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Zmn-0210 薛问天：表述要严格，明确和具体-评欧阳耿先生的《0207》
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Zmn-0210 薛问天：表述要严格，明确和具体-评欧阳耿先生的《0207》
【编者按。下面是薛问天先生发来的评论文章。是对《Zmn-0207》欧阳耿先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
表述要严格，明确和具体
-评欧阳耿先生的《0207》
薛问天
学数学，如何表述自己的数学论点，是最基本也是最重要的基本功。这种表述要求有三条，那就是要严格，明确和具体。
(一)，要严格。
不严格就要犯错误。欧阳先生在《0207》中对有穷不等式(1)的概括就是错的，他把(1)式说成是:【... 调和级数部分和的极限 ＞k/2】。为什么说它是错误的呢？其实应该这样问:【为什么欧阳耿先生连这么明显的错误都看不出来？】
1+...+1/2k=1+1/2 + (1/3+1/4) + ... + (1/ (2k-1+1) + ...+ 1/2k) ＞k/2。...(1)
(1)式的左端，明明它既不是调和级数的部分和 (部分和有严格的定义Sn=1+1/2+1/3+...+1/n。) 更不是【 调和级数的部分和的极限】，欧阳耿先生却堂而皇之地就硬要这样错误的概括， 把(1)式说成是:【... 调和级数部分和的极限 ＞k/2】。 为什么欧阳耿先生连这么明显的错误都看不出来？
这说明一点，欧阳先生缺乏严格的数学表述的训练。所表述的语句是错误百出，而且他认识不出错在哪里，纠正不过来。这就是我上次所说的「如果没有遇到一位好的数学老师，严格要求，基本功就会不札实。没有经过严格的数学训练，养成良好的严谨习惯，用语和推理就都会不严格，太随意。就会不重视数学的严格定义和论断的严格推理。」
怎么办呢，慢慢来吧，这点功夫也不是几天就能养成的。要靠平时有意识的长期的积累。
继续评论。我认为这个有穷不等式(1)是 Oresme的贡献，有两大理由。
(A)，它是严格可证的不等式。这个不等式可用数学归纳法严格证明对任何自然数k都成立。
(B)，在「调和级数的和是无穷大」的严格证明中用到了此不等式 (详见《0137》)。
欧阳先生说【 薛先生却说不可以依样画葫芦而得到如下(2),(3),(4),(5),……】
是的 ，我确实认为数学不能【依样画葫芦】，另一方面，(2)～(5)也不是【依样画葫芦】。因为(A) 它没有提供像(1)这样的可严格证明的不等式。(B)没有在「调和级数的和是无穷大」的严格证明中用到它们。而且(2)～(5)的表述是错误的。对 「调和级数的和是无穷大」的严格证明没有任何帮助。
我上次己说过 ， 至于在什么情况下该用【→∞】， 在什么情况下该用【=∞】，这完全是个符号的严格使用的问题。说简单点，如果说的是尚未取极限的部分和序列，在序列后面写 【→∞】是合适的。但是说的是无穷级数的和，即已求出的部分和的极限，在极限后面写 【→∞】就不合适了，而要写成 【=∞】。把无穷级数的和定义为部分和的极限，部分和当然要取极限。 欧阳先生听不进去表述要严格要求的劝告。把在什么情况下该用【→∞】， 在什么情况下该用【=∞】表述，这个符号的严格使用的问题误认为是要不要取极限的问题显然是错误的。
请欧阳先生仔细看看我在《0137》中如何用 Oresme提供的不等式，严格证明了 「调和级数的和是无穷大」。这个证明是非常严格的，没有任何值得【 薛先生真的怀疑他自己】的地方。证明很顺利，根本没有遇到欧阳耿先生所说的什么【 会导致产生无穷多个大于 1/2 或 1 或 100 或 10000000000 或……的量，】更没有踫到什么莫须有的【 调和级数悖论】和【芝诺悖论】。这个证明是严格的，完整的。我当然可以【 信誓旦旦】地，而且理直气壮地说这个证明在理论上是完全正确的，而且在实际上也是正确的结果。即严格证明了「调和级数的和是无穷大」。
