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Zmn-0185 薛问天:有理数的【缝隙】和无理数。

已有 427 次阅读 2020-5-3 19:52 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0185 薛问天:有理数的【缝隙】和无理数。

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

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有理数的【缝隙】和无理数。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-c.jpg最近在讨论在区间(0,1)中的有理数和无理数的关系时,涉及到如何认识和理解有理数的【缝隙】和它同无理数的关系的问题。本文尝试对此问题作以解释和探讨。

 

(一),什么是有理数的【缝隙】?

有人问【考察区间(0,1),区间内的所有有理数是可数的,...全部可数无穷个有理数将形成可数无穷个缝隙,...由于区间内的无理数是不可数的,如果将无理数全部填入可数个缝隙,就必然存在至少一个缝隙填入了不可数个无理数...而这显然与有理数的稠密性矛盾。】

同时对 「当你把这可数个有理数全部挖完后,剩下的不是可数无穷个开区间,而是不可数无穷个无理数单点。」的断言产生了疑间说:【请问:可数个有理数全部挖完后,剩下是不可数无穷个.无理数单点。这是怎么实现的?】

 

(1),有理数不存在「相邻点」间的 【缝隙】。

首先要对有理数的「稠密性」有充分的认识。所谓 「稠密性」就是指在任何两个有理数a和b(a<b)之间都存在第三个有理数c(a<c<b)。这很好证明,只要令c=(a+b)/2就行了。实际上不止只有一个c,在a, b间有无穷多个有理数 。可见有理数不是「离散」的 。所谓离散就是指存在两个有理数 ,它们之间没有有理数存在 。这样的数称为「相邻」数 。显然有理数不是离散的,也不存在相邻数。自然也就不存在「相邻点」间的 【缝隙】。所以那种想当然地以为有理数可数就可以排成一排。有可数无穷多个有理数,就有可数无穷多个 「相邻点」间的 【缝隙】。这种论点显然不成立。

(2),挖走可数无穷个点后,剩下的不保证一定是可数无穷个开区间。

我们可以严格地证明下述定理。

【定理1】在(0,1)区间内挖走n个(有穷个)点后,剩下n+1个开区间。

是的,我们可以用数学归纳法严格地证明这个定理对所有的自然数n都成立。但是绝对不能错误地以为这个定理在无穷情况下也成立。对无穷情况,可以表述如下 。

【猜想定理】 在(0,1)区间内挖走可数无穷个点后,剩下的一定是可数无穷个开区间。

有人以为证明了定理1,就证明了无穷情况下的【猜想定理】。这是不对的。这两个定理有原则的区别。尽管我们证明了对于所有的自然数【定理1】都成立,但是任何自然数都是有穷数,所以定理1中所说的挖走的点只有有穷个。而【猜想定理】要求挖走可数无穷个点,要挖走无穷个点。一个是有穷一个是无穷当然是不同的。我们在后面将会证明,实际上,当你把可数个有理数全部挖完后,剩下的不是可数无穷个开区间,而是不可数无穷个无理数单点。也就是说【猜想定理】是错误的,並不成立。这就是有穷和无穷的区别,是有穷到无穷的质变和突变。不能认为在所有有穷情况成立的规律在无穷情况下就一定理所当然地成立。这就是一个活生生的例子。

(3),有理数中的【缝隙】

既然在有理数中不存在「相邻点」间的 【缝隙】。也不存在有【可数无穷多个开区间】这样的【缝隙】,那么究意什么才是有理数中的【缝隙】呢?

德国数学家戴德金(1831-1916)提出了一种方法。将有理数的集合划分为两个非空且不相交的子集A和B,使得集合A中的每一个元素小于集合B中的每一个元素。这样一来,在有理数集合A和B之间是否就存在有理数中的【缝隙】呢?

