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Zmn-0206 薛问天：再论数学的逻辑缜密性-评欧阳耿先生的《0194》和《0204》
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Zmn-0206 薛问天：再论数学的逻辑缜密性-评欧阳耿先生的《0194》和《0204》
【编者按。下面是薛问天先生发来的评论文章。是对《Zmn-0204，0194》欧阳耿先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
再论数学的逻辑缜密性
-评欧阳耿先生的《0194》和《0204》
薛问天
数学是一门逻辑相当缜密的科学。如果没有遇到一位好的数学老师，严格要求，基本功就会不札实。没有经过严格的数学训练，养成良好的严谨习惯，用语和推理就都会不严格，太随意。就会不重视数学的严格定义和论断的严格推理。我真诚地希望能认识到， 数学是一门逻辑相当缜密的科学。从整个学风上有所改变，这样才会对数学能有一个新的认识和理解。
提纲
(1)，数学中除个别原始概念外每个概念都要有严格的定义。所有涉及概念的【证明】都是要根据概念的【定义】来推论的 。一定要分清所涉及的概念是不是有严格定义的数学概念。对于那些没有严格定义的【直观概念】，不能轻谈是【证明】。
(2)，在语言表达的和符号运用上要清晰明确，在逻辑推理上要条理严谨。
(3)，对数学概念的理解要严格确切和深入，不能蜻蜓点水雾里看花，道听途说想当然地张冠李戴，胡乱联系。
(4)，对数学概念的理解要靠定义的内容，不要在概念的名称的字面含义上纠缠不休。
(1)，数学中除个别原始概念外每个概念都要有严格的定义。所有涉及概念的【证明】都是要根据概念的【定义】来推论的 。一定要分清所涉及的概念是不是有严格定义的数学概念。对于那些没有严格定义的【直观概念】，不能轻谈是【证明】。
(a)，例如，在数学上有穷个数的相加运算是有严格的定义的，但是无穷个数的相加就无定义。无穷级数的和涉及无穷个数的相加。所以並无直接的定义。只是在有了极限概念，把无穷级数的和定义为部分和的极限后，无穷级数的和才有了定义。那些不理釆这个定义的对无穷级数的所有的讨论，都是不严格的，不是真正意义下的数学讨论，也是毫无意义和毫无价值的。
(b)，再例如欧阳先生在《0190》中关于【 有理数集合中所含的元素比自然数集合中所含的元素多得多】的【证明】涉及的概念【 集合中所含的元素的多少】，並不是一个有严格定义的数学概念。因而陈述的只是一个【观点】，而不能称之为数学的【证明】。只是表明数学概念【集合的基数(势)】同直观概念【集合的元素多少】，你不认可是恰当匹配的而已。
你之所以称其为【证明】，是因为你认为有一个严格定义的【 一 一对应的定量认知操作过程。】你以为【A集同B集的真子集(即欧阳先生所谓的「某一小部分元素」)能建立一一对应】就是【B集比A集元素多】的严格数学定义。这样才得出 【有理数集合中所含的元素比自然数集合中所含的元素多得多】的结论。其实并没有这样的【定量认知操作过程】和定义，也不可能有这样矛盾的定义(因为有可能同时有B集同A集的真子集一一对应)。康托尔定义的基数(势)并不是这样定义的。 【A集同B集的真子集能建立一一对应】只是【A集的势小于或等于B集的势】(注意是「小于或等于」而不是「小于」)的严格数学定义。
在这里我不能不对欧阳先生在《0204》中的辩解说几句话。欧阳先生说【 我在文 Zmn-0190 的目的，就是要揭示现有经典集合论中“无穷集合元素的个数没有严格的数学定义”问题和“一 一对应定量认知理论与操作”基础理论的缺陷。】
既然欧阳先生知道「 “无穷集合元素的个数没有严格的数学定义”」为什么还要去给出【 下面这个证明告诉我们】 【 有理数集合中所含的元素比自然数集合中所含的元素多得多】?你认为在【没有严格的数学定义】下能给出严格的【下面这个证明】吗?认为没有「元素个数」的定义，就能【证明】「元素多得多」，这就是不懂得数学，不懂数学的逻辑缜密性。更何况根本就不存在证明中所引用的这个错误的【一一对应的定量认知操作过程】，如果指的是康托用一一对应定义的基数的概念，那就是对基数定义的误解。你所指的【“一 一对应定量认知理论与操作”基础理论的缺陷。】也不是什么【缺陷】，要么是对基数理论的误读，要么是对无穷集的特征属性还缺乏足够的认识。
