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Zmn-0264 薛问天:师教民先生的混淆概念澄清表-评《0262》

已有 658 次阅读 2020-7-12 21:28 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0264 薛问天:师教民先生的混淆概念澄清表-评《0262》

【编者按。下面是薛问天发来的文章。是对《Zmn-0262》师教民先生的文章评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

师教民先生的混淆概念澄清表

-评《0262》


薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-c.jpg师教民先生的错误就在于混淆了概念,因而问题是很好解决的。因为只有在水搅混了的时候,才可能有人混水摸魚。一旦把概念澄清了,师教民先生的错误就会自动浮出水面,水落石出,大白于天下,让大家看个明明白白,弄个清清楚楚

 

师先生的错误是混淆了复合函数h的因变量微分dy③与函数f的因变量微分dy①的区别。它的根源就是混淆了复合函数h与函数f的不同。 师教民先生为了为他的【 h 和 f 是同一个函数】 的错误论点辩解 , 伪造了一个函数称为 【复合函数的 f 】。这个【函数f】师先生就说不清它是什么 。陷入两难。

 

(一),师教民先生的混淆概念澄清表

师先生说:【 我早在我的论文 Zmn-0247,0248,0251,0256,0258 等篇中就分别说清了我的〖复合函数的 f 〗是 y=f (x)[其中 x=g (y)],是复合函数 y=f (x),x=g (y)中的 y=f (x)的另一种表达形式或书写方法,】

要说清函数,就要指明函数的二大要素:定义域和映射。也就是说,要说明和回答: 你的 【复合函数的f】的定义域和映射究竟是什么?定义域好说,估且认为它可以是大于或等于0的实数(≥0)。那么映射呢? 【复合函数的f】的映射仅仅是f的映射,还是f和g的复合映射?在师先生所有各篇文章中,都未曾(实际上是未敢)正面回答这个问题。我下面再次列出一张表来,请师先生填写。我敢保证只要把这张表填完。师先生的锴误具体究竟在哪里就会自动显现出来。

实际上只须回答三项内容。

(1)A22:【复合函数的f】的映射是什么,仅仅是f的映射,还是f和g的复合映射f·g?

(2)A32:【复合函数的f】的因变量的微分是什么,是dy③=f'(x)g'(y)Δy ,还是 dy①=f'(x)Δx?

(3)A42:【复合函数的f】的导数是什么,是h'(y)= f'(x)g'(y)=1,还是 f'(x)= 2x?

师教民先生的混淆概念澄清表

函数

A11

复合函数h

y=h(y)=f[g(y)]

=f(x)[x=g(y)] 

A12

复合函数的f,

f(x)[x=g(y)]中的f(x),

另一个f,简称为f函数

A13

函数f,

y=f(x)

映射

A21

f和g的复合映射

f·g=f[g(y)]

A22

A23

映射f: y=f(x),

例如y=x2

微分

A31

复合函数h的因变量微分:

dy③=h'(y) dy②

=f'(x)g'(y)Δy

A32

A33

函数f的因变量微分:

dy①=f'(x)dx①

= f'(x)Δx

导数

A41

复合函数h的导数

dy③/dy②=h'(y)

=f '(x)g'(y)=1

A42

A43

函数f的导数

dy①/dx①=f'(x)

f'(x)= 2x

 

具体回答这些问题是躲不开的。只有映射相同才能是同一个函数。映射不同能是同一个函数吗?另一方面相同的函数必然有相同的微分和导数。如果两个函数的微分和导数不相同,能是同一个函数吗?

所以说回答这些问题不是【废话】,是关键,是【焦点】,是躲不开的必须回答的问题。

(二),不应篡改dy①的内容

至于说到我写出的复合函数的微分 dy③ =h'(y)Δy =f'(x)g'(y)Δy,我己经在《0257》中说得非常清楚, 我是根据复合函数导数定理(我还展示了定理3的原文)得出h'(y)=f'(x)g'(y)的,怎么能是根据你这个表示y=f (x) [x=g (y)]就得出结论呢?要知道仅从你这种对复合函数的标记,是得不出任何结论的。这完全是师先生的主观臆想。

值得注意的是师先生说的这句话:【 薛问天先生名义上 求的是他的复合函数 y=h (y)(简称为 h 函数)的微分 dy③,实 际上求的是我的复合函数 y=f (x) [x=g (y)](简称为 f 函数)的 微分 dy①.】

我惊奇地发现,师先生竟然说【 薛问天先生的「dy③=h'(y)Δy=f'(x)g'(y)Δy」和我的 dy①=f'(x)g'(y)Δy就相等了,】

我很奇怪,dy①一直表示的是函数y=f(x)因变量的微分dy①=f'(x)Δx,怎么忽然变成了【 dy①=f'(x)g'(y)Δy】呢?