欧阳耿先生，你如果对此证明有疑问，不妨把你认为【 但实际上却根本不可能有那种结果！】的疑问具体讲出来。看看证明是否真的【有错】。
数学必须建立在 “严格的定义和论证”的基础之上。那些把数学看作是 【 人们纸上谈兵、茶余饭后的话题，】那些不要明确定义，不要严格推理的【侃大山，摆龙门阵】式的讨论和所谓【思考和研究】，才是真正【空洞无物】和【苍白无力】的浪费时光！
(二)，要明确。
我们知道求极限就是求序列或函数的极限 。一般分两步。第一步。给定无穷序列An或函数y=f(x) 。第二步， 求n→∞时序列An的极限，或求当x→a时， 函数y=f(x)的极限。例如无穷级数的和定义为部分和的极限。第一步就要先列出所论的无穷级数的部分和 。如列出调和级数的部分和: Sn=1+1/2+1/3+...+1/n。第二步求当n→∞时Sn的极限。我们可以严格的按照极限的定义证明Sn的极限是无穷大 。
再例如 求函数s=(1/2)gt2在t点的导数。导数定义为 增量比Δs/Δt的极限 。
第一步。由于Δs= gtΔt+ (1/2)gΔt2，
Δs/Δt=gt+ (1/2)gΔt。
第二步。求Δt→0时，Δs/Δt的极限。于是导数=gt。
这在现代极限理论中，定义和推演都是相当清晰和完整的。己是完全成熟的理论。而且实践证明有广泛的实际应用成果。
但是欧阳耿却在文中说:【由于极限论基础理论中的致命缺陷，人们肯定会碰到如下两种无法自圆其说的与“无穷数学事物”相关的极限论定量认知情况：
第一种情况就是：在“无穷小、变量、单子”参与“有穷数”计算的定量认知运算过程中， 没人敢对这些“无穷数学事物”喊“令”或“取极限”或“取标准数”，所以这些“无穷数学事物”就永远不会变成太小，...。
第二种情况就是，在“无穷小、变量、单子”参与“有穷数”计算的定量认知运算过程中，突然间有人对正在运算中的这些“无穷数学事物”喊了声“令”或“取极限”或“取标准数”，所以它们就突然完全失去“阿基米德性”，没有条件参与“有穷数”的任何运算，必须突然从算式中离开（消失）......。】
欧阳耿先生没有明确说明他认为的【 极限论基础理论中的致命缺陷】究竞是什么？在哪里【无法自圆其说】。他所列举的两种情况，就是求极限过程的两步。按照极限的定义，各步有各步的任务。第一步给定序列和函数，当然是按照序列和函数的要求来给定和推演。为什么要有人去喊【求极限】呢？【 没人敢......喊“令”或“取极限”或“取标准数”】，这很正常。因为求极限是第二步的任务。
第二步求极限，对序列和函数按照极限的定义或求极限的法则去求它的极限 ，这是很自然的顺理成章的事。怎么在欧阳耿的眼里变成了【 突然间有人......喊了声“令”或“取极限”......，】
欧阳耿先生，你究竟想说什么 ，请你明确表达出来。你认为的【 极限论基础理论中的致命缺陷】究竞是什么？怎么【致命】，在哪里【无法自圆其说】。能不能表述【明确点】。不要总是空来空去云里雾里，让别人不知道你在说什么，不要只说有【致命缺陷】【无法自圆其说】【悬而未决】【不可解的】这些词彙，关键是要明确地表达你指的是什么 ，你想说的是什么 。你明确说出来我们就好讨论它是否是【致命缺陷】，是否真是【无法自圆其说】！
天黑了该睡觉了，妈妈招呼孩子去睡觉。天亮了该起床了，妈妈喊孩子快起床。不该取极限时不去取极限，该取极限时去取极限。这么天经地义正常的事。欧阳先生却说是【致命的缺陷】！简直不可理解。
