博文

Zmn-0179 薛问天：再次说明有穷到无穷是一种飞跃-评林益先生的《0176》

已有 1893 次阅读 2020-4-28 12:50 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0179 薛问天：再次说明有穷到无穷是一种飞跃-评林益先生的《0176》
【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。评论《Zmn-0176》林益先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

再次说明有穷到无穷是一种飞跃

-评林益先生的《0176》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg 从有穷到无穷是一种飞跃，是质变，是突变。在我们的认识上要实现这种突破，这种跨越。不要总认为无穷是【变化着的有穷】，不要总以为在有穷情况下显而易见的规律，在无穷情况下就一定成立。无数事实证明这样的观点是错误的。这次林益先生在《0176》中提出的证明，所犯的错误，所感到的困惑，全都来源于同一个错误: 混淆了有穷和无穷的原则区别，把在有穷情况下正确的规律，误以为在无穷情况下也成立。下面我们来具体分析。

林益先生所提供的关于区间(0,1)中有理数集的测度为0的证明，无疑是正确的。由于有理数可数，可将其依次放入长度为ε/2,ε/4,...。的可数无穷个开区间A1,A2,...。中。令这些开区间的并集为B，显然B的长度总和不超过ε。即有理数集的测度小于ε。由于ε是任意大于0的数，所以有理数的测度等于0。这个证明概念清晰，逻辑严密，完全正确。

然后，林益先生对此证明进行了六点分析。在第五点分析中推导出了有理数可数。在第六点分析中推导出了无理数集的浏度为0。当然大家都知道这些推导必然是错误的。问题是要恰当地指出错在哪里。下面给出我对这六点分析的看法。

(1)，前三点分析都是正确的，没有问题。第一点说(0,1)中有理数集和无理数集的测度分别为0和1。第二点说B相对于区间(0,1)的补集肯定没有有理数的点，都是无理数点。第三点说既然B是开区间的并集，则 B相对于区间(0,1)的补集，除了两端外，肯定是闭区间的交集。我估计是林先生笔误，把这里的交集写成【并集】了。既然是闭区间的交集，当然也有可能是单点集。

(2)，前三点没有问题，关键是第四点有问题。林益先生在作出【 B对于区间(0,1)的补集不可能由单点构成】的错误论断时，说【因为如果由单点构成，单点必为B所含开区间的端点，】这里使用了一个在有穷情况下成立的命题。即在有穷情况下可以证明如下定理。

【定理1】。如果有穷个闭区间的交集中有单点，则单点必定是这些闭区间的某个端点。

但是这个定理对无穷情况下成立吗？是否有这样的定理:

【猜想定理】如果可数无穷多个闭区间的交集中有单点，则单点必定是这些闭区间的某个端点。

显然此定理不成立。因为我们有现成的例子。区间套就是可数无穷个闭区间，区间套的交集即它们的共同点可能是套中某区间的端点，但完全有可能这个共同点同套中所有区间的端点都不相同。我们知道，正是有了这种可能性才能由端点是有理数的区间套产生无理数，这是大家所熟知的事实。

所以说，这个在无穷情况下的【猜想定理】是错误的。而林益先生的推论【单点必定是某闭区间的端点】正是以此错误的【猜想定理】作为根据推断出来的结论。

然后林益先生说【由于类B所含开区间是可数的，所以这些单点构成的集也可数，而这些单点都是无理数点，如果可数，则区间(0,1)的实数可数（薛注：这个推论也是有问题的，因为在B所含开区间中还有很多无理数），显然与康托尔实数不可数矛盾。（薛注：矛盾是可数个单点集的测度不可能大于1-ε。）】

由于单点不一定是端点，所以就不一定可数，就不存在这些矛盾了。因而说林先生推论出的【 B对于区间(0,1)的补集不可能由单点构成】的判断是错误的。实际上它就是完全由单点组成的。

(3)，而林益的第五点是在错谈的第四点的结论【 B对于区间(0,1)的补集不可能由单点构成】的基础上的继续推论。认为【如果类B对于区间(0,1)的补集含有闭区间，则这个闭区间至少多于两个点，...，也必然包含有理数点，这显然与这个闭区间都是无理数点矛盾。】这一切都是第四点的结论【 B对于区间(0,1)的补集不可能由单点构成。】惹的祸。事实上是林益先生没有认识到，B对于区间(0,1)的补集，就是可数无穷多个闭区间的交集。这可数无穷多个闭区间，巧妙地形成了不可数个区间套，从而它们的交集就形成了不可数个单点，这些单点都是无理数。这才是事实的真相。

写到这里不能不对这大千世界的美妙感叹不已。一方面有理数同无理数从数量上相当悬殊，另一方面却又如此【水乳交融】【密不可分】，你中有我我中有你。呈现出一种无与伦比的【和谐之美】！

(4)，林益先生的第六点分析，是推论过程中的错误。与有穷无穷的概念无关。在推论中如果r≥k，应该推出1/2^(r+1) ≤ 1/2^(k+1)。而林益先生错误地写成 1/2^(r+1) ≥ 1/2^(k+1)。从而导致了后面的一系列的推理错误。当然就得不出【 (0,1)区间里的所有实数测度为 0。显然与勒贝格测度有矛盾。】的错误结论了。

另外，趁此机会对《 Zmn-0174 林益：关于不同进制数的互化问题的探讨》发表一点看法。

林益先生在文中提出数的不同进制的表示之间的互化(互相转化)问题。他认为有些是可以精准互化的，有些是不能精准互化的。其实在我看来，这些转换算法，从理论上讲，都是精准互化的。关键是你怎么看待无穷位小数。林益先生不承认无穷小数是确定的精准表达的数，把无穷小数看作是有穷小数正在变化着的序列，自然凡涉及无穷小数的转換都是不能【精准互化】的。因为它就不能【精准表达】，怎么能【精准互化】呢?例如二进制的有穷位小数0.1，转换为三进制的无穷小数0.111...。在我看来这就是【精准互化】。因为我认为0.1是1/2这个数的二进制的【精准表达】。而0.111...。这个无穷小数就是1/2这个数的三进制的【精准表达】。两个【精准表达】之间的【精准转換】不是【精准互化】是什么呢?这里面没有误差也没有剩余。因为这里0.111...。是无穷小数。只有有穷小数才存在误差和剩余。当然这个转换算法要进行无穷次，我们认为这是结果有定义的无穷次演算，而且这个算法可以完成，而不是【永远也不能完成】。

所以说我的看法是，只要把无穷小数看作是确定的数，看作是该数的【精准表达】，那凡涉及无穷小数的进制间的互换都是【精准互换】。当然我这里指的是理论上的转换，不是应用上或计算数学上的转换。那些应用上的算法都是近似算法，有精度，有误差。

（全文完）

返回到：

zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录