Zmn-0227 薛问天：再认真些 ，细緻些-评欧阳耿先生的《八答》
【编者按。下面是薛问天先生发来的论文，评论《zmn-0212》欧阳耿先生的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

再认真些 ，细緻些

-评欧阳耿先生的《八答》
薛问天

xuewentian2006@sina.cn

㸔了 欧阳耿先生的《八答》，觉得比以前有些进步。但还不够，需要再认真些，细緻些。

我记着我的老师曾对我说过一句话。他说读其它的书可以一页一页地翻着读，但是读数学必须一个字一个字的读。有时为了读懂几行字要化费几个月的时间。这段话对我影响很大。要注意养成认真细緻，每个用语用字都反复斟酌的严格习惯。

我们来分析一下欧阳先生在《八笞》中的表述。

(一)，两个式子的不同点。

欧阳先生说:【 我正是根据您极力推崇的“加括号操作精华”才得到如下（2)、……式子： 

采用可以产生 1 个 1/2 的加括号法则操作：Sn=1+1/2+1/3+...+1/n＞1+k/2   →∞ （2）

......】

要知道，我【极力推崇的】是如下的式子
1+...+1/2^k=1+1/2+(1/3+1/4)+...+(1/(2^k-1+1)+...+1/2^k)＞k/2。...(1)

欧阳耿先生: 你能否静下心来，一个字一个字地比较一下(1)式同你的(2)式的区别。

式(1)是一个可以严格证明的有穷不等式。是可以用数学归纳法证明的，对任何自然数k都成立的不等式。式子的左端中间和右端只有k这一个自然数。(我省略了这个证明，我想你不难补上这个用数学归纳法的证明。)你的式(2)是:

【Sn=1+1/2+1/3+...+1/n＞1+k/2   →∞ （2）】

式子左端和中间用的是自然数n，右端是k。这是一个可以证明对任何n任何k都成立的不等式吗？显然不是。例如n=3，k=2， 1+1/2+1/3 ＞1+2/2就不成立！同样你所列出的(3),(4),(5)式， 式子左端和中间是自然数n的函数，右端是k的函数。显然这些式並不是对任何n和任何k都成立。 你又没有说清对什么样的n和什么样的k此式成立。你把一个在什么情况成立都未说清的式子(2-5)放在这里，还说是【 我正是根据您极力推崇的“加括号操作精华”才得到 得到如下......式子】，你认为这符合【 讨论问题要认真一点，至少要对自己负责任 】的精神吗？

式后写个→∞，就这么一写不作任何证明，就完事了。这显然是不行的。对于当n→∞时Sn→∞是要严格证明的(见我下面给的证明)。

(二)，调和级数的和是无穷大是如何证明的?

欧阳耿先生可能注意到(1)式的左端不是部分和，而要证明「 调和级数的和是无穷大」必须证明「当n→∞时，Sn→∞。」欧阳耿先生才把(1)式的左端换成sn，换成(2)式的。既然不能这样错误地把(1)式简单地换成(2)式，那么如何利用式(1)来证明 Sn→∞呢？

我己经在《0137》中给了严格的证明。证明中利用的不等式是，对任何k :
1+...+1/2^k=1+1/2+(1/3+1/4)+...+(1/(2^k-1+1)+...+1/2^k)＞k/2。

要证明调和级数的和是无穷大，就是要证明部分和Sn= 1+1/2+1/3+...+1/n的极限是无穷大。 按照严格的极限定义，就是证明对任何Δ，都存在有N，使任何n，当n＞N时，有Sn＞Δ。

现证明如下: 

对任何Δ，选N=2^2Δ，显然当n=N时有:
S_N=S2^2Δ=1+...+1/2^2Δ＞(2Δ)/2=Δ。

由于调和级数的各项都大于0，所以部分和Sn是递增函数。因而当n＞N时有Sn＞S_N＞Δ。证毕。

(三)，如何正确表达和证明(2)-(5)式。

欧阳耿先生列出的(2)-(5)式的问题在于，式子左端和中间是自然数n的函数，右端是k的函数。 显然这些式並不是对任何n和任何k都成立。 欧阳耿先生没有说清对什么样的n和什么样的k此式成立。

