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Zmn-0219 沈卫国:对薛问天先生对我微积分求导一文的质疑(Zmn-0216)的回答及解释

已有 605 次阅读 2020-6-5 08:33 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0219 沈卫国:对薛问天先生对我微积分求导一文的质疑(Zmn-0216)的回答及解释

 【编者按。下面是沈卫国先生发来的文章,是对《Zmn-0216》薛问天先生的文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

对薛问天先生对我微积分求导一文的质疑

Zmn-0216)的回答及解释

 

沈卫国

 

   首先感谢薛先生的评论。

   但有些问题的确不好说。薛先生说我没有给出导数的定义。而且他视此点为敝文的最大弊端。可是,我的导数定义明明是在文章中给出的。怎么没有给呢?是薛先生没有用心看还是怎么着?这个导数的定义,也可以说是新的。早在我第一篇关于微积分求导的文章中就给出了,也就是说,我的解释还没有完善的时候,我的导数的定义就有了。而且此文也是在网易还是科学网上的文清慧博客上发过。导数的定义(见文章中,有的),很简单,其几何定义,就是曲线的切线斜率。物理定义,是一个受力物体,做加速或曲线运动,在某点突然解除所受之力的那一时刻及其后,其作匀速直线运动的速度。这个文章中都有,而且我的很多微积分文章中都有。注意,这个导数的几何定义表面看与传统定义没有什么区别,但实际是有实质性区别的。这里的切线斜率,是真正意义的斜率,也就是分子、分母都是宏观量,没有什么无穷小或者极限之类。具体说,分母的自变量的增量,可以看作是1。也就是所谓的“消去了分母”。但这个自变量的增量,已经不是曲线的自变量的增量,而是先是割线,后是切线上的两个点之间的那个“增量”,这是要注意到的。这个切线上的两个点,与曲线上的两个点无关。只是切线与曲线有一个交点而已。这个分母上的1是怎么来的,是我凭空空降的吗?当然不是。无论牛顿、莱布尼兹还是极限法,都要在求极限等等之前,有一个消去分母上的自变量的操作吧?薛先生敢不承认?这个消去分母,也就是约分过程,按约分的定义,分子分母同除以一个数,这个数当然就是分母上的自变量的增量Δx,于是,分母上的Δx除以Δx得几呀?小学几年级学这个的?如果还不会,我就说了:得1。好吗?这不就完了,还说什么?分母为1,等于几?当然是1。趋于几?是0?还是1?薛先生要是敢说趋于0得1,我替您从楼上跳下去算了。好么?因此,薛先生的所谓我的最大的弊端,自然就没有了。这个定义,在我的理论也就是解释不太完善的时候,就给出了。我一但明白了这一点,甚至认为其它如何求什么的,都不重要了。因为定义一有,怎么都可以求出来。后来的工作,只是为了别人更好理解而已。

薛先生在其文章的第二部分,质疑我不该把式中三个Δx,看成不同的。薛先生没有明白,这不是我要怎样的,这是无论牛顿、莱布尼兹还是极限法第二代微积分,正是他们在求极限或什么无穷小之前,先把分母约掉了。如何约的?他们都没有讲。我告诉你吧,按约分的定义,分子分母同除一个数(或变量,这里就是分母Δx),那么,分母与分子上的一个Δx,也就是Δx/Δx,变成了1/1,对吧?这可是约分的定义,不是我的发明。请问薛先生,他们,也就是牛顿、莱布尼兹和极限法求导如此做的,你让我负什么责?是我硬要这么干的?我不过告诉你们,按约分的定义,约分究竟是个什么意思,不是把个分母去掉不写就完了。所以,式中三个Δx,去掉两个(变成了1/1,当然可以不写),还剩一个,爱等于几等于几。当然也可以等于0,趋于0也可以。而且根本就不必趋于,就是等于就行。总之,只要一约分,有此操作,就等于使得这三个Δx不一样了。分母上的等于1了,而分子上剩下的,也就是在割线方程的系数K中的那个,是可以等于0的。不一样了。你非说什么趋于0也可以,但分母上的已经由于约分等于1了,不会再随它趋于0了,要趋,也是趋于1好吗。我要特别提醒一下薛先生,我这里是“顺着”他们的思路做的,因为他们就是先约去分母,再求极限的。我只是告诉你这意味着什么。薛先生说如果Δx等于0,凭什么就可以约去,除去?你问的好呀,按你的意思,不是牛顿、莱布尼兹和极限法也不应该约去分母了?我不可以约,他们就可以?我只不过是告诉你,这样先于求极限地约去分母,究竟意味着什么罢了。明确说,就是,牛顿他们(包括极限法)先于极限约去分母(即得1/1),就是式子中的三个Δx不是一回事。不要跟我讲什么Δx等于0了不能约啦,约分母不是我做的,是他们都如此做的。明白?我是顺着他们来的,试图彻底搞清楚他们如此做的道理是什么的。

