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Zmn-0245 沈卫国:薛先生已经来的了创新的大门口:评薛先生的“有洞”、“无洞”函数论

已有 430 次阅读 2020-6-23 08:15 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0245 沈卫国:薛先生已经来的了创新的大门口:评薛先生的“有洞”、“无洞”函数论

【编者按。下面是沈卫国先生发来的文章。是对《Zmn-0231》薛问天先生文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

薛先生已经来的了创新的大门口:

评薛先生的“有洞”、“无洞”函数论

沈卫国

   薛先生在zmn-0231“一种暂时避开极限概念引入导数的方案”一文中,提出“有洞”、“无洞”函数概念,以所谓的“无洞”函数2x+Δx,来代替“有洞”函数(2x+ΔxΔx/Δx。以解决极限法难以理解的问题。但他同时又声称,这只是一个过度,严格而言,仍旧需要极限法。

   我认为,薛先生能够认识到现有微积分理论起码在教学上是不完美的,因此有必要提出新的解决思路,哪怕只是作为过渡,也是值得肯定的。但薛先生为什么不想想,那个“无洞”函数,也就是没有分母的函数2x+Δx是什么?不就是曲线的割线的斜率吗?在这个函数上,乘上一个1/1,不行吗?也就是使这个“无洞”函数2x+Δx变为(2x+Δx)1/1,不行?当然可以。然后1/1=Δx1/Δx1,只要Δx10。这也是无问题的。于是,那个所谓的“无洞”函数,不就是(2x+ΔxΔx1/Δx1了吗?这是个什么函数?不就是以Δx1为自变量的直线函数的增量比值函数吗?其中(2x+Δx)=k,不是直线方程的系数,也就是斜率吗?当然,此时这是割线方程,当k中的Δx=0时,k就是切线斜率。如此,薛先生等于实际上完全不用极限而求出了二次曲线的切线斜率,也就是曲线的导数!笔者早就指出,那个(2x+Δx)1/1,实际就是牛顿、莱布尼兹通过约分实际得到的。因此,牛顿他们与薛先生这里所做的,不过方向不同而已。本 b质上是一样的。只不过薛先生认识不到而已。

我们说,极限法求导的提出(第二代微积分),本身就是为了消除牛顿、莱布尼兹求导的贝克莱悖论的。而现在根本就不需要极限法而求出了导数,并且没有了贝克莱悖论,那么,还要坚持那个根本就难以理解的极限法干什么?至于极限法求导是否有问题,还在其次。由以上讨论,薛先生认为的最终还是需要极限法的说法是不成立的。明确说,如果薛先生的“无洞”函数说有效,极限法就无用了(错不错另说)。而如果极限法求导必不可少,薛先生的“无洞”函数说就是无道理的。这些,请薛先生明察。

总之,薛先生的所谓“有洞”函数,不过就是二次曲线增量比值函数,在Δx=0点,由于其分母上有Δx,自然有0/0的问题,也就是无定义,可以看成是“有洞”。而薛先生所谓的“无洞”函数,也就是根本就没有分母,或分母上已经没有了那个Δx,但分母原先是有的,现在没有了,它成了什么?当然可以认为是分母为“1”。也就是分母还有,但为“1”了。可剩下的那个分子上的作为k中的Δx完全可以等于0,这说明了什么?说明这三个Δx不一样呗!不一样说明了什么?它不再是二次曲线方程(曲线方程,三个Δx当然必须一样,这是曲线方程所要求的),而是线性方程了呗。于是,薛先生所谓的“无洞”函数,就是线性方程,也就是割线、切线方程,不是二次曲线方程。因此,求导直接由薛先生的“无洞”方程就可,根本无须再借助什么求那个不可达极限。

问题的本质,就是把二次曲线上的两点,改成割线、切线上的两点,如此而已。曲线上的两点合而为一时,有0/0的问题。而切线上的两点没有,其分母不为0。一般为1就好。

此外,特别重要的一点是,经常有人说,约分的前提,是Δx0。于是,约分后就不能再令Δx=0,而只能是Δx0。但实际上,(2x+ΔxΔx/Δx约分的前提,难道不是也包括Δx不能趋于0?因为这时式子如果Δx0,同样会得到极限0/0。如此说来,极限法最后令分子中的那个Δx0的求切线斜率的一步,不也同样应该不被允许?因此约分后(分母实际等于1或趋于1)再令Δx0只有一种可能,就是实际把(2x+ΔxΔx/Δx式中的这三个Δx,看成了不是相同的,也就是Δx/Δx实际是Δx1/Δx1。这实际上就是作为直线(这里具体就是二次曲线的割线、切线)的增量比值函数(2x+ΔxΔx1/Δx1,而不是作为二次曲线的增量比值函数(2x+ΔxΔx/Δx。很多人惑于这种细微但重要的差别而不能自拔。

