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Zmn-0252 薛问天：终于水落石出，得出结论: 师先生错了。
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Zmn-0252 薛问天：终于水落石出，得出结论: 师先生错了。
【编者按。下面是薛问天发来的文章。是对《Zmn-0251》师教民先生的文章评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
终于水落石出，得出结论: 师先生错了。
薛问天
终于水落石出，得出结论: 师先生错了。
我始终相信，只要大家都是理性的讨论，不会【没完没了】。终于会讨论个水落石出，得出结论。
问题已经逼到墙角了。最后归结到一个关键的焦点向题。对这个焦点问题回答的对错就决定了我们整个讨论问题答案的对错。我基本同意师先生的这个归结: 我们争论的焦点是：在复合函数 y=h (y)=f [g (y)]中，函数 h 和 f 是否是同一个函数的问题。
师教民先生说【薛问天先生认为h和 f不是同一个函数，...．我认为，h 和 f 是同一个函数．】
函数h是由函数f与函数g构成的复合函数。h是复合函数，怎么能同构成它的两个函数中的一个函数是【同一个函数】呢？当然，由于这里是正反函数，复合函数是恒等函数，所以在一种非常特殊的情况下，即f,g,h三个函数都是恒等函数时 ，才有可能h和f相等。这是非常特殊的情况。在一般情况下，h和f是不相同的，不是同一个函数。所以说，师先生认为【 h 和 f 是同一个函数】的观点是错误的。这就是我们讨论的最后结论。下面我们再作一些具体的分析。
(一)， 对【函数 h 和 f 是否是同一个函数?】的不同回答
对这个问题的回答，我一直的回答都是明确的。连师先生也说【 薛问天先生认为，h 和 f 不是同一个函数。】
可是师教民先生的回答，却有几个不同的版本。
A: 【 我的正反函数 y=f(x)(编号为 1)和 x=g(y)(编号为 2)与复合函数 y=f [g (y)]是同一个函数，它们只是表达形式或书写形式或名称不同】( 师教民先生在《0220》中用语)。
B: 【 我既不认为函数 y=f [g (y)] 同 f「是同一个函数」、也不认为函数 y=f [g (y)] 同 g「是同一个函数」．我只是认为函数 y=f [g (y)] 同由 y=f (x)和 x=g (y) 组成的以 y 为因变量、以 y 为自变量的函数「是同一个函数」．】 ( 师教民先生在《0220》中用语)。
C: 【 在薛问天先生和我这 9 轮左右的讨论中，我每用理由证明 1 次 h 和 f 是同一个函数，薛问天先生就用口号空喊 1 次 h 和 f 不是同一个函数．这样讨论下去，薛问天先生和我的讨论就没完没了了！】 ( 师教民先生在《0247》《0248》中用语)。
D: 【 薛问天先生认为，h 和 f 不是同一个函数，......我认为，h 和 f 是同一个函数．】 ( 师教民先生在《0251》中用语)。
我们就以师先生的最新回答为准。显然在【 h 和 f 不是同一个函数】和【 h 和 f 是同一个函数】的两个不同回答中，只有一个是正确的。由此回答的对错决定了我们这一轮讨论的结论。
(二)，【 复合函数的 f 】并不存在
我当然注意到，师教民先生为了为他的错误论点辩解 ， 在复合函数 y=h (y)=f [g (y)]，的后面又加了一个他自己给出的另外一种表示【 y=h (y)=f [g (y)]=f (x) [其中 x=g (y)]】，并在 h 和 f后加了这样一句注释【（请注意：f 是复合函数的 f）】。
按照他的说法，编号为1的函数y=f(x)突然变成了两个不同的函数，一个是【 复合函数的 f 】，另一个是【 被薛问天先生拆散的、与复合函数 y=f (x)和 x=g (y)不再有关的单个函数！】而且【 复合函数 y=h (y)与单个函数 f，g 确实不是同一个函数 。】但【 h 和 f（f 是复合函数的 f）是同一个函数，】（《0248》）
