博文

Zmn-0245 沈卫国：薛先生已经来的了创新的大门口：评薛先生的“有洞”、“无洞”函数论

已有 1573 次阅读 2020-6-23 08:15 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0245 沈卫国：薛先生已经来的了创新的大门口：评薛先生的“有洞”、“无洞”函数论

【编者按。下面是沈卫国先生发来的文章。是对《Zmn-0231》薛问天先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

薛先生已经来的了创新的大门口：

评薛先生的“有洞”、“无洞”函数论

沈卫国

薛先生在zmn-0231“一种暂时避开极限概念引入导数的方案”一文中，提出“有洞”、“无洞”函数概念，以所谓的“无洞”函数2x+Δx，来代替“有洞”函数（2x+Δx）Δx/Δx。以解决极限法难以理解的问题。但他同时又声称，这只是一个过度，严格而言，仍旧需要极限法。

我认为，薛先生能够认识到现有微积分理论起码在教学上是不完美的，因此有必要提出新的解决思路，哪怕只是作为过渡，也是值得肯定的。但薛先生为什么不想想，那个“无洞”函数，也就是没有分母的函数2x+Δx是什么？不就是曲线的割线的斜率吗？在这个函数上，乘上一个1/1，不行吗？也就是使这个“无洞”函数2x+Δx变为（2x+Δx）1/1，不行？当然可以。然后1/1=Δx1/Δx1，只要Δx1≠0。这也是无问题的。于是，那个所谓的“无洞”函数，不就是（2x+Δx）Δx1/Δx1了吗？这是个什么函数？不就是以Δx1为自变量的直线函数的增量比值函数吗？其中（2x+Δx）=k，不是直线方程的系数，也就是斜率吗？当然，此时这是割线方程，当k中的Δx=0时，k就是切线斜率。如此，薛先生等于实际上完全不用极限而求出了二次曲线的切线斜率，也就是曲线的导数！笔者早就指出，那个（2x+Δx）1/1，实际就是牛顿、莱布尼兹通过约分实际得到的。因此，牛顿他们与薛先生这里所做的，不过方向不同而已。本 b质上是一样的。只不过薛先生认识不到而已。

我们说，极限法求导的提出（第二代微积分），本身就是为了消除牛顿、莱布尼兹求导的贝克莱悖论的。而现在根本就不需要极限法而求出了导数，并且没有了贝克莱悖论，那么，还要坚持那个根本就难以理解的极限法干什么？至于极限法求导是否有问题，还在其次。由以上讨论，薛先生认为的最终还是需要极限法的说法是不成立的。明确说，如果薛先生的“无洞”函数说有效，极限法就无用了（错不错另说）。而如果极限法求导必不可少，薛先生的“无洞”函数说就是无道理的。这些，请薛先生明察。

总之，薛先生的所谓“有洞”函数，不过就是二次曲线增量比值函数，在Δx=0点，由于其分母上有Δx，自然有0/0的问题，也就是无定义，可以看成是“有洞”。而薛先生所谓的“无洞”函数，也就是根本就没有分母，或分母上已经没有了那个Δx，但分母原先是有的，现在没有了，它成了什么？当然可以认为是分母为“1”。也就是分母还有，但为“1”了。可剩下的那个分子上的作为k中的Δx完全可以等于0，这说明了什么？说明这三个Δx不一样呗！不一样说明了什么？它不再是二次曲线方程（曲线方程，三个Δx当然必须一样，这是曲线方程所要求的），而是线性方程了呗。于是，薛先生所谓的“无洞”函数，就是线性方程，也就是割线、切线方程，不是二次曲线方程。因此，求导直接由薛先生的“无洞”方程就可，根本无须再借助什么求那个不可达极限。

问题的本质，就是把二次曲线上的两点，改成割线、切线上的两点，如此而已。曲线上的两点合而为一时，有0/0的问题。而切线上的两点没有，其分母不为0。一般为1就好。

此外，特别重要的一点是，经常有人说，约分的前提，是Δx≠0。于是，约分后就不能再令Δx=0，而只能是Δx→0。但实际上，（2x+Δx）Δx/Δx约分的前提，难道不是也包括Δx不能趋于0？因为这时式子如果Δx→0，同样会得到极限0/0。如此说来，极限法最后令分子中的那个Δx→0的求切线斜率的一步，不也同样应该不被允许？因此约分后（分母实际等于1或趋于1）再令Δx→0只有一种可能，就是实际把（2x+Δx）Δx/Δx式中的这三个Δx，看成了不是相同的，也就是Δx/Δx实际是Δx1/Δx1。这实际上就是作为直线（这里具体就是二次曲线的割线、切线）的增量比值函数（2x+Δx）Δx1/Δx1，而不是作为二次曲线的增量比值函数（2x+Δx）Δx/Δx。很多人惑于这种细微但重要的差别而不能自拔。

