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Zmn-0173 薛问天:有穷到无穷结果会完全不同-由林益的证明引发的联想

已有 571 次阅读 2020-4-25 17:09 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0173 薛问天:有穷到无穷结果会完全不同-由林益的证明引发的联想

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

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有穷到无穷结果会完全不同

-由林益的证明引发的联想

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-c.jpg(一),证明方法没错。

林益先生在《0153》中提供的关于实数不可数的证明方法没有错。在区间[A,B](长度为l)中挖去可数个闭区间,规定第1个挖去的闭区间的长度是l的1/4,第2个是1/8,...,把这可数个闭区间挖完至多占l的(1/4)+(1/8)+...=(1/2)。这就证明了区间[A,B]中的实数不可数。因为如果全部实数可数,把它们含在上述的可数个闭区间中,将其全部挖完,只占去总长l至多1/2。在所剩的总长至少为l的1/2的区间中,其中至少还会有一个实数未被挖走,产生矛盾。这个证明是正确的没有问题。

关于林益先生对这种证明中【判断不可数的理论依据】所产生的质疑。他认为如果假定集合可数,将其元素所排的序列是2ω的序型时,则发现有集合的元素不在第一个ω中出现,并不产生矛盾,证明不了集合不可数。

显然这样的质疑不成立,是站不住脚的。因为按照集合可数的定义,如果可数则全体集合的元素完全可以按照ω的序型排序,所以在证明中就按ω的序型编排序列来证明就可以了。此时发现有集合的元素不在序列中就产生了矛盾,就可证明该集合不可数。按2ω或3ω,...的排序证明不了,但按ω排序就可以证明。为什么不按ω排序,非要按2ω或3ω,...的排序去证明呢?开汽车到不了海南島,并不能证明到不了,改乘飞机或坐渡轮总可以到的!

 

(二),受林益先生提出的这个证明的启发,联想到了一个从有穷到无穷结果完全不同的情况。这个例子提醒我们一定要注意区别有穷和无穷,不要随意将有穷时成立的定律,随意推广到无穷。

(1)先从有穷情况谈起 。在单位开区问(0,1)中挖走n个闭区间。设此n个闭区间的长度总和为A,因为允许闭区间可以有重叠。所以实际挖走的区间长度总和小于等于A。在开区间中挖走n个闭区间后剩下的是开区间,由于闭区间可能重叠,以及所处的位置,所以剩下的开区间的个数小于等于n+1。 剩余区间的总和大于等于1-A。总结一下:下述定理成立:

【定理1】 在开区问(0,1)中挖走n个闭区间。剩下小于等于n+1个开区间,这些开区间的长度总和大于1-A,其中A是这n个闭区间的长度总和。

(2),现在的问题是此定理可否将n推广到可数无穷。

【猜想定理】 在开区问(0,1)中挖走可数无穷个闭区间。剩下有穷个或可数无穷个开区间,这些开区间的长度总和大于1-A,其中A是这些个闭区间的长度总和。

这个由有穷想当然地推到无穷的【猜想定理】是对的吗?我可以证明它肯定是错的。因为如果它是对的,则可用此定理证明单位开区间中全体有理数集合不可数。

【证明】。用反证法。假定单位开区间(0,1)中的全体有理数可数,于是存在可数无穷多个闭区间,包含着这全体有理数,而且可以令这些闭区间的长度依次是1/4,1/8,1/16,...,1/2^(n+1),...。它们的长度总和是A=1/2。将这无穷多个闭区间从单位区间(0,1)中挖走。显然在单位开区间中将「不再剩有任何有理数」。

但是根据【猜想定理】,挖走后还剩下有穷个或可数无穷个开区间,这些开区间的长度总和大于1-A=1/2。既然这些开区间的长度总和大于1/2,就不可能所有开区间的长度都是0。我们知道只要有一个长度大于0的开区间,其中必有有理数存在。同上面推断的 「不再剩有任何有理数」相矛盾。这就推断出反证法的假定不成立。于是单位区间(0,1)中的全体有理数不可数得证,证毕。

(3)由于有理数是可数的,这已经是肯定的事实,所以从单位开区间中按上述证明挖走可数无穷多个闭区间后。不可能「剩下有穷个或可数无穷个开区间,这些开区间的长度总和大于1-A=1/2。」上述的【猜想定理】的结论是错误的。

那么剩下的是什么对象呢?

(a),不可能有长度大于0的开区间,也不可能有长度大于0的闭区间,因为否则可证明有理数可数。

(b),那有可能是至多可数无穷个长度为0的闭区间 (单独点)。但这也不可能,因为「 有穷个或可数无穷个」长度为0的闭区间,它们的长度总和怎么能大于1/2呢?

 (c)于是只有一个最后的结论,剩下的是不可数无穷多个长度为0的闭区间 (单独点)。而且这些不可数无穷多个单独点测度等于1/2。

其实这个情况也不难理解,如果挖走的闭区间长度都为0,即挖走的是点。则在单位区间上挖走n个点,剩下的是n+1个开区间。但是挖走全部可数无穷多个有理数(测度等于0),则剩下的就是全部不可数个无理数(测度等于1)。

也就是说,在有穷情况下,剩下的是小于等于n+1个开区间。然而在无穷情况下,结果剩下的却是不可数无穷多个长度为0的闭区间 (单独点)。有穷到无穷结果完全不同。

所以上述例子说明,有穷到无穷的这个【延伸】,绝不仅仅是简单的延伸,而是一种飞跃,是一种质变。有时结果会完全不同。不要以为有穷时成立的定律,无穷时一定成立,不加证明地随意从有穷推广到无穷。

(全文完)



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