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Zmn-0218 薛问天:同一符号dy代表的是不同的微分,评新华先生《0217》

已有 563 次阅读 2020-6-4 09:00 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0218 薛问天:同一符号dy代表的是不同的微分,评新华先生《0217》

【编者按。下面是薛问天先生发来的评论文章。是对《Zmn-0217》新华先生文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

同一符号dy代表的是不同的微分

-评新华先生《0217》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-c.jpg新华先生似乎还没有注意到我同师教民先生讨论的焦点问题。那就是【 在y=f(x)和x=g(y)互为反函数的情况下, y=f(x)的自变量的微分dx,同 x=g(y)的因变量微分「dx」=dg(y)是不是同一个微分变量?同样,y=f(x)的因变量的微分「dy」=df(x),同 x=g(y)的自变量微分dy是不是同一个微分变量?】

(一), 同一符号dy代表的不是同一个微分变量。

新华先生说【两个函数中的变量x、 y还是相同x、y,只是在y=f(x)和x=g(y)的身份发生了变化,x在函数y=f(x) 中是自变量,y是应变量,而在函数y=f(x)的反函数x=g(y)中,x变成应变量, x变成自变量。因此在对两个函数微分中,dy、dx不会改变。】

在这段话中说 【dy、dx不会改变】,是什么意思?如果是指【dy只有一个】,或者【dy是同一变量】(同理指【dx只有一个】,或者【dx是同一变量】,)那就錯了。

因为【 x在函数y=f(x) 中是自变量,y是应变量】,因而

dy=df(x)=f'(x)dx,则dy/dx=f'(x)............① 

中的dx①=Δx是自变量的微分,dy①=df(x)是应变量的微分。

【在函数y=f(x)的反函数x=g(y)中,x变成应变量, y变成自变量。】因而

dx=dg(y)=g'(y)dy,dx/dy=g'(y)............②

中的dx②=dg(y)是应变量的微分,dy②=Δy是自变量的微分。

其中dx①同dx②虽然都用dx表示,但却是两个不同的微分。同样虽然dy①同dy②都用dy表示,也是两个不同的微分。这点非常重要,绝对不要混淆。

这点也不难理解,按照微分的定义,dx①=Δx,而dx②是Δx的线性主部当然一般不等于Δx。同样, dy②=Δy,而dy①是Δy的线性主部当然一般不等于Δy。

另外对于复合函数y=h(y)=f(g(y)),

dy=dh(y)=h'(y)dy②,............③

这里的dy③是复合函数y=h(y)的应变量的微分,不要同dy①(是函数y=f(x)的应变量的微分)相混淆,这是不同的微分。

③中的dy②是自变量的微分,同②中的dy②是同一微分。

只是由于函数y=h(y)是恒等函数,它的导数恒等于1。所以可证dy③=dy②。因而dy③同dy②是同一微分,但是dy③同dy①是不同的微分。

综上所述,在这些微分中,dy並不是只有一个,有dy①同dy②之分,另外还有一个dy③,但是可证dy③=dy②。

同理, dx並不是只有一个,有dx①同dx②之分,另外还有一个dx④,但是可证dx④=dx①。

(二),在数学中,不仅要求结论正确。推理也要正确。不能因为结论正确,就掩盖了推理中的错误。

例如,在复合函数中,如果y=f(x),x=g(t),y=f(g(t))=h(t)。则有h'(t)=f'(x)g'(t)。这个结论是正确的。但是如果是这样来证明:

因为dy=f'(x)dx,dx=g'(t)dt,将后式代入前式即得: dy= f'(x)g'(t)dt,所以 h'(t)=dy/dt=f'(x)g'(t)。

这个证明就是错误的。因为dx是不同的微分,不能【代入】。

再例如,在正反函数中,如果 y=f(x),x=g(y)互为反函数,则其导数互为倒数。即f'(x)=1/g'(y)。 这个结论是正确的。但是如果是这样来证明:

因为根据倒数的性质dy/dx=1/(dx/dy)。将dy/dx=f'(x)代入上式左端,将dx/dy=g'(y) 代入上式右端,即得 f'(x)=1/g'(y)。显然这样的证明也是错误的。因为不同的微分不能随意【代入】。

恰好新华先生也做了一番推导。他写道: 【因为

y=df(g(y))=f'(g(y))dg(y)=f'(g(y))g'(y)dy=f'(x)g'(y)dy

所以dy=f'(x)g'(y)dy,由于dy不是恒为 0,所以 f'(x)g'(y)=1,则 f'(x)=1/g'(y),亦即 dy/dx=1/(dx/dy);】

由于新华先生只写了推导的过程 ,并未写推导过程的依据。所以我还不能断定新华先生的证明是对是错。那就请新华先生自己来检查了,如果在证明中混淆了不同的微分变量,把不同的微分看作是同一变量,如果在证明中用到了这点,那肯定证明就是错误的。

我把我去年写的文章《 Zmn-0026薛问天: 两个错误的证明》的链接放这里。供新华先生参阅。

Zmn-0026薛问天: 两个错误的证明 2019-4-25

 

(三),新华先生举例验证的作法,我非常欣赏。

验证了 f'(x)=1/g'(y),这确实很好。但是验证的结果却说【 在∆y/∆x与∆x/∆y的结果不能保证互为倒数,】这肯定是计算或判断错了 。

我粗略看了一下新华先生的计算。实际上新华先生没有算完 。 Δy/Δx算的是Δx的函数式,Δx/Δy 算的是Δy的函数式。没有把Δy换成Δx,你怎么知道它们不互为倒数。继续算下去,把Δy的函数式换算成Δx的函数式,两个式子才能真正比较。当你把两者都换算成Δx(或Δy)的函数式,它们就肯定互为倒数了。

我也用你的三次方的互反函数(y=x3,x=3y)作了一下筒单的验证。在x=1,y=1点求导。y'=3,x'=1/3,互为倒数没有问题。令Δx=1,则Δy=7。令Δy=7,则Δx=1。增量是一致的。而且Δy/Δx=7,Δx/Δy=1/7,互为倒数也没有问题。计算出dy①=df(x)=3Δx=3,dy②=Δy=7,显然dy①≠dy② ,是不同的微分。dx②=dg(y)=(1/3)Δy=7/3,dx①=Δx=1, 显然dx①≠dx② ,是不同的微分。

我还具体画了图供参考 。

y=f(x).jpg

x=g(y).jpg

另外,我还顺便用Δx=1,Δy=7,x=1,y=1,代入到你认为不相等的那个式子,结果竟是相等的。

不等式.jpg

 

左端=3+3+1=7。

右端=3√(1+14+49) + 3√(1+7) +1=4+2+1=7。

可见你判断它们不相等可能是错误的。

(全文完)



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