总之,无论牛顿、莱布尼兹法(所谓“第一代微积分”),还是极限法求导(所谓“第二代微积分”),其前提都是要先约分。而约分的前提,不但是分母上的Δx不能等于0,而且也不能趋于0(以0为极限)。因为显然,一经约分,分母上的Δx就为1了,无论是等于1还是趋于1(以1为极限)都是1。不是吗?但牛顿他们就是先进行了约分(分母上的Δx等于或趋于1,都一样的),然后令分子中剩下的那个Δx等于0(极限法是趋于0),我们需要搞清的不是这么做对还是不对,允许还是不允许,而是它究竟意味着什么?因为显然,如此做是真实地、准确地求出了导数的。也就是曲线的切线斜率。能够这么做的缘由上面都讲了,这里不再重复。

最后,我再强调一点,一旦意识到求导不过是求曲线切线的真正意义的斜率,我们完全可以不用容易造成概念混淆的增量比值函数,而就用增量函数。因为我们都知道,直线方程,或直线增量方程的系数,就是其斜率。如此,整个方程根本就没有什么分母,自然也就没有了“分母上的自变量Δx”。这我在上一篇回答薛先生质疑的回文中已经表述的很清楚了:此时的(2x+ΔxΔx,既可以表示二次曲线增量方程,也可以表示这个曲线的割线(直线)的增量方程。后者如果不拘泥于曲线上的两个交点,一般地可以写成(2x+ΔxΔx1,如果Δx1=1,有(2x+Δx)1,此即自变量增量恒为1的直线方程。就是薛先生的所谓“无洞”函数。其中(2x+Δx)=k,就是该直线也就是割线的系数,也就是其斜率。里面的Δx仍是该割线与曲线的两个交点横坐标之差。随Δx的变动,割线改变方向。当其中Δx为0时,自然就是切线斜率,具体到这里的二次曲线情况也就是2x。当年费马、牛顿、莱布尼兹之所以没有直接了当地采取这种方法,而是采用了曲线的增量比值函数,是没有意识到导数涉及的两个点可以脱离曲线。他们以为,既然是曲线的导数,求导所需要的两个点自然必须要、而且始终要在曲线上,直到这曲线上的两个点最终合为一。于是此时自然会有0/0问题,也就是贝克莱悖论。即使后来的极限法求导也一样。只不过更其隐蔽些罢了。这个问题的本质,是曲线的始终“弯曲”(即使在“无穷小”时——如果有无穷小的话),与斜率所要求的直线(不弯曲)的矛盾。因此,无论是无穷小也好,“化曲为直”也好,取不可达极限也好,都不能解决这个曲线与直线的根本区别问题。而只有把斜率定义本身所要求的两个不能重合(其差值不能为0)的点,彻底地从曲线上“请下来”,移到作为直线的割线、切线上去,这个问题才可能得到彻底的解决。

总之,用薛先生的“无洞”函数,正如薛先生所实际做到的,完全可以求出导数。不但如此,既然求出来了,就有其道理。只要我们给以其合理的解释,就完完全全根本不用极限来求导。我们所需要的,是彻底搞清楚为什么如此就可以实实在在地求出导数,既然求都求出来了,自有其道理在。请薛先生明察,完全不必把那个极限法求导当作什么不可撼动的金科玉律。事实上:

一方面,承认牛顿、莱布尼兹(其实还有费马)是微积分的创始人,一方面又不得不说他们的方法是错的。应该以所谓的极限法来取代。这就产生问题,牛顿、莱布尼兹为什么会以一个错误的方法,求出了正确的、精确的结果的?特别是非标准分析的出现,通常的说法是,非标准分析与标准分析的极限法等价,那么,非标准分析与牛顿法不等价?其实也等价。都是舍弃无穷小。那么,牛顿法(第一代微积分)与极限法也等价了?那么显然,如果等价,还要极限法干什么?更何况极限法的存在,就是为了否定牛顿法的,否则,它也不该存在。如果说极限法是为了说明、诠释牛顿法的,那么,牛顿法是舍弃无穷小的,极限法与舍弃无穷小等价吗?如等价,牛顿法不足够了,还要极限法干什么?极限法就如足球场上的一脚射门,进球了,全场欢呼,但马上发现他把球踢进了自家球门!

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