对于师先生的这种强词夺理的诡辩，自然无法接受。编号为1的函数y=f(x)只有一个， 【单个函数f】是它，构成复合函数的 y=f(x)仍然是它。由f和g构成一个新的函数y=h(y)=f[g(y)]，编号为1的函数f并不因此而会有任何改变。在这里，用函数符号f标记的函数只有一个，那就是y=f (x)。【 复合函数的 f 】并不存在，
(三)，h 和 f 不是同一个函数
(1)，判断是同一个函数的标准是函数的定义域及映射完全相同。
什么是函数，函数有两大要素，一是函数的定义域，一是函数的映射。所以如果两个函数的定义域相同，映射也相同，才能称得上是「同一个函数」，否则只要有一个要素不相同，即定义域或映射不同，则不能称为是同一个函数。也有人称函数有第三大要素: 值域，这也没错。不过函数的值域可由函数的定义域和映射唯一决定。
(2)，复合函数与构成它的函数不是同一函数
按照复合函数的定义:
明显看出复合函数y= f [g (x)]与构成它的函数f不是同一函数。在这个定义中，函数f只有一个。不存在与复合函数是同一函数的【复合函数的 f 】。要知道【单个函数f】同构成复合函数的成员之一的函数f是同一个函数。并没有一个什么同【单个函数f】不同的 【 复合函数的 f 】，这是师先生凭空揑造的一个伪函数。请问师先生，你这个 【 复合函数的 f 】的定义域和映射又是什么？既然与f不同又为何还称其为函数f?师先生你能自圆其说地说清这些问题吗？
师先生在文中说【 h (y)的函数关系 h 和函数 f [g (y)]=f (x)[ x=g (y)]的函数关系 f 表达的含义相同，它们的因变量和自变量也分别相同，所以它们是同一个函数，
我们知道，函数h的自变量是y，定义域是(y≥0)，映射是 f [g (y)]。而函数f的自变量是x，定义域是(x≥0)，映射是f(x)。这两个函数怎么可能是【 表达的含义相同，它们的因变量和自变量也分别相同，所以它们是同一个函数】呢?这不是在有意歪曲事实吗?
(3)，用例子说话
实例最能揭穿错误。就用师先生举的实例，y=f(x)=x^2，(x≥0)，是平方函数。x=g(y)=√y，(y≥0)，是开方函数。复合函数y=h(y)=f[g(y)]=(√y)^2=y，(y≥0)，是恒等函数。显然在这里函数f是平方函数只有一个 ， 【单个函数f】和构成复合函数的成员之一的函数f都是这个平方函数 y=f(x)=x^2，(x≥0)。请问师先生的【 复合函数的 f 】是什么函数?你说它与h是同一个函数，莫非这个 【 复合函数的 f 】变成了恒等函数不成 。那怎么还能称其为f呢? 可见师先生的论据何等荒谬。
(四)，不同函数有不同的自变量微分
按照微分的定义， 不同函数有不同的自变量微分。要知道函数y=f(x)的因变量的微分dy①，与复合函数y=h(y) 的因变量的微分dy③一般是不相等的不同微分。这很容易证明。因为按定义，dy①=f'(x)Δx，而 复合函数y=h(y) 的因变量的微分dy③=h'(y)Δy=f'(x)g'(y)Δy。其中 g'(y)Δy只是Δx的线性主部，一般不等于Δx。所以dy①与 dy③一般是不相等的不同微分。把复合函数h的因变量微分说成是dy①是错误的。
这从师先生的实例y=x^2, x=√y中也可容易看出，由于 y=x^2，则dy①=2xΔx。由于x=√y，则dx②=(1/2x)dy②，另外知dy③=(2x) (1/2x)dy②=1dy②。由于 dx②=(1/2x)dy②只是Δx的线性主部，一般并不等于Δx，所以dy③一般并不等于dy①。 复合函数h的因变量微分是dy③ =1dy② 并不是dy①= 2xΔx。这个实例也验证了，把复合函数h的因变量微分说成是dy①是错误的。
(全文完)
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