既然我们严格证明了调和级数的和是无穷大， 按照极限定义证明了，对任何Δ，都存在有N( N=2^2Δ)，使任何n，当n＞N时，有Sn＞Δ。我们就可以正确地重新表达 (2)-(5)式，並列出其成立的条件。

令Δ= 1+k/2， N=2^2Δ，对任何n＞N，有Sn＞1+k/2 （2）

令Δ= 1+k， N=2^2Δ，对任何n＞N，有Sn＞1+k（3）

令Δ= 1+ k100， N=2^2Δ，对任何n＞N，有Sn＞1+ k100 （4）

令Δ=1+k10^10000000000，N=2^2Δ，对任何n＞N，有Sn＞1+k10^10000000000 （5）

这是严格的表述和证明，说明这里不存在任何矛盾。没有欧阳先生宣称的【调和级数悖论】。

欧阳耿先生的这段话【以现有数学中传统的有穷、无穷理论体系和与之相关的极限论, 谁也无法自圆其说地回答, 用那样一种加括号法则去处理调和级数. 究竟能制造出多少个大于 1/ 2 的量有穷多个或无穷多个 ?很明显,不管是哪种结论都会产生悖论。】是毫无根据的错误论断。

至于《八答》中谈论的其它问题，由于只是些空洞的议论，未涉及具体的「数学问题」，就不在此仔细评论了。

(全文完)

