《数学啄木鸟专栏》分享 http://blog.sciencenet.cn/u/wenqinghui 对错误的数学论点发表评论

博文

Zmn-0252 薛问天:终于水落石出,得出结论: 师先生错了。

已有 518 次阅读 2020-6-30 20:43 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0252 薛问天:终于水落石出,得出结论: 师先生错了。
【编者按。下面是薛问天发来的文章。是对《Zmn-0251》师教民先生的文章评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

终于水落石出,得出结论: 师先生错了。
薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-c.jpg终于水落石出,得出结论: 师先生错了。

我始终相信,只要大家都是理性的讨论,不会【没完没了】。终于会讨论个水落石出,得出结论。

问题已经逼到墙角了。最后归结到一个关键的焦点向题。对这个焦点问题回答的对错就决定了我们整个讨论问题答案的对错。我基本同意师先生的这个归结: 我们争论的焦点是:在复合函数 y=h (y)=f [g (y)]中,函数 h 和 f 是否是同一个函数的问题。
师教民先生说【薛问天先生认为h和 f不是同一个函数,....我认为,h 和 f 是同一个函数.】

函数h是由函数f与函数g构成的复合函数。h是复合函数,怎么能同构成它的两个函数中的一个函数是【同一个函数】呢?当然,由于这里是正反函数,复合函数是恒等函数,所以在一种非常特殊的情况下,即f,g,h三个函数都是恒等函数时 ,才有可能h和f相等。这是非常特殊的情况。在一般情况下,h和f是不相同的,不是同一个函数。所以说,师先生认为【 h 和 f 是同一个函数】的观点是错误的。这就是我们讨论的最后结论。下面我们再作一些具体的分析。

 

(一), 对【函数 h 和 f 是否是同一个函数?】的不同回答

对这个问题的回答,我一直的回答都是明确的。连师先生也说【 薛问天先生认为,h 和 f 不是同一个函数。】

可是师教民先生的回答,却有几个不同的版本。

A:  【 我的正反函数 y=f(x)(编号为 1)和 x=g(y)(编号为 2)与复合函数 y=f [g (y)]是同一个函数,它们只是表达形式或书写形式或名称不同】( 师教民先生在《0220》中用语)。

B: 【 我既不认为函数 y=f [g (y)] 同 f「是同一个函数」、也不认为函数 y=f [g (y)] 同 g「是同一个函数」.我只是认为函数 y=f [g (y)] 同由 y=f (x)和 x=g (y) 组成的以 y 为因变量、以 y 为自变量的函数「是同一个函数」.】 ( 师教民先生在《0220》中用语)。

C: 【 在薛问天先生和我这 9 轮左右的讨论中,我每用理由证明 1 次 h 和 f 是同一个函数,薛问天先生就用口号空喊 1 次 h 和 f 不是同一个函数.这样讨论下去,薛问天先生和我的讨论就没完没了了!】 ( 师教民先生在《0247》《0248》中用语)。

D: 【 薛问天先生认为,h 和 f 不是同一个函数,......我认为,h 和 f 是同一个函数.】 ( 师教民先生在《0251》中用语)。

我们就以师先生的最新回答为准。显然在【 h 和 f 不是同一个函数】和【 h 和 f 是同一个函数】的两个不同回答中,只有一个是正确的。由此回答的对错决定了我们这一轮讨论的结论。

 

(二),【 复合函数的 f 】并不存在

我当然注意到,师教民先生为了为他的错误论点辩解 , 在复合函数 y=h (y)=f [g (y)],的后面又加了一个他自己给出的另外一种表示【 y=h (y)=f [g (y)]=f (x) [其中 x=g (y)]】,并在 h 和 f后加了这样一句注释【(请注意:f 是复合函数的 f)】。

按照他的说法,编号为1的函数y=f(x)突然变成了两个不同的函数,一个是【 复合函数的 f 】,另一个是【 被薛问天先生拆散的、与复合函数 y=f (x)和 x=g (y)不再有关的单个函数!】而且【 复合函数 y=h (y)与单个函数 f,g 确实不是同一个函数 。】但【 h 和 f(f 是复合函数的 f)是同一个函数,】(《0248》)

