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Zmn-0219 沈卫国：对薛问天先生对我微积分求导一文的质疑（Zmn-0216）的回答及解释

已有 1783 次阅读 2020-6-5 08:33 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0219 沈卫国：对薛问天先生对我微积分求导一文的质疑（Zmn-0216）的回答及解释

【编者按。下面是沈卫国先生发来的文章，是对《Zmn-0216》薛问天先生的文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

对薛问天先生对我微积分求导一文的质疑

（Zmn-0216）的回答及解释

沈卫国

首先感谢薛先生的评论。

但有些问题的确不好说。薛先生说我没有给出导数的定义。而且他视此点为敝文的最大弊端。可是，我的导数定义明明是在文章中给出的。怎么没有给呢？是薛先生没有用心看还是怎么着？这个导数的定义，也可以说是新的。早在我第一篇关于微积分求导的文章中就给出了，也就是说，我的解释还没有完善的时候，我的导数的定义就有了。而且此文也是在网易还是科学网上的文清慧博客上发过。导数的定义（见文章中，有的），很简单，其几何定义，就是曲线的切线斜率。物理定义，是一个受力物体，做加速或曲线运动，在某点突然解除所受之力的那一时刻及其后，其作匀速直线运动的速度。这个文章中都有，而且我的很多微积分文章中都有。注意，这个导数的几何定义表面看与传统定义没有什么区别，但实际是有实质性区别的。这里的切线斜率，是真正意义的斜率，也就是分子、分母都是宏观量，没有什么无穷小或者极限之类。具体说，分母的自变量的增量，可以看作是1。也就是所谓的“消去了分母”。但这个自变量的增量，已经不是曲线的自变量的增量，而是先是割线，后是切线上的两个点之间的那个“增量”，这是要注意到的。这个切线上的两个点，与曲线上的两个点无关。只是切线与曲线有一个交点而已。这个分母上的1是怎么来的，是我凭空空降的吗？当然不是。无论牛顿、莱布尼兹还是极限法，都要在求极限等等之前，有一个消去分母上的自变量的操作吧？薛先生敢不承认？这个消去分母，也就是约分过程，按约分的定义，分子分母同除以一个数，这个数当然就是分母上的自变量的增量Δx，于是，分母上的Δx除以Δx得几呀？小学几年级学这个的？如果还不会，我就说了：得1。好吗？这不就完了，还说什么？分母为1，等于几？当然是1。趋于几？是0？还是1？薛先生要是敢说趋于0得1，我替您从楼上跳下去算了。好么？因此，薛先生的所谓我的最大的弊端，自然就没有了。这个定义，在我的理论也就是解释不太完善的时候，就给出了。我一但明白了这一点，甚至认为其它如何求什么的，都不重要了。因为定义一有，怎么都可以求出来。后来的工作，只是为了别人更好理解而已。

薛先生在其文章的第二部分，质疑我不该把式中三个Δx，看成不同的。薛先生没有明白，这不是我要怎样的，这是无论牛顿、莱布尼兹还是极限法第二代微积分，正是他们在求极限或什么无穷小之前，先把分母约掉了。如何约的？他们都没有讲。我告诉你吧，按约分的定义，分子分母同除一个数（或变量，这里就是分母Δx），那么，分母与分子上的一个Δx，也就是Δx/Δx，变成了1/1，对吧？这可是约分的定义，不是我的发明。请问薛先生，他们，也就是牛顿、莱布尼兹和极限法求导如此做的，你让我负什么责？是我硬要这么干的？我不过告诉你们，按约分的定义，约分究竟是个什么意思，不是把个分母去掉不写就完了。所以，式中三个Δx，去掉两个（变成了1/1，当然可以不写），还剩一个，爱等于几等于几。当然也可以等于0，趋于0也可以。而且根本就不必趋于，就是等于就行。总之，只要一约分，有此操作，就等于使得这三个Δx不一样了。分母上的等于1了，而分子上剩下的，也就是在割线方程的系数K中的那个，是可以等于0的。不一样了。你非说什么趋于0也可以，但分母上的已经由于约分等于1了，不会再随它趋于0了，要趋，也是趋于1好吗。我要特别提醒一下薛先生，我这里是“顺着”他们的思路做的，因为他们就是先约去分母，再求极限的。我只是告诉你这意味着什么。薛先生说如果Δx等于0，凭什么就可以约去，除去？你问的好呀，按你的意思，不是牛顿、莱布尼兹和极限法也不应该约去分母了？我不可以约，他们就可以？我只不过是告诉你，这样先于求极限地约去分母，究竟意味着什么罢了。明确说，就是，牛顿他们（包括极限法）先于极限约去分母（即得1/1),就是式子中的三个Δx不是一回事。不要跟我讲什么Δx等于0了不能约啦，约分母不是我做的，是他们都如此做的。明白？我是顺着他们来的，试图彻底搞清楚他们如此做的道理是什么的。