进一步研究得知有理数的仅有的三种类型的分划,即:
(1),在A内无最大数,而在B内有最小数r;
(2),在A内有最大数r,而在B内无最小数;
(3),在A内无最大数,在B内也无最小数。

在前两种情形下不可能有【缝隙】,因为如果有缝隙填上一数s后,这个s同r之间就成为离散的「相邻点」了,就有了「相邻点」间的 【缝隙】。这同有理数的「稠密性」相矛盾。只有第三类划分才真正是有理数中的【缝隙】。

那么这种有理数中的【缝隙】究竟有多少呢?是可数无穷多个还是有不可数无穷多个呢?我们在后面将证明有理数中的【缝隙】有不可数无穷多个,它们就是全体无理数,基数是连续统。

(二),有理数中的【缝隙】有多少?

为了解答这个问题,我们先从二进制的有穷小数和无穷小数谈起。

 

(1),二分点和二进制有穷小数。

我们来考查区间(0,1)中的逐层二分点及其二进制表示。
第1层:                                 0.1
第2层:              0.01,                           0.11
第3层:  0.001,       0.011,     0.101,       0.111
......

所有的逐层二分点对应所有的二进制有穷小数,第一层二分点对应小数点后1位有穷小数,第2层分点对应2位有穷小数...,第n层分点对应二进制小数点后n位有穷小数。…考虑所有层的二分点及其对应的二进制有穷小数。

(2),二进制有穷小数集合的【缝隙】

我们考虑(0,1)区间中所有层二分点的集合,即所有二进制有穷小数的集合Y。显然这个集合是稠密的。而且对任何一个二进制无穷小数w,都可按下述方法将Y进行划分:A={y|y<w},B={y|y>w}。而且可证这是第三类划分。这个无穷小数w,刚好就填充了二进制有穷小数集合Y的这个缝隙。而且这种由无穷小数生成的划分是Y中仅有的第三类划分。也就是说Y中的所有缝隙都是由无穷小数生成,而且由其填充。这样Y中的缝隙数,就等于所有无穷小数集合W的基数。下面证明W的基数是不可数无穷,即连续统。

(3),二进制无穷小数集合W不可数

我们考虑(0,1)区间中所有二进制无穷小数的集合W。我们可仿照康托定理的证明方法来证明W不可数。用反证法,假定W可数,则W中全体无穷小数可排成一个无穷序列w1,w2,......。其中
w1=0.a11a12......a1n......。
w2=0.a21a22......a2n......。
......
wn=0.an1an2......ann......。
......

构造无穷小数b=b1b2...bn...。如下:

b1=1,当且仅当a11=0。

b2=1,当且仅当a22=0。

......

一般地bn=1,当且仅当ann=0。

显然b是无穷小数但不在W的序列之中,因为对任何k,由于bk≠akk,所以b≠wk。同假定序列包括所有无穷小数相矛盾,从而W不可数得证。

(4),有理数集合的【缝隙】

我们在前面已经得出结论。二进制有穷小数集合Y的所有缝隙,被全体二进制无穷小数集合W填充。而W的基数是不可数无穷(连续统)。

我们知道无穷小数分循环小数和非循环小数。非循环小数就是无理数。而循环小数是有理数的一部分。有理数由有有穷小数和循环小数组成。所有有理数的集合Q和所有有穷小数的集合Y的基数都是可数无穷,循环小数的集合X的基数也不会超过可数无穷。由于所有无穷小数的集合W是不可数的,去掉循环小数后的所有无理数的集合U,也是不可数的。

由于二进制有穷小数Y的缝隙中有一部分是被循环小数所填充,循环小数是有理数,所以Y的这一部分缝隙就不能算作有理数集合Q的缝隙。因而所有有理数集合Q的缝隙就要从所有无穷小数中除去循环小数,而这剩下的正好就是全体无理数集合U 。于是我们就得出了最后的结论:「 所有有理数集合Q的缝隙是不可数的,被所有无理数集合U所填充。」

本文所用的主要符号索引:  (0,1)

所有有穷小数的集合: Y,

所有无穷小数的集合:W,

所有无穷循环小数的集合:X,

所有有理数的集合:Q,

所有无理数的集合:U,

(全文完)



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