原来师先生想偷偷篡改 dy①的内容。这可要正告师先生了。你可以改正你的错误,但是不允许私自篡改 dy①的原来定义。我查了一下, dy①= f'(x)Δx是我在近两年前首先定义的,而且得到你师教民先生的文章的认可。一直沿用至今,未曾做过修改。这一切都是有档可查的。我摘录几段档案,请师先生过目。

档案1: zmn-012 薛问天:解开微分迷团 2018-7-7 16:14

6)微分定义的三大要素。

从微分的定义可知,微分dy,dx这个概念,不仅同变量y、x等有关,而且还同函数有关,同变量在函数中的作用和地位有关。必须从概念上弄清它包含的三大要素。

第一个要素。首先要分辨该微分是【函数(因变量)的微分】还是函数【自变量的微分】。
如果是【函数(因变量)的微分】,那么还要考虑下面两个要素。

第二个要素。是哪个函数(是f,g还是h等其它函数)的微分。

第三个要素。是在哪个点的微分。

要知道这三大要素只要有一个要素不同,所定义的微分变量就是不同的变量。对于自变量的微分可以不考虑第二和第三要素,因为任何函数在任何点的自变量微分都等于自变量的增量,都一样。但是对于函数的微分dy来说,不同的函数定义不同的微分变量,既使函数相同在不同的点定义的微分变量也是不同的。

例如,假设有y=f(x),x=g(t),复合函数y=h(t)=f(g(t))。

令函数y=f(x)在x0点的微分dy=Adx,,,,,,①,

函数x=g(t)在t0点的微分dx=Bdt,,,,,,②,

而y=h(t)在t0点的微分dy=Cdt,,,,,③。

显然①式中的dx同②式中的dx是不同的微分变量(第一要素不同)。即①中的dx 是函数y=f(x)的【自变量的微分】,②中的dx是【函数x=g(t)在t0点的微分】,这两个dx是不相等的。

这里需要特别注意的是,对于增量系统而言,当x作为自变量时的Δx同当x作为函数x=g(t)时的增量Δx是相等的,一致的。但是对于微分系统而言,dx是自变量微分同dx是函数x=g(t)的微分是两个不同的微分变量,前者等于Δx,而后者只是它的一部分(线性主部),并不等于Δx,是不一致的。

同时,还应看到①式中的dy同③式中的dy也是不同的微分变量(第二要素不同)。前者是函数y=f(x)在x0点的微分,后者是函数y=h(t)在t0点的微分。可以具体证明它们是数值上并不相等的微分变量。有些人往往忽视了这点不同,而隐含了不应有的混乱。

档案2: Zmn-0029-1薛问天: 争论的目的是求得共识。评...... 2019-5-15 19:49

在师教民先生的答文(指zmn-0028)中我惊喜地发现有这样一段话:

【我对薛问天先生的结论1)中的公式(A)(B)(D)的正确性没有异意。】

没有「异意」,那就是「同意」了,达到了共识。我们来看这些公式是什么。我的原文是这样写的。

〖 设有可导的函数y=f(x),x=g(y),f和g互为反函数,即y=f(g(y))。我们知道:

dy=Adx,A=f’(x)=dy/dx......①

dx=Bdy,B=g’(y)=dx/dy......②  〗

〖 为了叙述方便,我们把①同②中的dx、dy分别记作为dx①,dx②,dy①和dy②。

由于f和g互为反函数,导数互为倒数: f‘(x)=1/g’(x)。所以有

(dy①/dx①)=1/(dx②/dy②)......(A)

再根据倒数的性质有

(dy①/dx①)=1/(dx①/dy①)......(B)

师先生由(A)和(B)就直接得出结论:

dx①=dx②,dy①=dy②......(C)

从(A)和(B)能得出结论(C)来吗?显然不能。由(A)(B)证明不了(C),而只能证明:

(dx②/dy②)=(dx①/dy①)......(D)  〗

档案3, Zmn-0036-1 师教民: 答《评师教民先生在zmn--0028的回答》(上)2019-6-8 17:59

ABCD-1.jpg

 

我之所以在这里列举这些材料,是为了说明dy①等这些标注,在近两年前就开始使用了。而且师教民先生也是认可的,一直沿用至今。概念明确,dy①一直代表的是函数y=f(x)的因变量的微分,dy①=f'(x)dx①=f'(x)Δx。这些定义不容师先生任意篡改。

(三),混淆了一般函数和线性函数微分的特性。这是师先生的又一个认知错误。

师先生在文章中提出了一个【 用极限理论的导数定义推导出来的微分和用极限理论的微分定义定义的微分存在矛盾】的一个【证明】。这段推理充分暴露了师先生对微分概念认知的一个缺陷。那就是师先生竟然不了解,「一般函数的微分dy不等于函数的增量Δy(dy是Δy的线性主部),但是线性函数的微分则等于函数增量(线性函数的切线就是所论函数本身,因而dy作为切线的增量就等于函数的增量Δy)。

也就是说对于一般函数来说微分不等于增量, dy=Δy-o(Δy)≠Δy,如y=f(x)=x2,dy①=f'(x)Δx≠Δy,如果你又证明了 dy①=dy②=Δy,当然这里出现了矛盾。

但是,对于线性函数却有它的因变量微分等于增量,即dy=Δy成立,如y=h(y)=y,是恒等函数(自然更是线性函数),有dy③=h'(y)Δy=Δy,所以当你证明了 dy③=dy②=Δy时,自然不会出现任何予盾。因而师先生的推断并不成立。

另外,由于正反函数中,变量x和变量y是对偶对称的,地位相同,位置可以交换。因而 关于用变量x作为中间变量的复合函数 y=h (y),同关于用变量y作为中间变量复合函数 x=k (x)的情况是完全对称,所遇到的问题完全一样。这边是正确的推理,那边也可正确推理 。这边错的那边也会错。其实没有必要重复论证。

 

最后,为了澄清概念,我把同济大学《高等数学》书中关于「映射」「函数」和「判断函数相同的要素」的有关章节和段落罗列如后。供网友们和师先生澄清概念时参考。

请师先生先把【复合函数的f】的映射,微分和导数的概念澄清 ,以及把篡改dy①內容的问题解释清楚。

映射.jpg


复合映射01.jpg


function-1.jpg


复合函数.jpg


函数二要素.jpg

 

                (全文完)


返转到:

   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录







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