既然式子中的三个Δx不是一回事,(牛顿等的约分决定的)当然不必同为0或不为0。1/1,当然就可以写成Δx1/Δx1以示与Δx的区别。此时的KΔx1/Δx1是什么(K=2x+Δx)?割线方程嘛?此时Δx,为割线与二次曲线的交点的横坐标,此二交点当然在曲线上,也在割线上。但Δx1是什么,就是割线上任意两点的横坐标。注意,这里这两个点与曲线没有任何关系。起码其中一个是如此。我在图上标的清清楚楚的。薛先生竟然不察如此。

再一次说明,我的这套东西,不是我凭空空降的,而是顺着牛顿、莱布尼兹及极限法求导过程来诠释的。是解释他们,不是我发明的什么东西。步骤都是人家的,我只是解释每一步意味着什么。他们怎么就求出了精确的、正确的导数,贝克莱悖论究竟是如何发生的,怎样可以避免等等。

 薛先生的第(3)部分,实际与第(2)部分一样。没有什么新的东西。我上面已经回答了。这里不妨再啰嗦几句:Δx,只涉及曲线上的两个点。如果表示曲线,式子中的三个Δx当然要一致,要0,全为0,要1,全为1,等等。但是,牛顿、莱布尼兹及极限法求导,在求极限等等前,都做了一件事,就是约分约去分母。对吧?你不去掉分母Δx,你能求出极限?你求一个给我看看?那么,他们做的这一步的意义是什么?按约分定义,就是把式子中的Δx/Δx变成了1/1。由于这一步是求极限前做的,所以他们可没有要求Δx不能等于0之类的。否则也就没有什么后来的Δx趋于0的极限了。也就是,如果像薛先生所言,因为Δx后来趋于0或等于0就不能约分的话,不是我怎么样,牛顿、莱布尼兹以及极限法求导都不可以约分,请问,后面的极限还能做吗?既然牛顿等的约分决定了(注意,不是我沈卫国决定的!)式子中的三个Δx是不一样的(原先可以一样,但一旦约分操作,就肯定不一样了。谁让你约分的?),那么,就应该区别开,在写法上,也就是应该把Δx/Δx写成Δx1/Δx1(约分后为1/1了),以示区别。对吧?总之,你要表示曲线上的两个点,就别约分。一旦约分,表示的就是割线或切线上的两个点了。这就是牛顿、莱布尼兹还有实际极限法求导所做的。于是,在约分操作之后,他们求出的,就是切线的斜率。而且是真正意义的、两个宏观量之比的、这里是自变量为1时的切线斜率。分母为1而不再是0,还有什么贝克莱悖论?明确说,牛顿、莱布尼兹及极限法求导公式等号的右边,是实际求出了切线斜率(不涉及什么极限与无穷小的,经典意义的斜率),但求导公式的等号的最左边,表达的还是曲线的增量与其自变量增量之比。两边不是一个东西,当然会有0/0与2x的区别了。这就是贝克莱悖论产生的原因。

