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Zmn-0224 薛问天:必须承认编号为3的复合函数的存在-评师教民先生的《0220》

已有 588 次阅读 2020-6-10 14:49 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0224 薛问天:必须承认编号为3的复合函数的存在-评师教民先生的《0220》

【编者按。下面是薛问天先生发来的论文,评论《zmn-0220》师教民先生的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

必须承认编号为3的复合函数的存在

-评师教民先生的《0220》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-c.jpg(),必须承认编号为3的复合函数的存在

什么是复合函数?什么是编号为1的函数y=f(x)同编号为2的函数ⅹ=g(t)经过【复合运算】而得到的【复合函数】y=f(g(t))?

那就是编号为3的函数y=h(t)=f(g(t))。你必须承认这个函数的存在。我要大声疾呼,捍卫这个复合函数的「函数地位」。任何忽视,轻视,歧视这个函数的正式的「函数地位」的观点都是错误的,必须予以纠正。

什么是函数?编号为1的函数y=f(x)就是集合X到集合Y的一个映射f:XY。这里有定义域X,值域Y和映射关系y=f(x)

编号为2的函数x=g(t)就是集合T到集合X的一个映射g:TX。这里有定义域T,值域X和映射关系x=g(t)

什么是复合函数?按照「复合函数」的定义,它就是函数y=h(t),它就是集合T到集合Y的一个映射h:TY。这里有定义域T,值域Y和映射关系y=h(t)=f(g(t))

显然复合函数是一个单独的函数,有定义域T,有值域Y,有映射关系 y=h(t)=f(g(x))。将其编号为3。我们必须承认它的存在,并捍卫它的合法合理的函数地位。它不同于编号为1的函数y=f(x),也不同于编号为2的函数x=g(t)。自然可以有它自己的编号3,有它独立的函数名称「h」。

例如,如果y=f(x)=x^2x=g(t)=t^3。则它们的复合函数就是y=h(t)=f(g(t))=f(t^3)=(t^3)^2=t^5,即 y=h(t)=t^5y=t^5,是既不同于y=x^2,也不同于x=t^3的第三个函数。

再例如, 如果y=f(x)=x^2x=g(t)=√t。则它们的复合函数就是y=h(t)=f(g(t))=f(√t)=(√t)^2=t,即 y=h(t)=t。显然y=t,是既不同于y=x^2,也不同于x=√t的第三个函数。

正反函数是复合函数的特例,只是变量t 等于变量y ,数域T等于数域Y而已。並不影响复合函数的「函数地位」,它(h)仍然是不同于f,g的编号为3的函数 。只是它的定义域由T变为Y,成为h:YY的一个映射。

师教民的错误是公然忽视复合函数的合法「函数地位」。师先生说:

1)我的正反函数 y=f(x)(编号为 1) x=g(y)(编号为 2)与复合函数 y=f [g (y)]是同一个函数,它们只是表达形式或书写形式或名称不同】

师先生你说这样的话不觉得【自相矛盾】吗? 正反函数 y=f(x) x=g(y)是两个不同的函数,f的编号为 1g 编号为2,怎么能同复合函数【 是同一个函数】?究竞是同f还是同g 是同一个函数】?另外判断两个函数【 是同一个函数】必须(1)定义域相同,(2)值域相同,(3)映射方法相同。f,g和复合函数h是不滿足这三个条件的三个不相同的函数,师先生硬是不顾事实地说它们【 是同一个函数,它们只是表达形式或书写形式或名称不同】的说法是完全错误的。 定义域不相同,值域不相同,映射方法更不相同。怎么能【 是同一个函数】?

