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Zmn-0179 薛问天:再次说明有穷到无穷是一种飞跃-评林益先生的《0176》

已有 416 次阅读 2020-4-28 12:50 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0179 薛问天:再次说明有穷到无穷是一种飞跃-评林益先生的《0176》
【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。评论《Zmn-0176》林益先生的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

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再次说明有穷到无穷是一种飞跃

-评林益先生的《0176》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-c.jpg从有穷到无穷是一种飞跃,是质变,是突变。在我们的认识上要实现这种突破,这种跨越。不要总认为无穷是【变化着的有穷】,不要总以为在有穷情况下显而易见的规律,在无穷情况下就一定成立。无数事实证明这样的观点是错误的 。这次林益先生在《0176》中提出的证明,所犯的错误,所感到的困惑,全都来源于同一个错误: 混淆了有穷和无穷的原则区别,把在有穷情况下正确的规律,误以为在无穷情况下也成立。下面我们来具体分析。

林益先生所提供的关于区间(0,1)中有理数集的测度为0的证明,无疑是正确的 。由于有理数可数,可将其依次放入长度为ε/2,ε/4,...。的可数无穷个开区间A1,A2,...。中。令这些开区间的并集为B,显然B的长度总和不超过ε。即有理数集的测度小于ε。由于ε是任意大于0的数,所以有理数的测度等于0。这个证明概念清晰,逻辑严密,完全正确。

然后,林益先生对此证明进行了六点分析。在第五点分析中推导出了有理数可数。在第六点分析中推导出了无理数集的浏度为0。当然大家都知道这些推导必然是错误的。问题是要恰当地指出错在哪里。下面给出我对这六点分析的看法。

 

(1),前三点分析都是正确的,没有问题。第一点说(0,1)中有理数集和无理数集的测度分别为0和1。第二点说B相对于区间(0,1)的补集肯定没有有理数的点,都是无理数点。第三点说既然B是开区间的并集,则 B相对于区间(0,1)的补集, 除了两端外,肯定是闭区间的交集。我估计是林先生笔误,把这里的交集写成【并集】了。既然是闭区间的交集,当然也有可能是单点集。

(2),前三点没有问题,关键是第四点有问题。林益先生在作出【 B对于区间(0,1)的补集不可能由单点构成】的错误论断时,说【因为如果由单点构成,单点必为B所含开区间的端点,】这里使用了一个在有穷情况下成立的命题。即在有穷情况下可以证明如下定理。

【定理1】。如果有穷个闭区间的交集中有单点,则单点必定是这些闭区间的某个端点。

但是这个定理对无穷情况下成立吗?是否有这样的定理:

【猜想定理 】如果可数无穷多个闭区间的交集中有单点,则单点必定是这些闭区间的某个端点。

显然此定理不成立。因为我们有现成的例子。区间套就是可数无穷个闭区间 ,区间套的交集即它们的共同点可能是套中某区间的端点 ,但完全有可能这个共同点同套中所有区间的端点都不相同。我们知道,正是有了这种可能性才能由端点是有理数的区间套产生无理数,这是大家所熟知的事实。

所以说,这个在无穷情况下的【猜想定理】是错误的。而林益先生的推论【单点必定是某闭区间的端点】正是以此错误的【猜想定理】作为根据推断出来的结论。

然后林益先生说【由于类B所含开区间是可数的,所以这些单点构成的集也可数,而这些单点都是无理数点,如果可数,则区间(0,1)的实数可数(薛注:这个推论也是有问题的,因为在B所含开区间中还有很多无理数),显然与康托尔实数不可数矛盾。(薛注:矛盾是可数个单点集的测度不可能大于1-ε。)

由于单点不一定是端点,所以就不一定可数,就不存在这些矛盾了。因而说林先生推论出的【 B对于区间(0,1)的补集不可能由单点构成】的判断是错误的。实际上它就完全由单点组成的。

(3),而林益的第五点是在错谈的第四点的结论 【 B对于区间(0,1)的补集不可能由单点构成】的基础上的继续推论。认为【如果类B对于区间(0,1)的补集含有闭区间,则这个闭区间至少多于两个点,...,也必然包含有理数点,这显然与这个闭区间都是无理数点矛盾。】这一切都是第四点的结论【 B对于区间(0,1)的补集不可能由单点构成。】惹的祸。事实上是林益先生没有认识到,B对于区间(0,1)的补集,就是可数无穷多个闭区间的交集。这可数无穷多个闭区间,巧妙地形成了不可数个区间套,从而它们的交集就形成了不可数个单点,这些单点都是无理数。这才是事实的真相。

写到这里不能不对这大千世界的美妙感叹不已。一方面有理数同无理数从数量上相当悬殊,另一方面却又如此 【水乳交融】【密不可分】,你中有我我中有你。呈现出一种无与伦比的【和谐之美】!

(4),林益先生的第六点分析,是推论过程中的错误。与有穷无穷的概念无关。在推论中如果r≥k,应该推出1/2(r+1) ≤ 1/2(k+1)。而林益先生错误地写成 1/2(r+1) ≥ 1/2(k+1)。从而导致了后面的一系列的推理错误。当然就得不出【 (0,1)区间里的所有实数测度为 0。显然与勒贝格测度有矛盾。 】的错误结论了。

另外,趁此机会对《 Zmn-0174 林益: 关于不同进制数的互化问题的探讨》发表一点看法。

林益先生在文中提出数的不同进制的表示之间的互化(互相转化)问题。他认为有些是可以精准互化的,有些是不能精准互化的。其实在我看来,这些转换算法,从理论上讲,都是精准互化的。关键是你怎么看待无穷位小数。林益先生不承认无穷小数是确定的精准表达的数,把无穷小数看作是有穷小数正在变化着的序列,自然凡涉及无穷小数的转換都是不能【精准互化】的。因为它就不能【精准表达】,怎么能【精准互化】呢?例如二进制的有穷位小数0.1,转换为三进制的无穷小数0.111...。在我看来这就是【精准互化】。因为我认为0.1是1/2这个数的二进制的【精准表达】。而0.111...。这个无穷小数就是1/2这个数的三进制的【精准表达】。两个【精准表达】之间的【精准转換】不是【精准互化】是什么呢?这里面没有误差也没有剩余。因为这里0.111...。是无穷小数。只有有穷小数才存在误差和剩余。当然这个转换算法要进行无穷次,我们认为这是结果有定义的无穷次演算,而且这个算法可以完成,而不是【永远也不能完成】。

所以说我的看法是,只要把无穷小数看作是确定的数,看作是该数的【精准表达】,那凡涉及无穷小数的进制间的互换都是【精准互换】。当然我这里指的是理论上的转换,不是应用上或计算数学上的转换。那些应用上的算法都是近似算法,有精度,有误差。

(全文完)

 



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