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Zmn-0274 薛问天：教材没有错，是新华先生对微分的理解有错误。

已有 2482 次阅读 2020-7-29 11:01 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0274 薛问天：教材没有错，是新华先生对微分的理解有错误。

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0243》新华先生的文章评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

教材没有错，是新华先生对微分的理解有错误。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

薛问天-c.jpg 新华先生在《.Zmn-0243 新华：三者都有错-评《条条评论条条错》》一文中谈到微分dy,dx概念。他认为【教材确实有错】，而且认为【不知是编写第二代微积分的作者没有弄清极限理论的本质，还是疏忽，......就把毫无关系的dy 、dx 与∆y 、∆x 扯到一起。】

其实微积分的教材没有错，而是新华先生对微分概念的理解有错误。

(一)，微分dy,dx与函数的增量Δy,Δx【毫无关系】吗?

什么是微分。按照微分的定义，函数y=f(x)的因变量的微分dy是函数增量的线性主部，即Δy=dy+o(Δx)，dy=f'(x)Δx是Δx的线性函数。函数y=f(x)的自变量的微分dx是函数自变量的增量Δx，即dx=Δx。微分dy,dx与函数的增量Δy,Δx之间的关系如此密切，如此明确，不知新华先生从哪里得知微分dy,dx与函数的增量Δy,Δx【毫无关系】，是【没有弄清，,...还是疏忽】?

从直观的几何意义上讲，微分dy是切线函数的因变量增量，微分dx是切线函数的自变量的增量。一个是曲线函数y=f(x)的增量，一个是相应切线函数y=y₀+k(x-x₀),k= f'(x₀)的增量，怎么能没有关系呢？可见新华先生对微分是什么，并没有真正理解。下面我们来看看教科书中的一张解释微分概念的插图（菲书第174页）：

(二)，∆x与dx是否真的【属性不同】，∆x【可以任意遨游】，而dx【只能一动不动】吗?

新华先生说【 ∆x与dx 属性不同，对一个确定的点，∆x 非常自由，在大于 0 的范围内可以任意遨游， dx则不同，只能一动不动】。

这是对微分变量这个概念的严重误解。微分的定义说得很清楚，函数的微分dy是Δx的线性函数，自变量的微分就是Δx，它们都是随着Δx的变化而变化的变量，怎么能是【一动不动】呢？

新华先生问道【 dy是定值，f'(x)是定值，而∆x是变量， dy=f'(x)∆ x两边属性不同，怎么能相等呢？】请问新华先生，你根据什么硬说【dy是定值】呢?此式不是刚好说明dy是随着Δx变化的变量吗?

新华先生不知为什么要顽固地坚持这个【dy是定值】的错误的观点。我在《 Zmn-0232 薛问天：谈数学中的「微分」和「极限」概念-评新华先生的错误观点。》一文中，专门有一小节「(一) (1)，微分dy,dx是随着Δx变化而变化的变量，不是【不会改变】的【定值】。」就是特意评论新华先生的这个错误观点的。可是新华先生不听劝告也不说任何反驳的理由，在此文中仍然坚持此错误观点。

微商dy/dx是Δy/Δx在Δx→0时的极限。自然 Δy/Δx是变量。作为极限 dy/dx是定值，这肯定是对的，一点问题都没有。但由比值 dy/dx是定值就推断 dy和dx是定值就完全错误了。 dy和dx 并不是定值，它们是按比例，随Δx的变化而变化的变量。dy=f'(x)Δx，dx=Δx。可见比值 dy/dx是定值它等于 f'(x)，但 dy和dx 并不是定值，它们是按比例，随Δx变化的变量。

(三)，定义需要怎样才算【公平】?

从新华先生的字里行间可以看出，他对微分的定义愤愤不平，很不满意。关于自变量微分dx，他说【把毫无关系的dy,dx 与∆y,∆x扯到一起，还强行定义 “∆x=dx”，】。关于因变量微分，他说【不知编者出于何估计动机，要把dy与f'(x)∆x 配到一起，】。还说【既然能通过特例∆y/∆x＝dy/dx =1定义 “∆x=dx”，为什么不定义“dy=∆y”，这不明显的不公平吗？】

学习数学不必同「定义」较劲。数学定义本来就是一种规定，一种约定，它的本质无非是给数学对象起个名字。大家共同约定这个名字表示的数学对象表示的「是什么」。使大家讨论时有个共同的语言。学习数学就是要通过定义来了解该数学对象的确切含义，属性。例如判定微分是定值还是变量，就是要依据微分的定义，这是一个共同的约定。而不是依据某个人的主观臆想。

要区别定义和定理的不同，定理是需要数学证明的，学习定理要问「为什么」。定义不需要证明，它就是一种规定和约定，不需要理由。学习定义要问的问题不是「为什幺」，而是要弄清「是什么」。这是学习数学的基本方法。

新华先生问，为什么要定义dx=Δx，为什么不定义“dy=∆y”，问定义【出于何种动机】，是否【不公平】?这问的根本就是莫须有的问题，因为定义不需要理由。它就是一种规定。函数因变量的微分同自变量的微分是两种不同的微分，用不同的式子来定义，这很正常。不存在公平不公平的问题。怎样才算公平，不同的数学对象都用同一公式来定义，这才叫公平吗?

(四)，关于自变量微分dx的两个等价定义。

从新华先生的提问【既然能通过特例∆y/∆x＝dy/dx =1定义 “∆x=dx”，为什么不定义“dy=∆y”，】可以看出新华先生对函数自变量微分dx的两个等价定义，还没有完全理解。

关于函数自变量微分dx有两个等价定义，一个是直接定义，把函数自变量微分dx直接定义为等于自变量的增量Δx，dx=Δx。一个是把自变量x看作是恒等函数I(x)的因变量，从而把自变量的微分dx定义为恒等函数I(x)的因变量的微分:dx=I'(x)Δx。由于恒等函数的导数I'(x)=1，所以最后定义的结果仍然是dx=Δx。也就是说，证明了这两种定义是等价的。定义本身不需要理由，不需要证明。但是断定两种定义是「等价的」，则需要证明。

我想新华先生明白了对自变量微分的两种等价定义，就不会提出【为什么不定义“dy=∆y”】这样的问题了，因为函数y=f(x)是以x为自变量的函数，它不是以y为自变量的函数，更不是以y为自变量的恒等函数。dy=f'(x)Δx同dy=Δy不等价。怎么能定义 “dy=∆y”呢？

(全文完)

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