师先生说【薛问天先生硬是编造出一个编号为③的函数 h(y)强加于我,......
这不是我【强加于】你的,是客观事实 【强加于】你的,是严谨的逻辑 【强加于】你的,你必须承认 编号为③的复合函数的存在以及它的「函数地位」。错误的认识必须纠正。这是我们继续讨论下去的前提。

(),这里有三个函数,三个导数,三套微分

师先生必须承认 编号为③的复合函数的存在以及它的「函数地位」。这里共有三个函数, y=f(x)x=g(y) y=h(y)=f(g(y))。相应的三个导数:f'(x)g'(y)h'(y),和三套微分。

对变量的微分应有正确的认识。微分不仅同变量的名称有关,主要同此变量在函数中的地位有关,有自变量的微分同因变量的微分的区别。 关于因变量的微分,对不同的函数在不同的点,它们的微分都是不同的微分。因而同一符号dy可能代表的不是同一个微分变量。

在正反函数中,对正函数y=f(x)  x是自变量,y是因变量,因而
dy=df(x)=f'(x)dx
dy/dx=f'(x)............ 

①中的dx=Δx是自变量的微分,dy=df(x)是函数f的因变量的微分。

对反函数x=g(y)x变成因变量, y变成自变量。因而

dx=dg(y)=g'(y)dydx/dy=g'(y)............

②中的dx=dg(y)是函数g的因变量的微分,dy=Δy是自变量的微分。

在上两式中,dx①同dx②虽然都用dx表示,但却是两个不同的微分。同样虽然dy①同dy②都用dy表示,也是两个不同的微分。这点非常重要,绝对不要混淆。

这里要特别强调的是,对于复合函数y=h(y)=f(g(y)),既然它是不同于f,g的第三个函数,所以它也有自己的微分式:

dy=dh(y)=h'(y)dy,............

这里的dy③是复合函数y=h(y)的因变量的微分,不要同dy(是函数y=f(x)的因变量的微分)相混淆,这是不同的微分。③中的dy②是自变量的微分,由于自变量的微分同函数无关(=Δy),所以同②中的dy②是同一微分。只是由于函数y=h(y)是恒等函数,它的导数h'(y)恒等于1。所以可证dy=1dy②。因而dy③同dy②是同一微分,但是dy③同dy①是不同的微分。

综上所述,在这些微分中,dy並不是只有一个,有dy①同dy②之分,另外对于复合函数,还有dy③。不过最后可以证明 : dy=dy②。

()师教民先生的证明错在哪里?

我在《0215》中己经说得很清楚,写道:「师教民先生在这个证明中所犯的错误,是混淆了正函数 y=f(x) (编号为 1)的微分dy①,同正反函数的复合函数 y=f(g(y))=h(y)(由于f,g互为反函数,所以h是恒等函数)(编号为3)的微分dy③,这是两个不同的微分。师先生实际上所证明的是dy/dy=1,即证明了dy=dy②,师教民先生误以为他证明了dy=dy②。得出了错误的结论。」而且把他的证明原文引出,并用图文标出他的错误:「复合函数y=f(g(y))=h(y)的导数应为dy/dy②,而不是dy1/dy2。」

没想到凭师先生的这点智商,竟然看不懂我的评论。说什么【2)薛问天先生不敢反驳我说的或是因为驳不倒我说的 .............】【3)薛问天先生故意......,假装没有看见我的推导算式〖......〗.以此来躲避驳不倒我的问题〖 ......〗】【 躲避了我的上述推导中的算式就更不能说明我的上述推导错误了!】

那就让我们再一次看看师先生的【推导算式】和再一次解释一下我标注的这句话。师先生的算式是:

算式.jpg

shidecuowu.jpg

我标注的这句话是 「复合函数y=f(g(y))=h(y) 的导数应为dy/dy②,而不是dy1/dy2。」

师先生的算式就是在求复合函数的y=h(y)的导数h'(y)=1。所用的原理就是「 函数的导数等于函数增量比的极限。」

有趣的是师先生不承认复合函数的存在 ,自然也不承认复合函数的导数的存在,却偷偷地使用【 因变量 y 对于自变量 y 的导数】这个概念。只有复合函数y=h(y)的因变量和自变量是y。所以虽然他不公开承认,却实际上所求的就是复合函数的导数。

我们知道对复合函数y=h(y)=f(g(y)) dy=dh(y)=h'(y)dy②,

dy/dy=h'(y)............

