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Zmn-0202 薛问天：论无穷集合元素的「原本个数」-评欧阳耿先生的【元素多少】概念。
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Zmn-0202 薛问天：论无穷集合元素的「原本个数」-评欧阳耿先生的【元素多少】概念。
【编者按。下面是薛问天先生发来的评论文章。是对《Zmn-0190》欧阳耿先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
论无穷集合元素的「原本个数」
-评欧阳耿先生的【元素多少】概念。
薛问天
(1)，前言
对无穷集合来说，什么是「无穷集合元素的个数」，没有严格的数学定义。也就是说，「无穷集合元素的个数」不是个严格的数学概念，而是一个在各个人的脑海中的「直观概念」。大多数数学家和专业人士认为康托定义的「集合的基数(势)」 可以看作是 「无穷集合元素的个数」的严格定义。但这毕竟是一种【认为】和【看作】，并没有完全划等号。是「仁者见仁，智者见智」。因为一边是直观概念一边是严格的数学概念，不可能用证明的方法证明两者相等。只能靠实践来体会，看两者是否匹配。实践证明在大多数情况下，这两者还是比较匹配的。
笔者在本文(4)中提出了另一个新的数学概念，称为集合的「原本个数」，这是个严格的数学概念，但它只适用于集合同它的子集的「元素个数多少」的比较。不适用于任意两个集合 「元素个数多少」的比较。 「原本个数」的特点是它不颠覆「整体大于部分」这个常规，比较符合通常的习惯。我认为可以作为「基数(势)」概念的一种补充。在有些场合下也许用 「原本个数」作为集合的元素个数的定义，可能更为恰当。
(2)，欧阳耿先生【证明】的错误
欧阳耿先生在《0190》中宣称他证明了【 有理数集合中所含的元素比自然数集合中所含的元素多得多。】他证明的方法就是证明自然数集合可以同有理数集合的一个真子集建立一一对应。
这就涉及到有没有这样的定义:【如果A集能同B集的一个真子集一一对应，就称B集的元素比A集多】？
在数学上对于无穷集并没有这样的定义。这只是在有穷集时成立的规律。对于无穷集来说，任何一个无穷集都可以同它自己的一个真子集建立一一对应，你能说无穷集自己比自己的元素还要多吗？
对于两个等势的无穷集A和B，不仅A可以同B的真子集一一对应，B也可以同A的真子集一一对应。你能说B比A的元素多，同时A也比B的元素多，这不是矛盾的吗？实际上欧阳耿所举的有理数同自然数的例子，不仅可证有理数的真子集能同全体自然数集一一对应，也很容易证明自然数的真子集能同全体有理数集建立一一对应。如果上述定义成立，豈不自然数的元素也比有理数元素多很多了吗？可见这样的定义不成立。这样的【证明】是错误的。
(3)，集合的基数(势)的确切定义
大多数数学家和专业人士认为「集合的基数(势)」 可以看作是 「无穷集合元素的个数」的严格定义。那么基数(势)是如何定义的呢。
【定义1】 如果A集能同B集的一个真子集一一对应，就称A集的基数小于或等于A集的基数，记作|A|≤|B|。
【定义2】 如果A集能同B集一一对应，就称A集的基数等于B集的基数，记作|A|=|B|。
【定理1】如果 |A|≤|B|，而且|B|≤|A|，则 |A|=|B|。
【定理2】如果 |A|≤|B|，而且|A|≠|B|，则 |A|<|B|。
从以上严格定义可以看出欧阳耿【证明】的错误，在于只是证明了自然数集的基数「小于或等于」有理数的基数，而不是自然数集的基数「小于」有理数的基数。实际上自然数集的基数是「等于」有理数的基数的。按照定理2，不仅要证明自然数集的基数「小于或等于」有理数的基数，而且要证明自然数集的基数「不等于」有理数的基数，才能证明自然数集的基数「小于」有理数的基数。欧阳耿的【证明】显然没有做到这点。
(4)，集合元素的「原本个数」
笔者在这里给出另一个关于集合元素个数的定义，称为集合元素的 「原本个数」。
【定义3】 如果A集是B集的一个子集，就称A集的「原本个数」小于或等于A集的 「原本个数」，记作[A]≤[B]。
【定义4】 如果A集等同B集(元素完全相同)，就称A集的 「原本个数」等于B集的 「原本个数」，记作 [A]=[B]。
【定理3】如果 [A]≤[B]，而且 [B]≤[A]，则 [A]=[B]。
【定理4】如果 [A]≤[B]，而且 [A]≠[B]（即A是B的真子集），则 [A]<[B]。
显然对于无穷集合来说，它的「原本个数」也是个严格定义的数学概念。它不再颠覆「整体大于部分」的原理。而且，偶数集的 「原本个数」小于自然数集的 「原本个数」。[自然数集]<[有理数集]， [有理数集]<[实数集]，......。
我相信这个无穷集合的「原本个数」的概念，可以作为基数(势)的一种补充，在有些场合下，作为集合的「元素个数」的一种严格定义也是可行的，有用的，有帮助的。当然它有一定的适用范围，并不是在所有情况都适用。
（全文完）
返转到：
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0200 期目录：2020-5-14 09:54
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