欧阳先生自以为他是在【 顶着许许多多国内外“主流数学家”的压力，】其实我以为事实并非如此。多半是他未能【明确】地表达他的意见。别人不知道他指的是什么，不知道他云里雾里说的是什么，所以无人关注。欧阳先生可能要在提高【明确】表达自己的意见能力方面 ，多下点功夫 。
(三)，要具体
对如何表述自己数学论点的三条要求，除了严格和明确以外，第三条就是要具体。
例如，欧阳耿先生问道:【什么是无穷？】「无穷」就是一个抽象的概念，它不是一个具体的数学概念。数学中只有「有穷集」「无穷集」，「有穷序列」「无穷序列」，「有穷小数」「无穷小数」，「有穷步」「无穷步」，......等这些具体有穷和无穷对象的概念，而没有抽象的「有穷」「无穷」这个数学概念。
关于无穷集A。它的幂集B。正规的说法叫作B的「基数(势)」大于A的「基数(势)」。而不叫【 无穷集合 B 比无穷集合 A 有更多的元素】。因为在数学中没有无穷集的【元素个数】这个数学概念-。只是大多数数学家【认为】，可以把集合的基数【看作】是元素个数的严格定义。正式的数学名称是基数而不是元素个数。
至于【 无穷集合 B 比无穷集合 A 更无穷】，在数学中没有这样的提法，因为数学上没有【更无穷】这个概念。当然你可以新定义。但是必须先定义再使用。在没有定义的情况下使用，就是错误！
一一对应是集合论中的一个概念，因而集合论就是它的基础理论。由于集合论是整个数学的基础理论，因而在数学中己经没有其它理论是集合论的基础理论了。
潛无穷和实无穷是人们看待无穷的观点。因而并不存在潜无穷事物和实无穷事物两种不同类型的无穷事物。而是人们对无穷的观点有两种。现在业界的主流持现代实无穷观。集合论就是建立在现代实无穷观的基础之上的。
欧阳先生说: 【 薛先生在他的 Zmn-0202 中根本就没有给出无穷集合的“基数（势）、原本个数”的确切定义】，【讲一句大实话，您确确实实仅仅给出“某两个无穷集合之间某种关系的‘定义、定理”。】
欧阳先生，能否讲具体点。在你的心目中，怎样的定义才是【确切定义】?能举个例子吗？该不会是你认为集合论中所有的定义都不是【确切定义】吧！
你推荐了一本讲康托的科普的书给我，这类通俗的科普书不是不能读，而是只能作为课外的辅助读物。科普书是讲科学家的历史故事的，基本上不讲定义和证明。所以从中学不到真正的理论。要真正学懂康托的集合论，还是要认真读有严格的定义和定理证明的专业书。另外我们讨论的是【确切定义】，你推荐一本基本上不讲定义和证明的通俗科普书给我，是不是有点不倫不类。从中能找到【确切定义】的答案吗？
其实在讨论问题，和表达意见时，不要总用那些抽象的，空洞的词汇，提那些云里雾里的问题。例如【什么是无穷】【 什么性质的“无穷数学事物”-潜无穷数学事物或实无穷数学事物，】【 为什么？为何某时、某处应该突然喊一声“取极限】【 为什么无论何时、何处都永远不喊那声“取极限（取标准数）】......等。
例如，我们可以把问题换成具体地讨论「有穷集」「无穷集」的性质。换成具体讨论用潜无穷观和实无穷观来看待某具体的无穷集时所呈现的区别。换成对某具体求极限的过程，在何时何种情况下进行第一步，序列和函数的演算。在何时进行第二步，按极限的定义和求极限法则去求极限。这样具体的问题大家就容易理解了。
只要把这些问题具体化，接了地气，你的意见才能表达请楚，别人才能听明白你在讲什么。否则云里雾里，空来空去，不知所云。另一方面有时把问题讲具体了。有些问题自然就迎刃而解了。
所以说在表达中，「要具体」也是一个重要的要求。
(全文完)
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zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0200 期目录：2020-5-14 09:54
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