既然式子中的三个Δx不是一回事，（牛顿等的约分决定的）当然不必同为0或不为0。1/1，当然就可以写成Δx1/Δx1以示与Δx的区别。此时的KΔx1/Δx1是什么（K=2x+Δx)?割线方程嘛？此时Δx，为割线与二次曲线的交点的横坐标，此二交点当然在曲线上，也在割线上。但Δx1是什么，就是割线上任意两点的横坐标。注意，这里这两个点与曲线没有任何关系。起码其中一个是如此。我在图上标的清清楚楚的。薛先生竟然不察如此。

再一次说明，我的这套东西，不是我凭空空降的，而是顺着牛顿、莱布尼兹及极限法求导过程来诠释的。是解释他们，不是我发明的什么东西。步骤都是人家的，我只是解释每一步意味着什么。他们怎么就求出了精确的、正确的导数，贝克莱悖论究竟是如何发生的，怎样可以避免等等。

薛先生的第（3）部分，实际与第（2）部分一样。没有什么新的东西。我上面已经回答了。这里不妨再啰嗦几句：Δx，只涉及曲线上的两个点。如果表示曲线，式子中的三个Δx当然要一致，要0，全为0，要1，全为1，等等。但是，牛顿、莱布尼兹及极限法求导，在求极限等等前，都做了一件事，就是约分约去分母。对吧？你不去掉分母Δx，你能求出极限？你求一个给我看看？那么，他们做的这一步的意义是什么？按约分定义，就是把式子中的Δx/Δx变成了1/1。由于这一步是求极限前做的，所以他们可没有要求Δx不能等于0之类的。否则也就没有什么后来的Δx趋于0的极限了。也就是，如果像薛先生所言，因为Δx后来趋于0或等于0就不能约分的话，不是我怎么样，牛顿、莱布尼兹以及极限法求导都不可以约分，请问，后面的极限还能做吗？既然牛顿等的约分决定了（注意，不是我沈卫国决定的！）式子中的三个Δx是不一样的（原先可以一样，但一旦约分操作，就肯定不一样了。谁让你约分的？），那么，就应该区别开，在写法上，也就是应该把Δx/Δx写成Δx1/Δx1（约分后为1/1了），以示区别。对吧？总之，你要表示曲线上的两个点，就别约分。一旦约分，表示的就是割线或切线上的两个点了。这就是牛顿、莱布尼兹还有实际极限法求导所做的。于是，在约分操作之后，他们求出的，就是切线的斜率。而且是真正意义的、两个宏观量之比的、这里是自变量为1时的切线斜率。分母为1而不再是0，还有什么贝克莱悖论？明确说，牛顿、莱布尼兹及极限法求导公式等号的右边，是实际求出了切线斜率（不涉及什么极限与无穷小的，经典意义的斜率），但求导公式的等号的最左边，表达的还是曲线的增量与其自变量增量之比。两边不是一个东西，当然会有0/0与2x的区别了。这就是贝克莱悖论产生的原因。

