无穷级数的和】的推论(等于=，大于＞，和趋近于→)都是不成立的-。
所以我已多次说了我的看法:「这个加括号的证明，用现在的严格眼光来看，不能认为是调和级数和为无穷大的严格证明。」
可是欧阳耿先生却说：【如果薛问天先生再认为这个证明也错，那他就不是否定我的论文的内容，而是直接挑战现有的极限思想、极限论，挑战全世界的哲学家和数学家，......。】有这么严重吗？你说我指出的三点错误及其根源，在哪点挑战了极限论？说具体点，挑战了哪条哪款，哪个思想，哪个原则。
(3)，我仔细分析了欧阳耿先生对【芝诺悖论】和【无穷级数】的对比。我明白其中的意思是说: 芝诺把阿基里斯追赶乌龟的过程分成无穷个步，所以既使把阿基里斯换成跑得更快的阿基里斯，在有穷步的推理下，也证明不了阿基里斯能赶上乌龟。也就是说加快阿基里斯的跑速解决不了在有穷步的推理下，阿基里斯赶不上乌龟的问题。
无穷级数有无穷个数相加，所以既使你用加括号的方法把无穷级数的项变成更大的由很多很多项组成的项，但是当你计算出有穷个这种更大的项的和以后，还有无穷多个项没有被加进。所以你永远计算不出来这无穷个项的和。也就是说，加括号的方法解决不了无穷级数有无穷个数相加的问题。
如果你说的对比是我上述的这个意思，我非常同意你的这个对比。在推理过程中，不允许无穷步的推理。所以，有穷步的推理推不出阿基里斯能赶上乌龟。在演算过程中，不允许无穷次的演算。 所以，用有穷次的加法是永远也加不完无穷级数中这无穷多个项的。
这正是我讲的两个「无穷的禁忌」，一个是不允许「无穷步推理」，一个是不允许「无穷次演算」。
这里没有悖论，也没有什么【悬而未决的问题】。结论很简单，很干脆，无二话可说，办不到。芝诺方法证明不了阿基里斯能赶上乌龟 。把无穷级数着作是无穷个数的无穷次相加，永远也求不出无穷级数的和。办法只有一个，此路不通，另寻出路。
用另外的方法可以很容易证明阿基里斯能赶上乌龟，还可算出所需的时间。
对于无穷级数可以用【部分和的极限】定义【无穷级数的和】。可以严格证明调和级数的和是无穷大。
欧阳耿先生没有回答我上次提问的几个【是否认可】的问题。要知道，这不是什么【空谈那么多“理论”】，也不是【绕那么大的圈子】，而是【直奔主题】。这是解决调和级数求和的关键问题。
返回到：
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
Zmn-0138 数森：简评赵峰先生《最小归纳集合的一个奇特无穷子集合》 2020-04-07
科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000到Zmn-0150期目录。 2020-4-14 14:37
https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1228607.html
上一篇：Zmn-0153 林益：一个新奇的证明实数不可数的方法的探讨
下一篇：Zmn-0155 赵峰：关于公式 7(a) 的几点理解
