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Zmn-0263 杨六省:答“Zmn-0255”

已有 637 次阅读 2020-7-11 08:42 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0263 杨六省:答“Zmn-0255”

【编者按。下面是杨六省先生发来的文章。回答《Zmn-0255》新华先生的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

答“Zmn-0255

杨六省

    按照“Zmn——0255”中的行文顺序,简答如下:

    我并不认为, M.克莱因的话——√2与1不能公度的证明毕达哥拉斯学派给出的。……这个证明当然和现今对√2为无理数的证明相同”,可以推知“2000多年前就有了有理数和无理数的定义”。事实上,当时人们只知道整数和整数之比,其他全然不知,包括“有理数”这个名称。试问,如果当时人们已有了有理数和无理数的定义,何以会发生第一次数学危机?不管是“√2不是有理数”,还是 “√2是无理数”,都是现今的说法,包括√2这个符号也是后来才有的。人们之所以采用现今的表述形式,仅仅是为了方便而已。试想,如果我们今天仍采用“等腰直角三角形斜边与一条直角边之比,不可表为两整数之比”的说法,多不方便呀!数学史岂会“穿越”?毕达哥拉斯学派如何能够来到现今,然后返回,再把“等腰直角三角形斜边与一条直角边之比,不可表为两整数之比”置换为√2是无理数”?于是,2000多年前的毕达哥拉斯学派便知道了√2这个符号,知道了有理数和无理数的概念和定义?这种联想恐怕也太夸张了吧!应该知道,这里不讨论科幻!事实上,M.克莱因的话也只是想表明,现今关于“等腰直角三角形斜边与一条直角边之比,不可表为两整数之比的证法与毕达哥拉斯学派的证法相同,仅此而已,我也正是在这种意义上引用了M.克莱因的话。

    “把√2不是有理数的矛盾命题表成了√2=α:β(α,β互素)”,有错吗?

    关于这个问题,我在《悖论是什么——70个悖论的消解》一书第28-29页已有交代,内容如下:

也许有人会说,对于√2=αβ而言,既然假设了α和β全是整数,那么,把假设条款写成“αβ互素”,似乎并没有什么错。是的,是谈不上什么错,因为它并不必然导致错误,但是,这样做没有必要。不管我们的目的是要确认√2 是不是有理数,还是要证明√2不是有理数,把αβ写成最简分数的形式,并不是讨论问题的必要条件(笔者注:Zmn——0255说,“假设√2是有理数,必须表成√2=α:β(α,β互素)”);尤其是,如果真实的情况是α和β并非全是整数,那么,写入αβ互素”这样的假设条款,不仅用不上,还容易造成误导,而一旦用上它,你的推理必然发生错误。

    “有理数与无理数之间的矛盾是绝对的,……它们没有矛盾。”

    对于√2=α:β(β为整数)而言,如果α是整数,√2就是有理数,否则,√2就是无理数,如此单纯的非此即彼(排中律:√2或者是有理数,或者不是有理数,即它是无理数)问题,与辩证法何干?

    “对于√2=α:β,其中的α和β不可能全是整数”而言,仅仅“α和β不可能全是整数”不能确定α:β不能化成两个整数之比,不能表明α:β就是无理数。

    √2是无理数”不成立?

    “对于√2=α:β,其中的α和β不可能全是整数”作为结论,α不可能是偶数,α不可能是奇数,不能作为√2是无理数判断标准。

    证明一开始,我就先行地假设了β是整数。

    “证明的最后结果没有表明√2是什么数”。

    你非让我说“√2是无理数”吗?你的意思是,因为无理数是指无限不循环小数,所以,我得算!但是,我只能把2的平方根算到有限位,于是,你会说——“瞧,你没有证明,事实上,你也不可能证明√2是无理数,因为世上没有长生药,你不可能永久地活下去,不可能永久地计算下去!”——是这个意思吗?但是,相信你看过下文中的之后,就会清醒过来:我连一步也不算,就能表明√2是无理数。

    α和β不可能全是整数的比式有无穷多种,必须要全部排除不是符合√2=α:β的,这是不可能的。”

    请问,人们在假设α和β是整数的时候,说过它们只能代表某些特殊的数没有?如果没有,怎么能不算“全部排除”?