更奇怪的是欧阳先生的如下质问:【 如果薛先生根本就不知道现有经典集合论中「“无穷集合元素个数严格的数学定义”和“一一对应定量认知理论与操作的基础理论”，.....】
根本不存在的「元素个数」的数学定义和欧阳先生心中的错误的「一一对应定量认知理论」，我【根本就不知道】这很正常。不妨请欧阳先生把你知道的【 “无穷集合元素个数严格的数学定义”和“一一对应定量认知理论与操作的基础理论”，】说出来大家听听，说不定又是误读了什么概念，是不是指的是康托的基数(势)的概念。这倒是大多数数学家所认可的观点。把基数(势)看作是「“无穷集合元素个数严格的数学定义”」。但在数学上它的正式名称是集合的「基数(势)」，不是集合的「元素个数」。 集合的「元素个数」是个直观概念不是个有定义的数学概念。
滑稽的是欧阳先生的最后提醒：「在这个一一对应的操作证明中，我们仅仅关注、比较...两个无穷集合中所含元素“数量”之间“多-少”的关系，与“...基数、...”这些概念完全无关」。你这里又表白你的「一一对应的操作」与基数无关。那我就更不知道你心目中的「“一一对应定量认知理论与操作的基础理论”」指的是什么了！
(2)，在语言表达的和符号运用上要清晰明确，在逻辑推理上要条理分明步步严谨。
例如省略号「...」，我们一般公认，在1+1/2+...+1/2k中，它代表的是省略的有穷个项(因为 「...」后还有项+1/2k)，而在1+1/2+...中，它代表省略了无穷个项(因为 「...」后无项存在)。
1+...+1/2k=1+1/2 + (1/3+1/4) + ... + (1/ (2k-1+1) + ...+ 1/2k) ＞k/2。...(1)
式(1)是一个可以严格证明的有穷不等式。我一直认为这就是 Oresme 证明的重大贡献。调和级数的和是无穷大的严格证明(见《0137》)实际上要用到此不等式。除此之外，我并不认为【 Oresme 证明中】还有什么【那个以现有极限论为基础的“加括号精华”思路及其操作过程、结果，】有值得可取之处。从现在的观点来看， Oresme 的证明不能认为是「严格意义上的正确证明」。这是我一直明说的观点，没有任何【躲避】。
关于(2)～(5)式。当写出1+1/2+...时，我们就认可写的是无穷调和级数的和。当认可它的部分和的极限就是【无穷调和级数的和】的严格定义时，你把(2)-(5)式中的1+1/2...换写成【调和级数部分和的极限】并无原则区别。关键是后面这个【＞】号，以及后面的【 1+1/2 +1/2 +1/2+...+…】这个无穷级数(其中省略号「...」 代表无穷个项，所以是无穷级数 。)
你跟据什么知道 【调和级数部分和的极限】＞【无穷级数 1+1/2 +1/2 +1/2+...+…的部分和的极限】?而且还 【＞k/2】?这个k又是什么？
欧阳耿先生，难道你真的㸔不出这里的【 都是错误的吗？】你应该怎么判定一个无穷级数的部分和的极限大于另一个无穷级数部分和的极限？你应该先把这两个无穷级数的部分和Sn和S'n分别列出来，然后证明当n→∞时 Sn的极限大于S'n的极限。这个你做到了吗？你先列出来看看吧。我还要告诉你，既使你证明了对任何n， Sn＞S'n成立，都证明不了 Sn的极限大于S'n，因为还有可能它们的极限相等！所以说你凭白无故地就断定【＞】，不仅没有根据，而且最终证明是错误的。它们的部分和极限的关系不是【＞】 ，而是相等【=】 。
(3)，对数学概念的理解要严格确切和深入，不能蜻蜓点水雾里看花，道听途说想当然地张冠李戴，胡乱联系。
欧阳先生在《0194》和《0204》中都问了这样一个问题【 薛先生竟然不知道现有经典无穷理论体系中的“无穷小的阶、无穷大的阶、超穷数、……”概念，反复强调「∞＞∞并不成立」？】
从欧阳先生所提的这个问题可知，欧阳先生所【知道】的【现有经典无穷理论体系中 “无穷小的阶、无穷大的阶、超穷数、……”概念，】同我【 反复强调「∞＞∞并不成立」】之间是有矛盾的，从而对 「∞＞∞并不成立」产生了质疑。
这是典型的「张冠李戴，胡乱联系」。
我这里说的是断言【无穷级数A的和大于无穷级数B的和】。如果最后证明A和B的部分和(An和Bn)的极限都是∞时，这个断言就是错的。「∞＞∞并不成立」，成立的是「∞=∞」。即「A的和等于B的和」，而不是「A的和大于B的和」。
