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Zmn-0246 薛问天：师教民先生给出的四个【证明】全部是错的
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Zmn-0246 薛问天：师教民先生给出的四个【证明】全部是错的
【编者按。下面是薛问天发来的文章。是对《Zmn-0229》师教民先生的文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
师教民先生给出的四个【证明】全部是错的
薛问天
师教民先生在《Zmn-0229论极限理论中微分等于增量的科学错误》一文中给出了四个对极限理论置疑的【证明】。经过分析，我认为师教民先生给出的四个【证明】全部是错的
先谈前言中的一个错误，师先生说的【Δx→0 和 Δx 不→0】 不是矛盾。
师先生说极限理论的导数定义和微分定义中【Δx→0 和 Δx 不→0 的矛盾，这说明导数定义和微分定义至少有一个错误.然而，不论是导数错还是微分错，都是极限理论的错．】
Δx是函数自变量的增量，它是一个变量，它可以取定义域(Δx≠0)中任何值。可以讨论它不趋近于0时函数F(Δx)的属性，如Δy/Δx是割线的斜率。Δy是函数的增量，dy是切线的相应增量，dy/dx是切线的斜率等。也可以讨论「当Δx→0时，函数F(Δx)的极限。」如当Δx→0时，Δy/Δx的极限是切线的斜率。
因为dy,dx是Δx的线性函数，当 Δx→0时，显然有dx→0和dy→0。不过这里还需特别注意，既使Δx不趋近于0，dy/dx仍然是切线的斜率。
因而 Δx→0 和 Δx 不→0 没有任何矛盾。就如同对于一个人，可以讨论「当人老时，眼花了背驼了」，也可以讨论「它年轻时，身体很强壮。」这里没有任何矛盾。 这里 Δx→0 和 Δx 不→0，只是Δx取值的一种情况，所以用语都是「当......时，如何如何」。这里各种情况都是允许的，没有禁忌也没有矛盾。
(三)，笫三个证明的错误。
错误很多，一一说明。
(1)，中间变量只有一个x，没有x1,x2之分。
我们知道由y=f(x)和x=g(z)构成的复合函数y=f[g(z)]，中间变量只有一个x。并无x1,x2之分。
文中还说【 从这里可以看出 x1 是 x2 的函数】，则更是错误的。
(2)，变量x的增量只有一个Δx，并无Δx1,Δx2之分。
在复合函数中，当自变量z有一增量Δz时，中间变量根据函数 x=g(z)有一增量Δx。再根括函数 y=f(x)，有一增量Δz 。这里的中间变量的增量只有一个Δx，并无Δx1,Δx2之分。文中说【 变量 z 变化增量 Δz 时，2 里的中间变量 x2 就变化增量 Δx2，1 里的中间变量 x1 随之变化增量 Δx1。】只有一个Δx，文中分为Δx1,Δx2是错误的。不过文中还是最后认定 Δx1=Δx2=Δx。还算没有构成大错。
(3)，伪函数，伪微分。
师先生说【 因为 x1 是 x2 的函数，所以因变量 x1 对于自变量 x2 的导数为：dx2/dx1=...=1。 所以dx1=dx2=dx．】
因为【 x1 是 x2 的函数】，这个函数根本就不存在，所以说他是「伪函数」，由这个伪函数的导数定义的微分 dx1,dx2，自然是「伪微分」。它怎么能有资格同真微分dx相等。要知道真微分dx有两个，一个是真函数 y=f(x)的自变量微分dx①， 一个是真函数 x=g(z)的因变量微分dx②。
师教民先生的错误在于它对导数和微分认知的误区和盲点。他沒有认识到「导数是函数的导数，不是【 因变量(x1) 对于自变量(x2) 的导数】。不同的函数有不同的导数(既使相应变量相同)。」 他沒有认识到「构成函数导数的微商dy/dx，其分子dy和分母dx必须是该函数的因变量微分和自变量微分，而不能是其它函数的因变量和自变景的微分。」他的错误就是以伪函数偷换了真函数，以伪函数的微分偷换了真函数的微分。
师教民先生最后说【 故由导数定义推导出的(1)式 dx1=dx2=dx 正 确，所以极限理论既定义 dx≠Δx 又规定 dx=Δx 就错误了．】事实上恰恰相反，是师先生由于认知的误区，所推导出的(1)式错了。而极限理论没有错，dx有两个，dx①=Δx，dx②≠Δx。这里没有矛盾。是师先生混淆了这两个不同的微分。这就是第三个证明的错误。
顺便说一句：师先生所提供的【 只用小学数学法则即可，不必再用极限】的关于复合函数导数定理的【证明】，恰恰就是我一年前的一篇文章所指出的错误证明。这是混淆不同微分的经典错误。供师先生参考。
Zmn-0026薛问天: 两个错误的证明 2019-4-25。。
(四)，第四个证明的错误。
(1)，与(三)同理，变量y只有一个不必分y1,y2， 变量x只有一个不必分x1,x2 。增量Δx,Δy也不必分Δx1,Δx2，Δy1,Δy2。好在认可 Δx1=Δx2=Δx，Δy1=Δy2=Δy。这里并未引起什么错误。
问题出在师先生说: 【 因变量 y1 对于自变量 y2 的导数为：dy1/dy2=...=1，所以。dy1=dy2=dy．】
(2)，首先要问这是哪个函数的导数?
请师先生明确回答，你说的【 因变量 y1 对于自变量 y2 的导数】，究竟指的是哪个函数的导数?是函数f的导数吗？还是函数g的导数? 显然都不是。答案只有一个，那就是所求的是复合函数 y=h(y)的导数。
(3)，其次要问这个导数的微商中的分子应该是什么微分?
请师先生明确回答， 复合函数h的导数的微商中的分子应该是什么微分?是函数y=f(x)的因变量的微分，还是函数y=h(y) 的因变量的微分? 显然答案只有一个，那就是此导数的微商中的分子应该是复合函数 y=h(y)的因变量的微分。即应是dy③而不是dy①。
(4)，不同的微分怎容混淆。
要知道函数y=f(x)的因变量的微分dy①，与函数y=h(y) 的因变量的微分dy③是一般不相等的不同微分。
这很容易证明。因为按定义，dy①=f'(x)Δx，而dy③=h'(y)Δy=f'(x)g'(y)Δy。其中 g'(y)Δy只是Δx的线性主部，一般不等于Δx。所以dy①与 dy③是一般不相等的不同微分。
请问师先生，既然复合函数h的导数是dy③/dy②，而dy③与dy①又是不同的微分，你根据什么把 复合函数h的导数的微商写成dy①/dy②？
我不相信凭师先生的智商，把这么简单和明白的问题搞不清楚。如果是坚持正确的原则，我们大家都会佩服，如果明知是错误的说不通的【道理】，还要硬着头皮坚持，这就没有意思了，就违背了我们的讨论是为了求得共识的宗旨了。
这就是师先生的第四个证明，证明dy1=dy2=dy的错误。
顺便说一句：师先生所提供的【 只用小学数学法则即可，不必再用极限】的关于正反函数导数互为倒数定理的【证明】，同师先生在第三个证明后所附的复合函数导数定理的【证明】，恰恰就是我一年前的一篇文章所指出的两个错误的证明。这是混淆不同微分的经典错误。供师先生参考。
Zmn-0026薛问天: 两个错误的证明 2019-4-25。。
更正: 发现有两处笔误。在 (一)3中有一处把极限理论写成即弦理论，在(二)中把师先生误写成呩先生了，特此更正并致歉 。
(全文完)
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科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0200 期目录：2020-5-14 09:54
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