也就是说,复合函数的导数 h'(y)= dy/dy②。

这里dy =dh(y)是函数hy点的因变量微分, dy=h'(y)Δy,其中的dy=Δy,是自变量的微分,也是自变量的增量。两者相除才有dy/dy=h'(y)

而师先生把复合函数的导数h'(y)写成dy/dy②,是严重的错误。要知道dy①是什么,它是函数y=f(x)x点的因变量微分。dy=f'(x)Δxdy=Δy。这两者的商dy/dy=f'(x)Δx/Δy,怎么能等于复合函数的数h'(y)呢?

师教民先生的错误就在于不承认复合函数h的存在,进而也不承认复合函数导数h'(y)的存在,最后不承认复合函数因变量微分dy③的存在。用函数y=f(x)的因变量微分dy①在这里滥竽充数 。错把由于dy=h'(y)dy② 及h'(y)=1而得出的dy=dy②的结论,误以为是他证明了dy=dy②,作为它推论dy是同一变量的证明。

() 判断一个微分是什么微分的时候,不是看它是哪个变量的微分,而是要㸔它在函数中的地位。

前面曾强调, 微分不仅同变量的名称有关,主要同此变量在函数中的地位有关,有自变量的微分同因变量的微分的区别。 因变量的微分对不同的函数在不同的点,它们的微分都是不同的微分。因而同一符号dy可能代表的不是同一个微分变量。

因而我们在判断一个微分是什么微分的时候,不是看它是哪个变量的微分,而是要㸔它在函数中的地位,是自变量的微分还是因变量的微分 。如果是因变量的微分还要㸔是哪个函数在哪点的微分。

例如,对函数y=f(x) dy=f'(x)dx........... 

其中dy①是函数fx点的因变量微分,dx①是自变量的微分。

对函数x=g(y) dx=g'(y)dy............

其中dx②是函数gy点的因变量微分,dy②是自变量的微分。

我们来看师先生是怎么论证的。他把我的③式无端地改成④式。然后说【 照④式①式知,④式中第 1 项里的 y y①,其微分是 dy①;......】他判断微分时依据的不是㸔有关函数而是看变量是什么,这当然就会出错。

在③式中讲的是复合函数y=h(y)=f(g(y))

dy=dh(y)=h'(y)dy,............

其中左端的dy③自然是复合函数h的因变量的微分dy=dh(y),而右端的dy②是自变量的微分(自变量微分同函数无关)。而师先生根据【 y y①】,就得出【其微分是 dy①】, 根据【 y y②】,就得出【其微分是 dy②】,而不是依据在式③中「y是函数h的因变量」,判断出「 dy③是复合函数h的因变量的微分」,显然就是错误的。要知道「 dy①是函数fx点的因变量微分」怎么能是这里的「 复合函数hy点的因变量的微分」呢?师先生的推论依据是错的(由变量判断微分),他怎么可能推导出正确的结论呢?

要知道在这里只有两个变量xy,根本不分什么y,y②和x,x②。同一变量可以有不同的微分,例如dx,dx,dy,dy,dy③等。所以由变量是推不出微分的区别的。他的这种 由变量判断微分的推论完全是根据它的主观凭空臆想构造出来的,没有任何依据,推导不出任何正确结论来。

另外,不仅变量xy只有两个,根本不分什么y,y②和x,x②。变量的增量Δx,Δy也只有两个,是相互给定的,根本不用分什么 Δx,Δy, Δx,Δy,....等,然后再证明它们相等。

至于导数就应明确说明是哪个函数的导数。因为这里只有三个函数f,g,h,所以也只有f',g',h'三个导数。而师教民先生说的【 因变量 y3 对于自变量 y2 的导数】,【 因变量 y1 对于自变量 y2 的导数】和【 因变量 y1 对于自变量 y3 的导数】,未指明是哪个函数的导数,根本不知所云。因为这里以y为因变量和以y为自变量的函数只有一个,那就是复合函数y=h(y),而它的导数h'(y)=dy/dy=1。而dy③是h的因变量的微分,dy②是h的自变量的微分。这是按微分定义的唯一正确的解释。