首先，我们来看【无穷小的阶，无穷大的阶。】
无穷小量即以0为极限的序列。说序列An是比Bn更高阶的无穷小量，是指此二序列的比值序列An/Bn也以0为极限。并不是说An的极限值小于Bn的极限值，极限值都等于0。只有0=0，没有0＜0。
无穷大量即以∞为极限的序列。说序列An是比Bn更高阶的无穷大量，是指此二序列的比值序列An/Bn也以∞为极限。并不是说An的极限大于Bn的极限，极限都等于∞。只有∞=∞，没有∞＞∞。
可见【知道无穷小的阶、无穷大的阶】对 「∞＞∞并不成立」没有任何影响，不产生任何矛盾。
再看超穷数，有超穷序数和超穷基数。序数和基数是自然数集的扩展，在序数和基数中超穷序数和超穷基数都大于所有自然数。序数是为衡量所有良序集合的序型的，基数是衡量所有集合的势的大小的。序数、基数、实数这是不同的数系，它们有各自的研究对象和理论体系 。
我们讨论的无穷级数说它的部分和的极限等于∞，这个∞不是数，不是实数，自然也不是超穷序数或超穷基数。它同超穷数没有关系。把它们联系起来，纯属典型的「张冠李戴，胡乱联系」。 可见【知道超穷数】对 「∞＞∞并不成立」没有任何影响，不产生任何矛盾。
至于在什么情况下该用【→∞】， 在什么情况下该用【=∞】，这完全是个符号的严格使用的问题。对于一个具有严格数学训练和良好严谨习惯的人，不难区分，不会出错。但是对于一个马马虎虎，不拘细节的人确实是纠错很难。说简单点，如果说的是尚未取极限的序列，在它（序列）后面写【→∞】比较合适。但是说的是已求出的极限，在它（极限）后面写 【→∞】就不合适了，而要写成（极限）【=∞】。
例如【调和级数的和=∞】，【调和级数的部分和序列→∞】这都是正确的。但写成【1+1/2+...→∞】就不正确了，因为1+1/2+...表示的就是调和级数的和而不是部分和序列，是部分和序列的极限 。正确的写法应是【1+1/2+...=∞】。
(4)，对数学概念的理解要靠定义的内容，不要在概念名称的字面含义上纠缠不休。
这一直是我坚持的观点，数学概念的确切含义要根据它的定义的内容来确定，不要在概念的名称的字面含义上去乱琢磨，名称只是个名字记号而已。什么「可列就是可以一个一个列出来」「可数就是可以一个一个数出来」， 这就如同说「自然数是自自然然的数」，「实数就是实实在在的数」一样，这些全是不懂数学的人说的话。
没想到我写的「基数(势)」的定义和 「原本个数」的定义，竟然使欧阳耿先生认出来名称并不重要。欧阳先生说【说了那么多，却是仅仅告诉人们可以用“基数”这个词来表示无穷集合之间的某种关系（完全可以用别的任何词来代替，比如用“叮当”或“咕咚”……），】
【 仅仅告诉人们可以用“集合元素的 「原本个数」”这个词来表示无穷集合之间的某种关系（同样完全可以用别的任何词来代替，比如用 “蹡蹡”或“哗啦”……）。】
欧阳先生说得太对了，要知道这正是我要的效果 。所定义的就是【表示无穷集合之间的某种关系（完全可以用别的任何词来代替）】这里叫作【基数】【势】，康托尔当时起名字時完全可以叫个另外的名称。我这里叫【原本个数】 ，我也曾想过其它的名字，如【纯个数】等，最后取了这个名字。也就是说这个概念的确切含义与名字无关，只与定义的具体内容有关。当然已经起好了的名字，一般就不好再改了，不能再【 用别的任何词来代替】了。
当然欧阳先生注重名称，认为要对名字的含义作觯释才叫定义。在他的眼里这不是定义。他说我【根本就没有（不可能）给出无穷集合的基数(势)科学、确切的定义？！】【根本就没有（不可能）给出“集合元素的 「原本个数」”科学、确切的定义？！】
这就是我们在认识上的差异。我认为我己经完整地、严格地给出了【基数(势)】和【原本个数】的科学的、确切的、数学定义。定义的内容己经明确地说清楚了，没有必要再对概念的名称作任何其它的多余的解释。
那么请问欧阳耿先生你认为怎样的定义，才算是【科学的、確切的】定义呢？
(全文完)
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科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0200 期目录：2020-5-14 09:54
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