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Zmn-0231 薛问天：一种暂时避开「极限」概念引入导数的方案

已有 1940 次阅读 2020-6-15 09:07 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0231 薛问天：一种暂时避开「极限」概念引入导数的方案

【编者按。下面是薛问天先生发来的论文，提出了一种暂时避开「极限」概念引入导数的方案。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

一种暂时避开「极限」概念引入导数的方案

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg 本文提出了一种暂时避开「极限」概念引入导数的方案，称为「补洞理论」。亦即「准严格地」引入连续函数的概念，並讨论「有洞函数」和「无洞函数」之间的「似等关系」。在此基础上，引入有洞函数的「补洞值」概念。用「补洞理论」来定义数学分析中的导数概念，可以暂时避开「极限」的概念。「极限」概念，对于初学者来说比较难于接受，但是连续函数的概念，比较直观容易接受。所以这种暂时避开「极限」概念引入导数的方案，在一定的教学场合，也许还有一定的作用。当然这只是暂时地避开，无洞函数指的是连续函数，最终严格地定义连续函数，还是离不开极限理论。

(一)，补洞理论

我们先直观地（准严格地）定义如下概念。

【定义1(函数断点)】。设有函数y= f(x)，如果f(a)无定义，或有Δ>0，总有无限接近于a的x，使|f(x)-f(a)|>Δ，则称a是y= f(x)的断点。

【定义2(连续函数)】。设有函数y= f(x)，如果处处有定义而且无断点，则称 y= f(x) 是连续函数。

【定义3(有洞函数)】。设有函数y=f(x)，如果此函数在某点a处没有定义(即f(a)没有定义)，但除此以外各点均有定义。则称此函数为「有洞函数」，a称为其「洞」。

例如，y=1/x，就是一个有洞函数，洞是x=0。

y=x/x，就是一个有洞函数，洞是x=0。

y=(ax+bx²)/x，就是一个有洞函数，洞是x=0。

但 y=a+bx,就是一个无洞连续函数，处处均有定义。

【定义4(似等关系)】。设有一个有洞函数y=f(x)，洞点是a，另有一个无洞连续函数y=g(x)。如果在x≠a点的所有各点均有f(x)=g(x)，则称函数f和g是「似等」的。

例如，有洞函数函数F(Δx)=(2xΔx+ΔxΔx)/Δx，洞点是Δx=0，同无洞连续函数G(Δx)=2x+Δx，是「似等函数」。因为除Δx=0以外，对Δx的其它各点均有F(Δx)=G(Δx)。

【定义5(补洞值)】。设有一个有洞函数y=f(x)，洞点是a，如果另有一个与其似等的无洞连续函数y=g(x)。则我们把函数 y=g(x)在a点的函数值:g(a)称为有洞函数y=f(x)的「补洞值」。

(二)，导数的定义。

我们可以用「补洞理论」严格地定义函数的导数。

【定义6(导数)】。设有函数y=f(x)，显然，在x0点的增量比函数F(Δx)=Δy/Δx，是一有洞函数，洞点是Δx=0。如果 y=f(x)在x0点的增量比函数F(Δx)=Δy/Δx的「补洞值」存在，(亦即按定义，存在一个同F(Δx)似等的无洞连续函数G(Δx)，Δx=0点的函数值G(0)，即为「补洞值」。)则称 y=f(x)在x0点可导，並称此「补洞值」为 y=f(x) 在x0点的「导数」。

例如，求函数y=x²在点x处的导数。 F(Δx)=Δy/Δx= (2xΔx+ΔxΔx)/Δx，是有洞函数，洞点是Δx=0，同无洞连续函数G(Δx)=2x+Δx，是「似等函数」。于是无洞连续函数G(Δx)=2x+Δx在Δx=0点的函数值: G(0)=2x，就是「补洞值」，即导数。

M(三)，极限理论是基础

上述理论似乎避开了「极限」概念。但只是暂时地避开了。实际上，上述理论要成立必须要依赖极限理论。上述的「无洞连续函数」严格讲必须是用极限严格定义的连续函数。所谓「补洞」就是因为连续函数的极限值等于函数值，离不开极限理论。只是由于初学数学的人所接触的函数都是连续函数，甚至只有初等函数(当然也都是连续函数)。所以对于初学者来说直观地把函数都看作是连续函数，没有接受的障碍。等以后讲了极限以后再回过头来严格陈述函数的连续性，也许顺理成章，更加容易理解。等学了极限概念以后再来理解，原来只有严格定义的连续函数才能「补洞」。

实际上前述方法的理论基础是基于二代微积分中的如下导数的等价定义。

【定义7(导数另一个等价定义)】。设G(Δx)=Δy/Δx是函数f(x)在x0点的增量比函数。如果存在连续函数F(Δx)，使得对于Δx≠0的所有点，有G(Δx)=F(Δx)，则称函数f(x)在x0点可导，并且导数dy/dx=F(Δx)|_Δx=0，即F(0)。

可证此定义同第二代微积分中的导数定义等价，其证明的基本思路是利用连续函数的极限值等于函数值这一属性。

(全文完)

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