总之，无论牛顿、莱布尼兹法（所谓“第一代微积分”），还是极限法求导（所谓“第二代微积分”），其前提都是要先约分。而约分的前提，不但是分母上的Δx不能等于0，而且也不能趋于0（以0为极限）。因为显然，一经约分，分母上的Δx就为1了，无论是等于1还是趋于1（以1为极限）都是1。不是吗？但牛顿他们就是先进行了约分（分母上的Δx等于或趋于1，都一样的），然后令分子中剩下的那个Δx等于0（极限法是趋于0），我们需要搞清的不是这么做对还是不对，允许还是不允许，而是它究竟意味着什么？因为显然，如此做是真实地、准确地求出了导数的。也就是曲线的切线斜率。能够这么做的缘由上面都讲了，这里不再重复。

最后，我再强调一点，一旦意识到求导不过是求曲线切线的真正意义的斜率，我们完全可以不用容易造成概念混淆的增量比值函数，而就用增量函数。因为我们都知道，直线方程，或直线增量方程的系数，就是其斜率。如此，整个方程根本就没有什么分母，自然也就没有了“分母上的自变量Δx”。这我在上一篇回答薛先生质疑的回文中已经表述的很清楚了：此时的（2x+Δx）Δx，既可以表示二次曲线增量方程，也可以表示这个曲线的割线（直线）的增量方程。后者如果不拘泥于曲线上的两个交点，一般地可以写成（2x+Δx）Δx1，如果Δx1=1，有（2x+Δx)•1，此即自变量增量恒为1的直线方程。就是薛先生的所谓“无洞”函数。其中（2x+Δx）=k，就是该直线也就是割线的系数，也就是其斜率。里面的Δx仍是该割线与曲线的两个交点横坐标之差。随Δx的变动，割线改变方向。当其中Δx为0时，自然就是切线斜率，具体到这里的二次曲线情况也就是2x。当年费马、牛顿、莱布尼兹之所以没有直接了当地采取这种方法，而是采用了曲线的增量比值函数，是没有意识到导数涉及的两个点可以脱离曲线。他们以为，既然是曲线的导数，求导所需要的两个点自然必须要、而且始终要在曲线上，直到这曲线上的两个点最终合为一。于是此时自然会有0/0问题，也就是贝克莱悖论。即使后来的极限法求导也一样。只不过更其隐蔽些罢了。这个问题的本质，是曲线的始终“弯曲”（即使在“无穷小”时——如果有无穷小的话），与斜率所要求的直线（不弯曲）的矛盾。因此，无论是无穷小也好，“化曲为直”也好，取不可达极限也好，都不能解决这个曲线与直线的根本区别问题。而只有把斜率定义本身所要求的两个不能重合（其差值不能为0）的点，彻底地从曲线上“请下来”，移到作为直线的割线、切线上去，这个问题才可能得到彻底的解决。

总之，用薛先生的“无洞”函数，正如薛先生所实际做到的，完全可以求出导数。不但如此，既然求出来了，就有其道理。只要我们给以其合理的解释，就完完全全根本不用极限来求导。我们所需要的，是彻底搞清楚为什么如此就可以实实在在地求出导数，既然求都求出来了，自有其道理在。请薛先生明察，完全不必把那个极限法求导当作什么不可撼动的金科玉律。事实上：

一方面，承认牛顿、莱布尼兹（其实还有费马）是微积分的创始人，一方面又不得不说他们的方法是错的。应该以所谓的极限法来取代。这就产生问题，牛顿、莱布尼兹为什么会以一个错误的方法，求出了正确的、精确的结果的？特别是非标准分析的出现，通常的说法是，非标准分析与标准分析的极限法等价，那么，非标准分析与牛顿法不等价？其实也等价。都是舍弃无穷小。那么，牛顿法（第一代微积分）与极限法也等价了？那么显然，如果等价，还要极限法干什么？更何况极限法的存在，就是为了否定牛顿法的，否则，它也不该存在。如果说极限法是为了说明、诠释牛顿法的，那么，牛顿法是舍弃无穷小的，极限法与舍弃无穷小等价吗？如等价，牛顿法不足够了，还要极限法干什么？极限法就如足球场上的一脚射门，进球了，全场欢呼，但马上发现他把球踢进了自家球门！

返转到：

zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录