    “现在的无理数定义也无法判断√2是无理数”。

    可以证明,凡整数之比均可以化为有限小数或无限循环小数,反之也成立(注:此乃小学数学教师务必掌握的基础知识)。于是,应用反证法可证——“一个数不能表成两个整数之比”与“该数是无限不循环小数”是等价的。这就是说,如果我能证明√2不可表为两整数之比”,就是证明了√2是无理数。

    结束语:我觉得只有第条的质疑在理(注:此处的“在理”是指,有一定的道理,即合理性,但这并不表示这种质疑就一定是正确的),其余观点不敢恭维!尤其是下面的3条,更是令笔者震惊!

    i)“仅仅‘α和β不可能全是整数’不能确定α:β不能化成两个整数之比,不能表明α:β就是无理数”。

    ii)“证明的最后结果没有表明√2是什么数”(注:这里是就现今而言,而不是指毕达哥拉斯学派的时代,因为那时根本就没有“有理数”和“无理数”的概念)。

    iii)“现在的无理数定义也无法判断√2是无理数”。(笔者注:这种“抱怨”合理吗?定义一定要提供(包含)具体的判断方法吗?

    上述第(i)条,不承认√2是无理数”!笔者给出的解释是:对于√2=α:β,我们可以证明,其中的α和β不可能全是整数(注:参见笔者的证明),但上述第(i)条说——“仅仅‘α和β不可能全是整数’不能确定α:β不能化成两个整数之比,不能表明α:β就是无理数”,其意思是,尽管α和β不可能全是整数,但α:β有可能化成两个整数之比,因此,α:β有可能是有理数。笔者的质疑是:如果α和β不可能全是整数,但α:β有可能化成两个整数之比,也就是√2有可能化成两个整数之比,不妨令√2=m:n(m,n均为整数),再令α=m和β=n,这岂不与α和β不可能全是整数矛盾?因此,第(i)条是荒谬之论!

    笔者之所以震惊,不是说我们不可以质疑数学史上的已有定论,而是说,如果我们的思考疏于严谨,甚至逻辑是混乱的,又不明白给概念下定义的目的是揭示(或说规定)我们研究的对象“是什么”,就必然会陷于矛盾和荒谬!例如,无理数是指无限不循环小数,因此,我们说“√2是无理数”,是指我们“可以证明√2是无限不循环小数”(理由参见),而不是指我们“能够具体的写出这个无限不循环小数”,如果我们将二者混为一谈,岂不贻笑大方,多尴尬呀!人不可能不犯错,但要尽量少犯错,尤其要少犯或不犯基本概念方面的逻辑错误,然而上述3条,正是这类错误,这是最难以被原谅的一类错误。

    声明:(1)以后遇到对拙文的批评或质疑,如果拙文中已有释疑内容的,例如,关于“毕达哥拉斯学派的证明是符合反证法的要求,证明的结果没有问题”、“毕达哥拉斯学派关于‘α是偶数的推理是一点错误也没有的”,等等,我将不予作答。(2)与笔者的观点——毕达哥拉斯学派及后世关于“等腰直角三角形斜边与一条直角边之比,不可表为两整数之比”的证明是无效的——无关的内容,不管对与错,一概不予作答(注:为了专注于自己的思考对象,不应该被别人带节奏,即随之起舞,不能因为别人谈论什么,我就去回复什么),请见谅!(注:基于以上两条声明,以后遇到类似于本帖中的——的内容,不予作答)

(以上答复早已拟好,但文字表述尚需推敲,因有其他事,故拖至现在才递发)

 



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