而师教民先生却把它除解释成为dy3/dy2外,还解释成等于dy1/dy2dy1/dy3。显然这种解释是错误的,因为dy①是y=f(x)的因变量的微分。形成不了复合函数h导数h'(g)的微商。按照导数同微分的定义, 复合函数y=h(y)的导数h'(y)=dy/dy②。其中 dy③是复合函数y=h(y)的因变量的微分。而不能是函数y=f(x)的因变量的微分 dy①。

(),这里没有矛盾。

由于dy=dh(y)是函数y=h(y)因变量的微分,dy=df(x)是函数y=f(x)因变量的微分,所以文中说的「混淆了dy③和dy①」就是标题上说的「 混淆了函数 h 同函数 f 的微分」。

师教民先生指责的【 5)题中混淆了 dh df 和文中混淆了 dy③同 dy①相矛盾.】不存在。这里没有矛盾。是属于师先没有看懂。

(),对评注的闲评

本文到此就应该结束了。因为己经指出了师教民先生《0220》文的主要错误是不丞认复合函数h的存在,进而也不承认复合函数导数h'(y)的存在,最后不承认复合函数因变量微分dy③的存在。用函数y=f(x)的因变量微分dy①在这里滥竽充数 。错把由于dy=h'(y)dy②及h'(y)=1而得出的dy=dy②的结论,误以为是他证明了dy=dy②,作为它推论dy是同一变量的证明。

回过头来再看看师的原文。发现师文中还有一些对我的前文的评注。问得挺有意思,不妨再做点闲评。

以下所引的是我《0215》的原文。方括号中的内容 [本文作者注:......]是师先生的评注。圆括号中的内容(......)是我这次的闲评。


薛问天先生说:正反函数是复合函数的特例正反函数y=f (x)x=g (y)互为函数,复合函数y=f (g (y))=h(y)恒等函数

正函数y=f (x)x点的微分dy=Adx……

反函数x=g (y)y点的微分dx=Bdy……

而复合函数y=h(y)=f (g (y))y点的微分

dy=Cdy……[本文作者没有dy?]

(dy①在①式中,dy③在③式中有什么好奇怪的?)

显然这dydy不同的微分变 [dy没有怎么反而显然dydy不同微分变?]

(dy①在①式中,dy③在③式中,我强调它们是不同的微分。不知师先生感到哪里不妥,在质疑什么? )

为复合函数y=h(y) [该式yyy]

(各式中的变量y都是y y只是一个变量,不分变量y,y,y③。复合函数 y=h(y)中的因变量和自变量都是y y=h(y)YY的映射。)

恒等函数导数C=1所以有dy=dy[怎么该式多出yy?]

(dy③是复合函数y=h(y)因变量的微分,dy 是复合函数y=h(y)自变量的微分,同时也是函数x=g(y)的自变量的微分。由于自变量的微分与函数无关,全部用同一个符号dy②表示。这些都与dy①无关)

师教民先生的错误是混淆了dydy[根本dy怎么混淆?]

(你文中没有 dy③,并不等于复合函数h因变量的微分就不存在。你在应该用「 复合函数h因变量的微分dy③」的地方,用函数y=f(x)因变量的微分dy①滥竽充数,这就是混淆。)

误以为他证明了dy=dy[证明严格推导过程步骤怎么就是误以为?]

(你在证明中,本该复合函数的导数h'(y)=dy/dy②,你错误地把复合函数的导数写成h'(y)=dy/dy②。 错把由于dy=h'(y)dy②及h'(y)=1而得出的dy=dy②的结论,误以为是证明了dy=dy②。这就是证明的错误。)

 

(全文完)



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