薛先生在其文章中的“第二”、“第三”部分，说了一些极限法如何求出的导数。只是说什么依据定理，而没有说这些定理是不是真的定理，是如何得到的等等，因此恐怕连他自己底气都不足。他把第一代微积分求导为什么不对还居然求出来了，归结为似乎与极限法的一种巧合，也就是等于0与趋于0都能得到云云。你趋于0能得到，你就得继承等于0的第一代微积分的所有遗产，也就是得到0/0,不管你叫这个是函数值还是极限值。好东西你全留下了，不好的不提了，那哪成啊？此外，我多次说过，我的解释，与极限法的对错无因果关系，也就是它对，不就是我错。没关系的。可以互相独立。但是，我在文章的下半部分，明明是给出了极限法最致命的问题的。薛先生是没看见还是视而不见？我文章的第二部分，围绕公式2的讨论您没看见吗？极限法是沿着公式2从左到右推导的。其中消去分母，通常被人解释成由于Δx不能等于0，所以可以除法消去它，然后再令剩下的那个Δx去趋于0。听似好有理啊！但是，我们把公式2由右向左推导不行吗？不是都是等号相连的吗？当然可以。也就是，如果我们事先有函数2x+Δx(此式中Δx趋于0时当然等于2x），由于此时Δx不等于0，我们可不可以乘上一个Δx/Δx写成（2x+Δx）Δx/Δx？当然可以。由于此式是分母不能等于0的，也就是在Δx=0点不能有函数值，但没有函数值，按2式从左向右的推导同样的原则，不是可以有极限值吗？你去求求此式的极限，不是0/0？一个原本是2x的极限，成了0/0了。反过来也一样，从左到右，一个原本是0/0的极限，也成了2x。如果从左至右合理，从右至左也合理；反之，如果从右至左不合理，从左至右也不合理。难道求极限还非要消去分母吗？而消去分母的唯一理由，是分母不为0。那么，一个变量不为0，不是同样的理由，可以将之加于分母，然后求极限？你如果说求极限只能消去分母再求，我就要问你为什么？你大概也只能回答不消去分母，会求出极限0/0。那不就得了。求导公式不就是求（2x+Δx）Δx/Δx的极限？它的极限不就是0/0？难道是求2x+Δx的极限？如果是，为什么？不是否则会有极限0/0吗？逻辑循环吧？这么多年，居然没有人想到这点。对极限法求导的否定，以此为最彻底！任何诡辩都无用了。彻底将死。公式2既然是用等号相连的，右推，左推，都一样。不能只能向右不能向左吧？

再引用一下大数学家、逻辑学家罗素的话，与薛先生共勉：“那些教我无穷分析的老师，找不出有说服力的论据来证明微积分的基本概念，就只好说服我充满信心的去接受那些公认的诡辩。”马克思的话文章中都有了，省略。

最后，应该再一次感谢薛先生不吝赐教。当然，也还是要提点希望：不要总是低估我们中国人自己的能力，把外国人的东西就都看成是金科玉律。要学吴文俊先生的气魄：外国人搞了的，我就不搞，我搞外国人没搞的。更何况我也没有否定什么嘛，不是说了，不过是在牛顿、莱布尼兹方法下做了些解释而已。我反了半天柯西极限法，不是维护的还是牛顿、莱布尼兹这些外国人嘛？您薛先生把个外国人看的那么高，我请问你，牛顿、莱布尼兹高还是柯西高？如果牛顿他们是错的，微积分的创始人干脆改成外尔斯特拉斯、柯西算了。你不遗余力地维护后者，不是也无形中反对了大权威牛顿、莱布尼兹吗？是不是得不偿失啊？希望您想通，彻底站到牛顿、莱布尼兹的立场上来，而不要单纯理解成承认我沈卫国的什么东西。好吧。

此外，你在文章的最后说：那些想不用极限来消解分析中的悖论和矛盾的方案，没有一个是成功的。最终都以某种方式依赖于极限概念和理论。可见极限概念的重要。

我想你说的是林群、张景中院士他们吧？否则还有谁？我倒是想看到你是如何批他们的。你这个话，对他们的方案，是很成立的。他们的方案，的确最终都要归结为极限。所以与第二代微积分没有本质的区别。反而叠床架屋，搞的更复杂了。

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