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Zmn-0261 薛问天：论逻辑推理的认知能力-评新华先生的【不可能的】

已有 2258 次阅读 2020-7-9 09:49 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0261 薛问天：论逻辑推理的认知能力-评新华先生的【不可能的】

【编者按。下面是薛问天发来的文章。是对新华先生的文章部分论点的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

论逻辑推理的认知能力

-评新华先生的【不可能的】

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg 由于受时间和空间的限制，人类在认知无穷事物(对象)时。不可能把这无穷对象全部呈现在你面前。例如在研究无穷小数时，你没有充分的时间和空间把该小数的全部所有各位都写出来。既使你写出来，别人也无法把它读完。但是这并没有把人类难倒，人类并没有放棄对无穷对象的研究。人类对无穷的认知靠的是人类所独有的「思维神器」，这就是逻辑推理。我们对人类的逻辑推理的认知的强大能力，一定要有充分的和足够的认识。它使得很多初看是【不可能的】，最终变为可能。对人类千百年来创造的文明，不能不由衷地感到敬佩。

新华先生说:【看来按照现行无理数的定义去判断任何一个无限不循环小数是无理数是不可能的，同样，把一个已知的无理数表示成无限不循环小数的形式也是不可能的，不得不使人怀疑按照现行无理数的定义的合理性。(《0259》)】

【现在教材把无理数定义为无限不循环小数，而√ 2要转化为无限小数是不可能的，它没有通项公式，转化不能达到无穷位，......，因此，教材把无理数定义是存在问题的。(《0255》)】

我对新华先生的这段话作如下评论。

(一)，可以严格证明「无理数是一个无限不循环小数。」

用整数比p/q(q≠0)定义有理数，用不能表示成整数比的数定义无理数，以及用无限循环小数定义有理数，用无限不循环小数定义无理数，这两种关于有理数和无理数的定义是完全等价的。这在逻辑上可以严格互推。

例如，尽管无理数√2转换成无穷小数，不可能把无穷小数的所有各位的值全部呈现在你面前，但是你可以通过逻辑推理知道它肯定是无限不循环小数。而不是循环小数。因为可以严格证明「无理数是一个无限不循环小数。」亦即可以严格证明「一个无限循环小数肯定是有理数。」这定理证明的思路是这样的。任何无限循环小数都可表示为一个m位有穷小数加上10^-m乘一个纯循环小数。纯循环小数指小数点后就是循环体无限循环，A=0.a1...ana1...an...。即此纯循环小数有一个n位的循环体: B=a1...an。显然有 (Ax10ⁿ)-A=B。故此纯循环小数A等于循环体B除以(10ⁿ-1)，即A=a1...an/9...9，是整数比(有理数)。这就证明了「一个无限循环小数肯定是有理数。」即当我们知√2是无理数时，尽管将其转换为无穷小数，并未将这无穷个位的值全部呈现在你面前，我们仍然可以通过「逻辑推理」的方法得知，这个无穷小数肯定不会循环，因为一旦是无穷循环小数，按上述定理它就是有理数了。而我们知道√2是无理数，所以就可知√2的无穷小数是不循环的小数。这就是「逻辑推理」的魅力所在。

(二)，无穷小数如何给定。

既然受时空的限制，一个无穷小数的所有各位的值不可能全部同时呈现在你面前。是否就认为一个无穷小数不可能存在了呢?是否就认为√2不能表示为无穷小数呢？不是的。给定一个无穷小数，并不要求，也不可能把它所有无穷个位的值，全部同时呈现在你面前。只需要给出一种方法，对任何自然数n，能通过此方法确定该无穷小数的第n位的值an唯一存在。就认为给定了此无穷小数。当然如果这个求值的方法是用初等函数表达的式子(通项公式) ，自然很好。不过既使是用自然语言表达的方法，只要是严格的和确定的，都应认可。例如√2，可以逐位来求他的无穷小数，假如我们己求出√2的小数点后1位是3.1，那么小数点后的第2位怎么求呢？最简单最笨的办法求是分别求3.11,3.12,3.13,...,这些数的平方。发现是3.14的平方小于2，而3.15的平方大于2，于是就知道小数点后两位是3.14。这样一位一位的求下去，对任何自然数n，√2的n位小数即可求出。如果给出的方法，可以对任何n求出第n位的值，就认为这无穷小数给定了。虽然并没有把所有无穷个位的值都求出來，但我们知道(通过推理)，一定可以用此方法确定。所以只要有了这个方法就认为是给定了这个无穷小数。所以说，在这样的理解下，给定一个无穷小数就是可能的。就不能认为【 √ 2要转化为无限小数是不可能的】，【把一个已知的无理数表示成无限不循环小数的形式也是不可能的】。

就如同我们承认全体自然数集合的存在，可我们并没有要求把所有的自然数都呈现在我们面前，是一样的道理。

（全文完）

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