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Zmn-0222 薛问天：数学讲的就是要概念清晰-评沈卫国先生的《zmn- 0219》
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Zmn-0222 薛问天：数学讲的就是要概念清晰-评沈卫国先生的《zmn- 0219》
【编者按。下面是薛问天先生发来的论文，评论《zmn-0219》沈卫国先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
数学讲的就是要概念清晰
-评沈卫国先生的《zmn-0219》
薛问天
数学讲的就是要概念清晰，不要把某些有一定联系但又本质不同的概念混为一谈，分不清你我。其实这是数学上最忌讳的地方。要始终保持一个清醒的头脑，一是一，二是二，概念要清晰。
(一)，导数是数学分析中的概念，不是几何学或物理学中的概念。
我们大家都知道，数学的高度抽象性和应用的广泛性。数学上的数字「5」，它可以是5匹马，5头牛，甚至是5个粒子，5团星云的数量的抽象。什么是抽象。就是把这些具体的对象的属性抽掉了，只剩下它的数量关系了。所以数学理论对自然数的研究要暂时抛开牛、马这些实体，从事抽象的理论研究，如皮亚诺公理等等。这是研究数学的基本常识和基本规律。
数学分析中的函数的导数概念也是如此。导数既是几何学上切线斜率概念的抽象，又是物理学中非匀速运动中瞬时速度概念的抽象。既然是抽象就要把其中的几何属性和物理属性完全抽象掉，这才是数学分析中的导数概念。我所说的导数的「定义」就是这种定义 ，是用数学分析中的函数的语言对导数的定义。这是用几何学或物理学上的定义替代不了的。沈卫国先生所强调的是他曾用几何上或物理上的概念作过一些解释，但这都够不上是数学分析中对导数的严格定义。要知道第一代和第二代微积分中的导数定义，也都不涉及具体几何和物理的任何概念。只是用到函数和增量这些数学分析的概念。数学分析中导数的定义必须是独立于任何几何同物理概念的定义。沈卫国先生，你文中有这样的「定义」吗?
(二)，分子分母中的Δx相约的条件是Δx≠0
沈卫国先生问道：【薛先生说如果Δx等于0，凭什么就可以约去，除去？你问的好呀，按你的意思，不是牛顿、莱布尼兹和极限法也不应该约去分母了？我不可以约，他们就可以？】
无论是牛顿、莱布尼兹，还是貝克莱，以及极限理论，大家都知道在Δx≠0的条件下Δx/Δx=1，所以分子分母中的Δx可以相约除去。你我都可以将其约去，但是要有一个条件，那就是Δx≠0。争论的关键不在Δx≠0，大家都承认推演时要求Δx≠0。而问题在于要求不要求Δx=0。正是第二代微积求极限不要求Δx=0，而第一代求导数2x+Δx=2x，要求Δx=0，所以才有第一代微积分有悖论而第二代无悖论。
同样你的推演(即【改写】)要求Δx≠0。而最后求导要求令Δx=0，所以你的【解释】同第一代微积分一样，未消解悖论。你根据什么说你的这种解释【 由此彻底消除了所谓贝克莱悖论】？
请问你把【 原先的 Δy/Δx=(2x+Δx)Δx/Δx,必须写成 Δy1/Δx1=(2x+Δx)Δx1/Δx1,】要不要以Δx≠0为条件？你求导数=2x+Δx=2x，要不要令Δx=0。
这里的 Δx≠0同 Δx=0是不是矛盾，产生不产生悖论。你如何解释？
(三)，对沈文中一些明显错误的評论
(1)，在求Δx→0的极限时，并不要求Δx=0。
沈卫国先生对极限概念有个严重的误解，他以为求 Δx→0的极限，就不能要求Δ≠0，就必须 Δx=0。例如他说: 【在求极限等等前，都做了一件事，就是约分约去分母。......。由于这一步是求极限前做的，所以他们可没有要求Δx不能等于0之类的。否则也就没有什么后来的Δx趋于0的极限了。】
这种说法不对。【约分去分母】始终是要有Δx≠0这个条件的。由于求极限是Δx趋近于0，不是Δx=0，所以求极限是滿足Δx≠0的条件的。由于第二代微积分不要求Δx=0，所以就不存在悖论。
沈先生说【也就是，如果像薛先生所言，因为Δx后来趋于0或等于0就不能约分的话，不是我怎么样，......。】
沈先生这里没有注意到，Δx趋于0和等于0是完全不同的事。弟二代微积分要求的是【Δx趋于0】，並不是【Δx=0】。所以是滿足Δx≠0的【约分】条件，不存在任何矛盾。而第一代微积分要求Δx=0，所以同【约分】的条件Δx≠0发生矛盾。对于【约分】的推导必须是要求有【Δx≠0】这个前提条件的。在Δx=0，不能约分这是大家的公识。
(2)，沈先生把Δx/Δx改写成 Δx1/Δx1，尽管没有必要，但也不能算错。
不过要注意这样的改写必须以x≠0为条件。在Δx=0时 Δx/Δx=Δx1/Δx1并不成立。
沈先生说: 【总之，你要表示曲线上的两个点，就别约分。一旦约分，表示的就是割线或切线上的两个点了。】
沈先生又想错了。你约分前是割线上的点，约分后还是割线上的点。跑不到切线上去。只有在割线上才能约分(Δx≠0)。在切线上(Δx=0)是无法约分的(约分的条件x≠0已不成立。Δy/Δx己无定义。)
沈先生说【 于是，在约分操作之后，他们求出的，就是切线的斜率。】这里沈先又理解错了。【 在约分操作之后，他们求出的】2x+Δx是割线的斜率，并不是切线的斜率。在第二代微积分中是把它在Δx→0时的极限定义为切线钭率的，第一代微积分是令Δx=0求出切线斜率的。 割线的斜率並不是切线斜率。
沈先生又说【 ......这里是自变量为1时的切线斜率。分母为1而不再是0，还有什么贝克莱悖论？】
显然沈先生没有搞请楚什么是贝克莱悖论。推导出的公式2x+Δx，即约分后的公式分母中己不再是Δx，但是推导过程中用到的【约分】是以Δx≠0为条件的。而最后求导2x+Δx=2x，又令Δx=0，于是有Δx≠0同Δx=0的矛看。
(四)，关于极限的一些错误认识
另外从沈先生的行文中可以看出，他对极限概念还有一些错误的认识，这些影响了他作出正确的判断。
要知道在极限理论中，并没有0/0这个极限。认为 （2x+Δx)Δx/Δx的极限是0/0，是错误的，这完全是对极限理论的误解。
沈先生说:【 求导公式不就是求（2x+Δx)Δx/Δx的极限？它的极限不就是0/0？难道是求2x+Δx的极限？如果是，为什么？不是否则会有极限0/0吗？】有这样的错误认识，是还没有学懂最基本的极限理论。
在极限理论中，当Δx→0时 ，（2x+Δx)Δx/Δx的极限，等于 2x+Δx的极限，等于2x，不等于0/0。
至于为什么，我就不费口舌了。这些最基本的极限理论，还是请沈先生自己下点功夫，把它学懂吧！
（全文完）
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