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Zmn-0270 薛问天:重温微分标注的定义,澄清对概念的混淆。-评师教民先生的《0268》

已有 595 次阅读 2020-7-22 13:05 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流


【编者按。下面是薛问天发来的文章。是对《Zmn-0268》师教民先生的文章评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

重温微分标注的定义,澄清对概念的混淆。

-评师教民先生的《0268》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg欣喜地看到师教民先生在《0268》评 《  薛问天: 师教民先生不愿直接回答,我来替你回答。》一文中,没有把我替他的回答,说成是【强加】于他的,而是釆取了「默认」的态度。这说明了什么,已是不言而喻的事了。这轮讨论己结束了,已达成一定的共识,可以翻篇了。

 

师教民先生在《0268》中提出的一个新的矛盾,于是又开啟了一轮新的讨论。

师先生这次作了①-⑥共6点论证,最后在⑤和⑥中提出了如下矛盾。【 据薛问天先生在④中得出的结论知:dy③≠dy②.dx③≠dx②.这 就与在①至③中得出的结论 dy③=dy②矛盾了.】【 只有在 dx③=dx②的情况下,...才能保证薛问天先生的 dy③=h'(y)Δy = f'(x)g'(y)Δy 正确,可是当 dx③=dx②时,就与薛问天先生在⑤中的 dx③≠dx②矛盾了。】

也就是说,师先生发现了 dy③≠dy②与 dy③=dy②的矛盾和 dx③=dx②与 dx③≠dx②的矛盾。

现在我来回答, (1),dy③=dy②的推论是正确的 。但是 dy③≠dy②的推论是错误的。师先生又一次犯了混淆微分变量的错误,错把dy①当成dy③了,他推出的是 dy①≠dy②,而不是 dy③≠dy②。因而没有产生矛盾。

(2),根本就不存在dx③这个微分变量,说的是dx①。 dx①≠dx②是正确的,而 dx①=dx②是错误的。同样没有矛盾。。也推不出师先生所期望的dx③=dx②与 dx③≠dx②的矛盾。。

下面我们来仔细分析,从微分标注的确切定义开始。

 

(一), 重温微分标注的定义。

师先生的错误,多源于他对于微分变量的混淆。因而有必要重温微分标注的确切定义。由于同一徽分符号如dy,dx等常在不同场合表示不同的微分变量,我早在 《zmn-012 薛问天:解开微分迷团 2018-7-7 16:14》一文中就提出了加标注的方法。此方法师教民先生也是认可并使用的。一直沿用至今。我们来重温一下这些标注的确切定义。

设有函数y=f(x),x=g(y),f和g互为反函数,复合函数为y=h(y)=f[g(y)]。我们知道:

dy①=Adx①,A=f’(x)=dy①/dx①......①

dx②=Bdy②,B=g’(y)=dx②/dy②......②

dy③=Cdy②,C=h’(y)=dy③/dy②......③
其中

dy①=f’(x)Δx,是函数 y=f(x)的因变量的微分。

dx①=Δx, 是函数 y=f(x)的自变量的微分。

dx②=g’(y)Δy, 是函数 x=g(y)的因变量的微分。

dy②=Δy, 是函数 x=g(y)和y=h(y)的自变量的微分。

dy③=h’(y)Δy=f’(x)g’(x)Δy, 是函数 y=h(y)的因变量的微分。

后来我们发现教科书中关于微分还有另一套表示方法,即把y=f(x)的因变量微分表示为df(x),自变量微分表示为dx。于是同上述标注方法对应的微分就是:

dy①=df(x),是函数 y=f(x)的因变量的微分。

dx①=dx, 是函数 y=f(x)的自变量的微分。

dx②=dg(y), 是函数 x=g(y)的因变量的微分。

dy②=dy, 是函数 x=g(y)和y=h(y)的自变量的微分。

dy③=dh(y), 是函数 y=h(y)的因变量的微分。

 

