博文

Zmn-0208 薛问天：约束变量的替換并不违背逻辑同一律-评赵峰先生的质疑

已有 1787 次阅读 2020-5-22 19:06 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0208 薛问天：约束变量的替換并不违背逻辑同一律-评赵峰先生的质疑
【编者按。下面是薛问天先生发来的评论文章。是对《Zmn-0155》赵峰先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

约束变量的替換并不违背逻辑同一律

-评赵峰先生的质疑

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

(一)，问题的提出

这个问题是由赵峰先生对一个公式的一个错误的证明引起的。尽管经过讨论，赵峰先生承认这个公式是错的，因为有反例。对这些反例的正确性提不出任何问题，于是赵峰先生说【因此整体上也必定成立，对此根本无需怀疑！】但是仍然心存疑虑，总怀疑这是否违背了【逻辑同一律】。甚至怀疑起数学的真假来了，感叹道:【数学的奇妙之处还在于有的似是而非，有的却似非而是，有的可以证明却又似乎难以理解；而到底什么是真，什么又是假，什么是空，什么又是实，还真的颇费心思，可谓是假作真时真亦假，无为有时有还无！《0155》】

最后赵峰先生还是认为:【简单地说，在不违反同一律的情况下应该这样来分析（以例 1 来说）：因为 ∀x (x＞10→x＞5) 是真的，所以只要有某一 x 使得 x＞10，则这样的每一个 x 一定可使得 x＞5。而不是将∃x (x＞10) 和∀x (x＞5) 割裂开来，在一个推导过程中使得 x 前后不一致不同一，考虑成 ∃x (x＞10) → ∀y (y＞5)。这里，前件对后件有限制和约束关系。否则必将导致违反同一律的错误。】

他仍坚持认为 ∀x (x＞10→x＞5) ⇒ ∃x(x＞10) → ∀x (x＞5)中的「 ∃x(x＞10) → ∀x (x＞5)」应理解为【只要有某一 x 使得 x＞10，则这样的每一个 x 一定可使得 x＞5。而不是将∃x (x＞10) 和∀x (x＞5) 割裂开来，在一个推导过程中使得 x 前后不一致不同一，考虑成 ∃x (x＞10) → ∀y (y＞5)。】

也就是说他认为不应允许将

∃x (x＞10) →∀x (x＞5) 替换为

∃x (x＞10) → ∀y (y＞5)。

否则【在一个推导过程中使得 x 前后不一致不同一】，就违背了【逻辑同一律】。
赵峰先生的这个观点也见于他前面的文章。他在《0144》中说:

【我们知道，遵守同一律，保持同一时间、同一类关系下对于同一对象包括概念、判断的确定性是正确推理的前提和基本条件。它要求人们在论断过程中思维的对象要确定，概念要保持同一，不得随意变换。在同一律的要求下，对于

∀x (﹁Q(x) ∨S(x)) ⇒ ﹁(∃x Q(x) ∧∃x﹁S(x))，

即使限定 x = y = z 人们也自然不能理解为

∀x (﹁Q(x) ∨S(x)) ⇒ ﹁(∃y Q(y) ∧∃y﹁S(y))，或者

∀x (﹁Q(x) ∨S(x)) ⇒ ﹁(∃y Q(y) ∧∃z﹁S(z))，

等诸如此类的命题，因为这显然不能在同一推理过程中保持每个概念和判断的同一性，违反了最简单的逻辑规律即同一律。因此，前件对后件构成一定的约束和限制，每任给一个 x，所有前后谓词的参变元或参变量 x 都必须同样发生变化且始终保持同一，这才能符合同一律的要求，这也应该是谓词逻辑推导所必须遵循的规则。】

那么赵峰先生的观点对不对呢？约束变量的替换究竟违背不违背同一律呢？

回答是否定的，赵峰先生的观点不对，约束变量的替换并不违背同一律。下面我们来进行分析和解释。

(二)，量词的辖域。

赵峰先生的错误源于他对一阶逻辑的规定还缺乏准确细緻的了解。一阶逻辑的合式公式的定义是非常严格的。公式有严格的旧纳结构。其中 ∃xA(x)和∀xA(x)就是其结构的一种。公式中每个量词 Qx(代表∃x或者∀x)，都有它的自己特定的辖域，在辖域内的约束变量x受它管辖，超出了辖域的约束变量ⅹ不受它管辖，同它无关，不具有同一性。它归属于另外的量词管辖，与另外的管辖它的量词的约束变量具有同一性。

下面我引用书^[1]的有关定义和定理。

定义3.2.8 (辖域) 。如果QxA(x)是B中的段，则把其中的A(x)称为量词Qx在B中的辖域。

定理3.2.9。任何公式中的任何量词有唯一的辖域。

例如公式「 ∃x(x＞10) → ∀x (x＞5)」，其中前件中的 ∃x的辖域是(x＞10)，而后件中的 ∀x的辖域是(x＞5)。这两个辖域中的x没有关系，不具有约束关系，同一关系。把它理解为【只要有某一 x 使得 x＞10，则这样的每一个 x 一定可使得 x＞5。】是错误的理解，不合原逻辑公式的原本语义。逻辑公式 ∀x (x＞5)的原本语义是【论域中所有x，x＞5】，显然是个假的命题。

正因为 QxA(x)的真假值只同辖域内的约束变量有关，所以如果y不在QxA(x)中出现，则将x换成y得到的公式 QyA(y)是同值公式，即 QxA(x)≡ QyA(y) 。

(三)，等值公式的替换。

在一阶逻辑中有如下定理^[1]:

定理3.4.3 (等值公式替换) 。设B≡C，即B,C可相互推出。並且在A中把B的某些(不一定全部)出现替换成C而得到A’，则A≡A′ ，即A,A′可相互推出。

由于QxB(x)≡ QyB(y)是等值公式。所以有

定理3.6.2 (约束变量的替换) 。设在公式A中把QxB(x)的某些(不一定全部)出现替换成QyB(y)而得到A’，则A≡A ，即A,A′可相互推出。

可见在一阶逻辑中把∃x (x＞10) →∀x (x＞5) 替换为

∃x (x＞10) → ∀y (y＞5)。完全是恰当的正确的。同样把

∀x (﹁Q(x) ∨S(x)) ⇒ ﹁(∃x Q(x) ∧∃x﹁S(x))，替换为

∀x (﹁Q(x) ∨S(x)) ⇒ ﹁(∃y Q(y) ∧∃y﹁S(y))，或者

∀x (﹁Q(x) ∨S(x)) ⇒ ﹁(∃y Q(y) ∧∃z﹁S(z)) 。完全合理合法，并不违背同一律。

另外，赵峰先生提供了一种对公式求真值表的方法，这种方法是基于他对逻辑公式中约束变量的同一性的错误理解，混淆了量词辖域的概念，把不同辖域的个体混为一谈。显然这种真值表得不出正确的结果。一阶逻辑公式要根据它的归纳结构来计算它的真值。每个量词公式都要在它的自已的辖域结构内独立求其真假值，不能同辖域外的同名约束变量的个体混杂在一起。而这正是赵峰先生真值表的问题所在。

注^[1]。陆钟万著，面向计算机科学的数理逻辑，科学出版社。

(全文完)

返转到：

zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录