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Zmn-0227 薛问天:再认真些 ,细緻些-评欧阳耿先生的《八答》

已有 713 次阅读 2020-6-12 17:34 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0227 薛问天:再认真些 ,细緻些-评欧阳耿先生的《八答》
【编者按。下面是薛问天先生发来的论文,评论《zmn-0212》欧阳耿先生的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

再认真些 ,细緻些

-评欧阳耿先生的《八答》
薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-c.jpg㸔了 欧阳耿先生的《八答》,觉得比以前有些进步。但还不够,需要再认真些,细緻些。

我记着我的老师曾对我说过一句话。他说读其它的书可以一页一页地翻着读,但是读数学必须一个字一个字的读。有时为了读懂几行字要化费几个月的时间。这段话对我影响很大。要注意养成认真细緻,每个用语用字都反复斟酌的严格习惯。

我们来分析一下欧阳先生在《八笞》中的表述。

 

(),两个式子的不同点。

欧阳先生说: 我正是根据您极力推崇的加括号操作精华才得到如下(2)……式子: 

采用可以产生 1 1/2 的加括号法则操作:Sn=1+1/2+1/3+...+1/n1+k/2   2

......

要知道,我【极力推崇的】是如下的式子
1+...+1/2k=1+1/2+(1/3+1/4)+...+(1/(2k-1+1)+...+1/2k)
k/2...(1)

欧阳耿先生: 你能否静下心来,一个字一个字地比较一下(1)式同你的(2)式的区别。

(1)是一个可以严格证明的有穷不等式。是可以用数学归纳法证明的,对任何自然数k都成立的不等式。式子的左端中间和右端只有k这一个自然数。(我省略了这个证明,我想你不难补上这个用数学归纳法的证明。)你的式(2):

Sn=1+1/2+1/3+...+1/n1+k/2   2)】

式子左端和中间用的是自然数n,右端是k。这是一个可以证明对任何n任何k都成立的不等式吗?显然不是。例如n=3k=2 1+1/2+1/3 1+2/2就不成立!同样你所列出的(3),(4),(5)式, 式子左端和中间是自然数n的函数,右端是k的函数。显然这些式並不是对任何n和任何k都成立。 你又没有说清对什么样的n和什么样的k此式成立。你把一个在什么情况成立都未说清的式子(2-5)放在这里,还说是【 我正是根据您极力推崇的加括号操作精华才得到 得到如下......式子】,你认为这符合【 讨论问题要认真一点,至少要对自己负责任 】的精神吗?

式后写个→,就这么一写不作任何证明,就完事了。这显然是不行的。对于当nSn是要严格证明的(见我下面给的证明)

(),调和级数的和是无穷大是如何证明的?

欧阳耿先生可能注意到(1)式的左端不是部分和,而要证明「 调和级数的和是无穷大」必须证明「当n时,Sn。」欧阳耿先生才把(1)式的左端换成sn,换成(2)式的。既然不能这样错误地把(1)式简单地换成(2)式,那么如何利用式(1)来证明 Sn呢?

我己经在《0137》中给了严格的证明。证明中利用的不等式是,对任何k :
1+...+1/2k=1+1/2+(1/3+1/4)+...+(1/(2k-1+1)+...+1/2k)
k/2

要证明调和级数的和是无穷大,就是要证明部分和Sn= 1+1/2+1/3+...+1/n的极限是无穷大。 按照严格的极限定义,就是证明对任何Δ,都存在有N,使任何n,当nN时,有SnΔ

现证明如下: 

对任何Δ,选N=2,显然当n=N时有:
SN=S
2=1+...+1/2(2Δ)/2=Δ

由于调和级数的各项都大于0,所以部分和Sn是递增函数。因而当nN时有SnSNΔ证毕

 

(),如何正确表达和证明(2)-(5)式。

欧阳耿先生列出的(2)-(5)式的问题在于,式子左端和中间是自然数n的函数,右端是k的函数。 显然这些式並不是对任何n和任何k都成立。 欧阳耿先生没有说清对什么样的n和什么样的k此式成立。

既然我们严格证明了调和级数的和是无穷大, 按照极限定义证明了,对任何Δ,都存在有N( N=2),使任何n,当nN时,有SnΔ。我们就可以正确地重新表达 (2)-(5)式,並列出其成立的条件。

Δ= 1+k/2 N=2,对任何nN,有Sn1+k/2 2

Δ= 1+k N=2,对任何nN,有Sn1+k3

Δ= 1+ k100 N=2,对任何nN,有Sn1+ k100 4

Δ=1+k1010000000000N=2,对任何nN,有Sn1+k1010000000000 5

这是严格的表述和证明,说明这里不存在任何矛盾。没有欧阳先生宣称的【调和级数悖论】。

欧阳耿先生的这段话【以现有数学中传统的有穷、无穷理论体系和与之相关的极限论, 谁也无法自圆其说地回答, 用那样一种加括号法则去处理调和级数. 究竟能制造出多少个大于 1/ 2 的量有穷多个或无穷多个 ?很明显,不管是哪种结论都会产生悖论。】是毫无根据的错误论断。

至于《八答》中谈论的其它问题,由于只是些空洞的议论,未涉及具体的「数学问题」,就不在此仔细评论了。

(全文完)


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