 (二),对师教民先生的①-⑥推论的评论。

 (1),师先先的推论①-④,基本上都是正确的。即

①, 复合函数 y=h (y) 的因变量的微分为 dy③,自变量的微分为 dy②。

②, 对于复合函数 y=h(y),因为是恒等函数,有 dy③=dy②。

③, 正反函数是复合函数的特例.复合函数 y=h (y)的因变量的微分还是 dy③,自变量的微分还是 dy②,且还是有dy③=dy②。

④,我确实认为「 y=f (x)的自变量微分 dx,同 x=g (y)的因变量微分dg (y) 不是同一个微分变量。同样,y=f (x)的因变量的微分df (x),同 x=g (y)的自变量微分 dy 不是同一个微分变量。」即一般地,dx≠dg(y),和df(x)≠dy。(换成前边的标注,即dx①≠dx②和dy①≠dy②。)

我之所以说是基本正确,是其中有些论点我不同意

A1),用【 y=f (x),x=g (y)】表示复合函数是不妥当的。因为这通常表示的是构成复合函数的两个函数。而复合函数的映射是复合映射 f·g,它是不同于构成它的两个函数的任何一个函数f和g的第三个函数,这点在概念上一定要分清,不容混淆。

A2),在概念上要分清函数本身同函数的名称和表示的区别。一个函数的名称可以有各种各样,但函数本身只有一个。例如复合函数可以表示为y=h(y),y=f[g(y)],甚至y=f(x)[x=g(y)],但函数本身只有一个。无论怎么表示,它的映射都只能是 f·g,x都是它的中间变量。不会由于表示的不同而改变函数本身。就同把「河南省」称为另一个名称「豫」,并不会改变黄河流经该省的北部是一个道理。

 

 (2),师先生推论⑤的严重错误。

师先生在第⑤点推论中写出了如下公式:

「dy」=df(x) =dy③,dy=dy②;

「dx」=dg((y) =dx②,dx=dx③.

首先,其中的【 df(x) =dy③】是严重的概念错误。我们可以回过头去查看我们标注的定义。

「 dy①=df(x),是函数 y=f(x)的因变量的微分。」

「 dy③=dh(y),是函数 y=h(y)的因变量的微分。」

所以这里的df(x)是dy①,而不是dy③。 错把dy①当成dy③了,他推出的是 dy①≠dy②,而不是 dy③≠dy②。因而 dy①≠dy②同 dy③=dy②并没有产生矛盾。

其次,其中的 【 dx=dx③】同理也是严重的概念错误。我们可以回过头去查看我们标注的定义。定义中根本就没有dx③。而只有:「 dx①=dx, 是函数 y=f(x)的自变量的微分。」所以这里的dx是dx①,而不是dx③。由论点④推出的是 dx①≠dx②。

005.jpg 


 (3), 师先生推论⑥的严重错误。

师先生在第⑥点推论中写出了如下公式:

dy③=f'(x)g'(y)Δy=[dy③/dx③] [dx②/dy②] dy②=[dy③/dx③] dx②.

其中的【f'(x)= dy③/dx③】是严重的概念混淆错误。 我们可以回过头去查看我们标注的定义。定义中根本就没有dx③。而且有 

「 dy①=Adx①,A=f’(x)=dy①/dx①......①」。即

f'(x)=dy①/dx①,并不是 【f'(x)= dy③/dx③】。因而上述式子就变成

dy③=f'(x)g'(y)Δy=[dy①/dx①] [dx②/dy②] dy②= [dy①/dx①] dx②。

因为dy③並不等于dy① ,由此式推不出 dx①=dx②,也就同 dx①≠dx②不存在任何矛盾。也推不出师先生所期望的dx③=dx②与 dx③≠dx②的矛盾,也就是说,师先生想得出的第二代微积分有问题的结论,又一次泡汤了。

006.jpg


(全文完)



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