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Zmn-0270 薛问天：重温微分标注的定义，澄清对概念的混淆。-评师教民先生的《0268》

已有 1750 次阅读 2020-7-22 13:05 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

【编者按。下面是薛问天发来的文章。是对《Zmn-0268》师教民先生的文章评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

重温微分标注的定义，澄清对概念的混淆。

-评师教民先生的《0268》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

薛问天-c.jpg 欣喜地看到师教民先生在《0268》评《薛问天：师教民先生不愿直接回答，我来替你回答。》一文中，没有把我替他的回答，说成是【强加】于他的，而是釆取了「默认」的态度。这说明了什么，已是不言而喻的事了。这轮讨论己结束了，已达成一定的共识，可以翻篇了。

师教民先生在《0268》中提出的一个新的矛盾，于是又开啟了一轮新的讨论。

师先生这次作了①-⑥共6点论证，最后在⑤和⑥中提出了如下矛盾。【据薛问天先生在④中得出的结论知：dy③≠dy②．dx③≠dx②．这就与在①至③中得出的结论 dy③=dy②矛盾了．】【只有在 dx③=dx②的情况下，...才能保证薛问天先生的 dy③=h'(y)Δy = f'(x)g'(y)Δy 正确，可是当 dx③=dx②时，就与薛问天先生在⑤中的 dx③≠dx②矛盾了。】

也就是说，师先生发现了 dy③≠dy②与 dy③=dy②的矛盾和 dx③=dx②与 dx③≠dx②的矛盾。

现在我来回答， (1)，dy③=dy②的推论是正确的。但是 dy③≠dy②的推论是错误的。师先生又一次犯了混淆微分变量的错误，错把dy①当成dy③了，他推出的是 dy①≠dy②，而不是 dy③≠dy②。因而没有产生矛盾。

(2)，根本就不存在dx③这个微分变量，说的是dx①。 dx①≠dx②是正确的，而 dx①=dx②是错误的。同样没有矛盾。。也推不出师先生所期望的dx③=dx②与 dx③≠dx②的矛盾。。

下面我们来仔细分析，从微分标注的确切定义开始。

(一)，重温微分标注的定义。

师先生的错误，多源于他对于微分变量的混淆。因而有必要重温微分标注的确切定义。由于同一徽分符号如dy,dx等常在不同场合表示不同的微分变量，我早在《zmn-012 薛问天：解开微分迷团 2018-7-7 16:14》一文中就提出了加标注的方法。此方法师教民先生也是认可并使用的。一直沿用至今。我们来重温一下这些标注的确切定义。

设有函数y=f(x)，x=g(y)，f和g互为反函数，复合函数为y=h(y)=f[g(y)]。我们知道:

dy①=Adx①，A=f’(x)=dy①/dx①......①

dx②=Bdy②，B=g’(y)=dx②/dy②......②

dy③=Cdy②，C=h’(y)=dy③/dy②......③
其中

dy①=f’(x)Δx，是函数 y=f(x)的因变量的微分。

dx①=Δx，是函数 y=f(x)的自变量的微分。

dx②=g’(y)Δy，是函数 x=g(y)的因变量的微分。

dy②=Δy，是函数 x=g(y)和y=h(y)的自变量的微分。

dy③=h’(y)Δy=f’(x)g’(x)Δy，是函数 y=h(y)的因变量的微分。

后来我们发现教科书中关于微分还有另一套表示方法，即把y=f(x)的因变量微分表示为df(x)，自变量微分表示为dx。于是同上述标注方法对应的微分就是:

dy①=df(x)，是函数 y=f(x)的因变量的微分。

dx①=dx，是函数 y=f(x)的自变量的微分。

dx②=dg(y)，是函数 x=g(y)的因变量的微分。

dy②=dy，是函数 x=g(y)和y=h(y)的自变量的微分。

dy③=dh(y)，是函数 y=h(y)的因变量的微分。

(二)，对师教民先生的①-⑥推论的评论。

(1)，师先先的推论①-④，基本上都是正确的。即

①，复合函数 y=h (y) 的因变量的微分为 dy③，自变量的微分为 dy②。

②，对于复合函数 y=h(y)，因为是恒等函数，有 dy③=dy②。

③，正反函数是复合函数的特例．复合函数 y=h (y)的因变量的微分还是 dy③，自变量的微分还是 dy②，且还是有dy③=dy②。

④，我确实认为「 y=f (x)的自变量微分 dx，同 x=g (y)的因变量微分dg (y) 不是同一个微分变量。同样，y=f (x)的因变量的微分df (x)，同 x=g (y)的自变量微分 dy 不是同一个微分变量。」即一般地，dx≠dg(y)，和df(x)≠dy。(换成前边的标注，即dx①≠dx②和dy①≠dy②。)

我之所以说是基本正确，是其中有些论点我不同意

A1)，用【 y=f (x),x=g (y)】表示复合函数是不妥当的。因为这通常表示的是构成复合函数的两个函数。而复合函数的映射是复合映射 f·g，它是不同于构成它的两个函数的任何一个函数f和g的第三个函数，这点在概念上一定要分清，不容混淆。

A2)，在概念上要分清函数本身同函数的名称和表示的区别。一个函数的名称可以有各种各样，但函数本身只有一个。例如复合函数可以表示为y=h(y)，y=f[g(y)]，甚至y=f(x)[x=g(y)]，但函数本身只有一个。无论怎么表示，它的映射都只能是 f·g，x都是它的中间变量。不会由于表示的不同而改变函数本身。就同把「河南省」称为另一个名称「豫」，并不会改变黄河流经该省的北部是一个道理。

(2)，师先生推论⑤的严重错误。

师先生在第⑤点推论中写出了如下公式:

「dy」=df(x) =dy③，dy=dy②;

「dx」=dg((y) =dx②，dx=dx③．

首先，其中的【 df(x) =dy③】是严重的概念错误。我们可以回过头去查看我们标注的定义。

「 dy①=df(x)，是函数 y=f(x)的因变量的微分。」

「 dy③=dh(y)，是函数 y=h(y)的因变量的微分。」

所以这里的df(x)是dy①，而不是dy③。错把dy①当成dy③了，他推出的是 dy①≠dy②，而不是 dy③≠dy②。因而 dy①≠dy②同 dy③=dy②并没有产生矛盾。

其次，其中的【 dx=dx③】同理也是严重的概念错误。我们可以回过头去查看我们标注的定义。定义中根本就没有dx③。而只有:「 dx①=dx，是函数 y=f(x)的自变量的微分。」所以这里的dx是dx①，而不是dx③。由论点④推出的是 dx①≠dx②。