薛先生在其文章中的“第二”、“第三”部分,说了一些极限法如何求出的导数。只是说什么依据定理,而没有说这些定理是不是真的定理,是如何得到的等等,因此恐怕连他自己底气都不足。他把第一代微积分求导为什么不对还居然求出来了,归结为似乎与极限法的一种巧合,也就是等于0与趋于0都能得到云云。你趋于0能得到,你就得继承等于0的第一代微积分的所有遗产,也就是得到0/0,不管你叫这个是函数值还是极限值。好东西你全留下了,不好的不提了,那哪成啊?此外,我多次说过,我的解释,与极限法的对错无因果关系,也就是它对,不就是我错。没关系的。可以互相独立。但是,我在文章的下半部分,明明是给出了极限法最致命的问题的。薛先生是没看见还是视而不见?我文章的第二部分,围绕公式2的讨论您没看见吗?极限法是沿着公式2从左到右推导的。其中消去分母,通常被人解释成由于Δx不能等于0,所以可以除法消去它,然后再令剩下的那个Δx去趋于0。听似好有理啊!但是,我们把公式2由右向左推导不行吗?不是都是等号相连的吗?当然可以。也就是,如果我们事先有函数2x+Δx(此式中Δx趋于0时当然等于2x),由于此时Δx不等于0,我们可不可以乘上一个Δx/Δx写成(2x+Δx)Δx/Δx?当然可以。由于此式是分母不能等于0的,也就是在Δx=0点不能有函数值,但没有函数值,按2式从左向右的推导同样的原则,不是可以有极限值吗?你去求求此式的极限,不是0/0?一个原本是2x的极限,成了0/0了。反过来也一样,从左到右,一个原本是0/0的极限,也成了2x。如果从左至右合理,从右至左也合理;反之,如果从右至左不合理,从左至右也不合理。难道求极限还非要消去分母吗?而消去分母的唯一理由,是分母不为0。那么,一个变量不为0,不是同样的理由,可以将之加于分母,然后求极限?你如果说求极限只能消去分母再求,我就要问你为什么?你大概也只能回答不消去分母,会求出极限0/0。那不就得了。求导公式不就是求(2x+Δx)Δx/Δx的极限?它的极限不就是0/0?难道是求2x+Δx的极限?如果是,为什么?不是否则会有极限0/0吗?逻辑循环吧?这么多年,居然没有人想到这点。对极限法求导的否定,以此为最彻底!任何诡辩都无用了。彻底将死。公式2既然是用等号相连的,右推,左推,都一样。不能只能向右不能向左吧?

再引用一下大数学家、逻辑学家罗素的话,与薛先生共勉:“那些教我无穷分析的老师,找不出有说服力的论据来证明微积分的基本概念,就只好说服我充满信心的去接受那些公认的诡辩。”马克思的话文章中都有了,省略。

最后,应该再一次感谢薛先生不吝赐教。当然,也还是要提点希望:不要总是低估我们中国人自己的能力,把外国人的东西就都看成是金科玉律。要学吴文俊先生的气魄:外国人搞了的,我就不搞,我搞外国人没搞的。更何况我也没有否定什么嘛,不是说了,不过是在牛顿、莱布尼兹方法下做了些解释而已。我反了半天柯西极限法,不是维护的还是牛顿、莱布尼兹这些外国人嘛?您薛先生把个外国人看的那么高,我请问你,牛顿、莱布尼兹高还是柯西高?如果牛顿他们是错的,微积分的创始人干脆改成外尔斯特拉斯、柯西算了。你不遗余力地维护后者,不是也无形中反对了大权威牛顿、莱布尼兹吗?是不是得不偿失啊?希望您想通,彻底站到牛顿、莱布尼兹的立场上来,而不要单纯理解成承认我沈卫国的什么东西。好吧。

此外,你在文章的最后说:那些想不用极限来消解分析中的悖论和矛盾的方案,没有一个是成功的。最终都以某种方式依赖于极限概念和理论。可见极限概念的重要。

我想你说的是林群、张景中院士他们吧?否则还有谁?我倒是想看到你是如何批他们的。你这个话,对他们的方案,是很成立的。他们的方案,的确最终都要归结为极限。所以与第二代微积分没有本质的区别。反而叠床架屋,搞的更复杂了。



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   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录


 




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