对于师先生的这种强词夺理的诡辩,自然无法接受。编号为1的函数y=f(x)只有一个, 【单个函数f】是它,构成复合函数的 y=f(x)仍然是它。由f和g构成一个新的函数y=h(y)=f[g(y)],编号为1的函数f并不因此而会有任何改变。在这里,用函数符号f标记的函数只有一个,那就是y=f (x)。【 复合函数的 f 】并不存在,

 

(三),h 和 f 不是同一个函数

(1),判断是同一个函数的标准是函数的定义域及映射完全相同。

什么是函数,函数有两大要素,一是函数的定义域,一是函数的映射。所以如果两个函数的定义域相同,映射也相同,才能称得上是「同一个函数」,否则只要有一个要素不相同,即定义域或映射不同,则不能称为是同一个函数。也有人称函数有第三大要素: 值域,这也没错。不过函数的值域可由函数的定义域和映射唯一决定。

 (2),复合函数与构成它的函数不是同一函数

按照复合函数的定义: 

复合函数.jpg

明显看出复合函数y= f [g (x)]与构成它的函数f不是同一函数。在这个定义中,函数f只有一个。不存在与复合函数是同一函数的【复合函数的 f 】。要知道【单个函数f】同构成复合函数的成员之一的函数f是同一个函数。并没有一个什么同【单个函数f】不同的 【 复合函数的 f 】,这是师先生凭空揑造的一个伪函数。请问师先生,你这个 【 复合函数的 f 】的定义域和映射又是什么?既然与f不同又为何还称其为函数f?师先生你能自圆其说地说清这些问题吗?

师先生在文中说【 h (y)的函数关系 h 和函数 f [g (y)]=f (x)[ x=g (y)]的函数关系 f 表达的含义相同,它们的因变量和自变量也分别相同,所以它们是同一个函数,

我们知道,函数h的自变量是y,定义域是(y≥0),映射是 f [g (y)]。而函数f的自变量是x,定义域是(x≥0),映射是f(x)。这两个函数怎么可能是【 表达的含义相同,它们的因变量和自变量也分别相同,所以它们是同一个函数】呢?这不是在有意歪曲事实吗?

(3),用例子说话

实例最能揭穿错误。就用师先生举的实例,y=f(x)=x^2,(x≥0),是平方函数。x=g(y)=√y,(y≥0),是开方函数。复合函数y=h(y)=f[g(y)]=(√y)^2=y,(y≥0),是恒等函数。显然在这里函数f是平方函数只有一个 , 【单个函数f】和构成复合函数的成员之一的函数f都是这个平方函数 y=f(x)=x^2,(x≥0)。请问师先生的【 复合函数的 f 】是什么函数?你说它与h是同一个函数,莫非这个 【 复合函数的 f 】变成了恒等函数不成 。那怎么还能称其为f呢? 可见师先生的论据何等荒谬。

 

(四),不同函数有不同的自变量微分

按照微分的定义, 不同函数有不同的自变量微分。要知道函数y=f(x)的因变量的微分dy①,与复合函数y=h(y) 的因变量的微分dy③一般是不相等的不同微分。这很容易证明。因为按定义,dy①=f'(x)Δx,而 复合函数y=h(y) 的因变量的微分dy③=h'(y)Δy=f'(x)g'(y)Δy。其中 g'(y)Δy只是Δx的线性主部,一般不等于Δx。所以dy①与 dy③一般是不相等的不同微分。把复合函数h的因变量微分说成是dy①是错误的。

这从师先生的实例y=x^2, x=√y中也可容易看出,由于 y=x^2,则dy①=2xΔx。由于x=√y,则dx②=(1/2x)dy②,另外知dy③=(2x) (1/2x)dy②=1dy②。由于 dx②=(1/2x)dy②只是Δx的线性主部,一般并不等于Δx,所以dy③一般并不等于dy①。 复合函数h的因变量微分是dy③ =1dy② 并不是dy①= 2xΔx。这个实例也验证了,把复合函数h的因变量微分说成是dy①是错误的。

 (全文完)



返转到:

   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录





http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1240105.html

上一篇:Zmn-0251 师教民:关于讨论复合函数的总结
下一篇:Zmn-0253 新 华:一个有趣的问题

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2020-10-25 19:39

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部