Zmn-0166 薛问天：【一数两码】和【一样多】的思辨-评林益《0163》

【编者按。下面是薛问天先生发来的评论文章。是对《Zmn-0163》林益先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

【一数两码】和【一样多】的思辨

-评林益《0163》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 (一)，【一数两码】变为【一数一码】

林益先生讲的【一数两码】是对的。确实在实数的无穷小数表示中，对于非0整数和带有限小数的实数，存在着【一数两码】 。即一个实数(确切的说只有非0整数和带有限小数的实数)有两个不同的表示。

不过在必要时，可以通过【硬性规定】的方法，让它只有【一数一码】。譬如，我们规定不得使用【无穷个9】的表示，只使用【无穷个0】的表示。就可以使实数的表示变成【一数一码】了。就如同本来可能有人有几个名字。但是在有些场合下，我们【硬性规定】每人只能用一个名字。那么在这些场合下就实现了【一人一名】了。

(二)，一一对应必须【一数一码】

在讲到线段上的点同三维空间上的点的一一对应方法后。林益先生讲【 从上述的证明中可以看出，证明的理论依据是一数两码。】

实际上恰恰相反。正确的应是「要保证上述证明的正确性，必须排除【一数两码】，使用【一数一码】。」而不是依据【一数两码】。

因为【一数两码】可能产生混乱而使这种对应不是一对一的。也就是说线段上的点n如果采用两种码 ，例如n=0.111000...和0.110999...，那么对应的空间点是x1=0.1000...，y1=0.1000...，z1=0.1000。和x2=0.1999...，y2=0.1999...，z2=0.0999...。显然在空间是两个不同点。反之亦然，空间的一个点，它的三个坐标如果用二种码共8种组合，也不可能只对应线段上的一个点。这样就保证不了这种对应是一一对应。

所以要保证所述对应是正确的一一对应。必须首先要排除【一数两码】，保证一个实数只能有一个码。这其实不难。前面说了，只要规定废止使用小数点后无数个9的表示，而只保留小数点后无数个0的表示。这样一来，就保证了实数的【一数一码】。保证了上述一一对应的正确性。

(三)，各种定义相互独立和相互等价

在实数理论中，实数用无穷小数，柯西序列，区间套和戴德金分割等方法来定义。这几种方法是相互独立而相互等价的。从任何一种定义出发都可推导出其它的定义(作为定理)也成立。并不是非要依据某种方法(如柯西序列)为基础。

(四) 【一一对应】和【个数一样多】

在数学上严格定义了【两个集合一一对应】。也就是说【一一对应】是个严格的数学概念。但是【两个集合个数一样多】，并不是个数学概念，而是人们由有限集推想到无穷集的一个直观概念。什么叫无穷集的【个数】?怎样判断【个数一样多】?在数学上并没有定义无穷集的【个数】和判断【个数一样多】的方法。只是定义了集合的【势(基数)】和判断【等势】的方法。

至于人们把集合的【势】看作是集合的【个数】这只是一种看法和观点，因为无穷集合的【个数】只是个直观的而不是数学概念，所以这不可能得到严格的数学证明。只能用你自己的实践，去体会，去感受，去理解。数学上只证明了线段上的点同空间上的点【等势】【一一对应】。至于是不是你直观上的【个数一样多】，还要靠你的直觉和是否适合你的【思议】来判定，无需【困惑】。即使你直观上不认为线段上的点同三维空间上的点【个数一样多】，但是在数学上他们是【等势】的，即【一一对应】的，这可是可以证明的不争的事实。

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