返转到：

   zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录

• Zmn-0227 薛问天：再认真些 ，细緻些-评欧阳耿先生的《八答》   2020-6-12 17:34

• Zmn-0226 新   华：关于取极限问题   2020-6-12 09:17

• Zmn-0225 师教民：再、三、四、五评《混淆了函数h同函数f的微分-评师教民先生的<0214>》   2020-6-11 10:14

• Zmn-0224 薛问天：必须承认编号为3的复合函数的存在-评师教民先生的《0220》   2020-6-10 14:49

• Zmn-0223 新   华：我对微分的看法   2020-6-9 09:16

• Zmn-0222 薛问天：数学讲的就是要概念清晰-评沈卫国先生的《zmn- 0219》   2020-6-7 19:03

• Zmn-0221 新   华：回复《同一符号dy代表的是不同的微分》   2020-6-7 08:50

• Zmn-0220 师教民：评《混淆了函数h同函数f的微分-评师教民先生的<0214>》   2020-6-6 08:28

• Zmn-0219 沈卫国：对薛问天先生对我微积分求导一文的质疑（Zmn-0216）的回答及解释   2020-6-5 08:33

• Zmn-0218 薛问天：同一符号dy代表的是不同的微分，评新华先生《0217》  2020-6-4 09:00

• Zmn-0217 新   华：关于互为反函数的微分问题的分析   2020-6-3 08:50

• Zmn-0216 薛问天：这是一个有问题的解释-评沈卫国先生的「理解」   2020-6-2 10:31

• Zmn-0215 薛问天：混淆了函数h同函数f的微分-评师教民先生的《0214》   2020-6-1 10:39

• Zmn-0214 师教民： 评《这是不同的微分变量不容混淆-评师教民先生的<0209>》   2020-5-31 17:21

• Zmn-0213 薛问天：这是不同的微分变量不容混淆-评师教民先生的《0209》   2020-5-29 19:30

• Zmn-0212 欧阳耿：八答薛问天：做学问要敬畏课本上内容更要敬畏知识   2020-5-28 09:22

• Zmn-0211 沈卫国：牛顿、莱布尼兹究竟是如何……-兼论对微积分核心概念的全新理解   2020-5-27 15:22

• Zmn-0210 薛问天：表述要严格，明确和具体-评欧阳耿先生的《0207》   2020-5-25 20:08

• Zmn-0209 师教民：评《对「反函数导数定理」的严重歪曲-评师教民先生的<0199>》   2020-5-23 09:21

• Zmn-0208 薛问天：约束变量的替換并不违背逻辑同一律-评赵峰先生的质疑   2020-5-22 19:06

• Zmn-0207 欧阳耿：答薛问天0206 再论数学的逻辑缜密性   2020-5-22 08:59

• Zmn-0206 薛问天：再论数学的逻辑缜密性-评欧阳耿先生的《0194》和《0204》   2020-5-20 09:07

• Zmn-0205 沈卫国：简评薛问天与师教民二位先生关于微分问题的讨论   2020-5-19 20:59

• Zmn-0204 欧阳耿：答Zmn-0202 薛问天先生：评欧阳耿先生的【元素多少】概念   2020-5-17 10:49

• Zmn-0203 薛问天：对「反函数导数定理」的严重歪曲-评师教民先生《0199》   2020-5-16 21:31

• Zmn-0202 薛问天：论无穷集合元素的「原本个数」-评欧阳耿先生的【元素多少】概念。   2020-5-15 08:23

• Zmn-0201 欧阳耿：答新华先生《关于“有理数集合中所含的元素比自然数集合中所含的元素多?”的探讨》   2020-5-14 17:03

• Zmn-0200 新   华：对一些评论的评述   2020-5-14 09:06

• Zmn-0199 师教民：评《欲盖弥彰真相大白-师教民先生的<0191>》   2020-5-13 13:02

• Zmn-0198 薛问天：「潜无穷观」视野的限制-评新华先生《0189有关【缝隙】的看法》   2020-5-13 08:42

• Zmn-0197 沈卫国：简评薛问天先生对自变量微分的评论   2020-5-12 12:42

• Zmn-0196 新   华： 关于“有理数集合中所含的元素比自然数集合中所含的元素多?”的探讨   2020-5-12 09:10

• Zmn-0195 薛问天：欲盖弥彰真相大白-评师教民先生的《0191》   2020-5-10 09:03

• Zmn-0194 欧阳耿：五答薛问天先生-调和级数悖论中的“加括号操作”   2020-5-9 20:53

• Zmn-0193 文   兰：关于三卡悖论的说明，【转载】解一个古老的悖论。   2020-5-9 08:12

• Zmn-0192 薛问天：悖论是在隐含假定下推出的矛盾-评张金成先生关于悖论的片面认识。   2020-5-8 16:55

• Zmn-0191 师教民：评《评师教民先生在证明中所犯的低级错误》   2020-5-8 08:59

• Zmn-0190 欧阳耿：有理数集合中所含的元素比自然数集合中所含的元素多？   2020-5-7 08:40

• Zmn-0189 新   华：有关有理数和无理数的看法   2020-5-6 15:26

• Zmn-0188 张景中： 对《薛问天：评师教民先生在证明中所犯的低级错误》一文的评语。   2020-5-6 09:17

• Zmn-0187 薛问天：「数学讨论」离不开定义和论证-评欧阳耿先生的四答   2020-5-5 22:4

• Zmn-0186 薛问天：评师教民先生在证明中所犯的低级错误   2020-5-4 20:22

• Zmn-0185 薛问天：有理数的【缝隙】和无理数。   2020-5-3 19:52

• Zmn-0184 师教民： 评《教科书己给出【微分的两套符号表示方案】——评师教民先生的<0180>》   2020-5-2 21:48

• Zmn-0183 薛问天：教科书己给出【微分的两套符号表示方案】-评师教民先生的《0180》   2020-4-30 17:16

• Zmn-0182 林益：我对《再次说明有穷到无穷是一种飞跃》的回复   2020-4-30 08:52

• Zmn-0181 林益：与薛老师的《由林益的证明引发的联想》磋商   2020-4-29 12:37

• 科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0200 期目录：2020-5-14 09:54