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Zmn-0269 薛问天：这些关于「√2是无理数」的证明，都有效。-评杨六省先生的《0239》
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Zmn-0269 薛问天：这些关于「√2是无理数」的证明，都有效。-评杨六省先生的《0239》
【编者按。下面是薛问天发来的文章。是对《Zmn-0239》杨六省先生的文章评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
这些关于「√2是无理数」的证明，都有效。
-评杨六省先生的《0239》
薛问天
关于√2是无理数的传统证明以及杨六省先生提出的证明等都是有效的。因为他们依据的都是数论中关于正整数的基本属性。而且正确地应用了反证法，推论严谨，证明的有效性毋庸置疑。
(一)，正整数的基本定理
在数论中有一个有名的素因子分解定理。说任何正整数m都可以唯一分解为有穷个素数乘冪的乘积。即m=p1k1p2k2...pnkn。其中n，ki是正整数，pi是素数(质数)，而且在不论因子的次序下，这种分解的表达式是唯一确定的。由此定理不难严格推出如下推论。
【推论1】任何正整数m，如果素数pi是m的因子，则m的因子中至多只含有pi的有穷次(ki次)乘冪，即ki是唯一确定的正整数。也就是说，能以某素数的无穷次乘幂作因子的正整数是不存在的。
【推论2】对任何两个正整数的商α/β，都存在确定的正整数a,b(互素)，使α/β=a/b成立。同时，互素的a,b也是使 α/β=a/b成立的最小正整数。
此二推论易证，证明从略。
另外在整数的数域内，任何整数α不是偶数就是奇数，反之亦然。排中律可以正常合法使用，没有任何问题。
(二)，传统证明(称为证明A)。
命题：不存在正整数 α和β，使√2=α/β成立。即√2是无理数。
证明：用反证法。
反证法假定: 存在正整数 α和β，使√2=α/β成立。下面在此假定下推出矛盾来。
根据推论2，存在互素正整数a,b，使√2=α/β=a/b。因而有a2=2b2，从而知a是偶数(如杲a是奇数，a2也是奇数不可能是偶数)。则存在正整数c使a=2c。代入上式得b2=2c2。从而知b也是偶数。「a和b全是偶数有公因子2，同a和b互素相矛盾。」(矛盾A1)
由矛看A1得知反证法假定不成立，从而命题得证。
(三)，基于杨六省先生的证明，稍作修正，（称为证明B）。
命题：不存在正整数 α和β，使√2=α/β成立。即√2是无理数。
证明：用反证法。
反证法假定: 存在正整数 α和β，使√2=α/β成立。下面在此假定下推出矛盾来。
知√2=α/β。因而有α2=2β2，从而知α是偶数。则存在正整数γ使α=2γ。代入上式得β2=2γ2。从而知β是偶数。 则存在正整数δ使β=2δ。代入上式得γ2=2δ2。从而知γ是偶数。......余此类推知:
α=2γ，γ=2......
β=2δ，δ=2......。
即α和β这两个正整数，皆含有2的无穷多个乘幂作因子，同推论1 「不存在正整数，它能以某素数的无穷次乘幂作因子」的论断相矛盾。即「整数α含有无穷多个2的乘幂作因子，同整数α不能含有无穷多个2的乘幂作因子相矛盾」(矛盾B1)。由矛盾B1得知反证法假定不成立，从而命题得证。
(四)，扬六省先生对传统证明的质疑并不咸立
杨先生对在假定α,β都是整数的条件下的推断【 由于α不是奇数，于是人们推出α是偶数。】提出了质疑。
(1)，他质疑的理由①是【 既然“α是整数”只是一个假设，所以，此假设以及由它所推出的“α是偶数”这一结论就都是可质疑的，】
他的这个质疑是不成立的。因为反证法的证明的思路就是「在反证法的假定下，推出矛盾。」並不是让你相信真正有矛盾。在反证法假定下推出的矛盾结论，当然是不成立的，自然这些【 结论就都是可质疑的】，这很正常。正因为你严格地证明了，在反证法假定下可推出不成立的矛盾结论，才推翻了反证的假定，才使所证的命题得证。在这里要请杨先生注意在逻辑上区分「A→B为真」同「B为真」之间的不同。B为假，完全可能A→B为真。不能由对B的质疑去否定A→B。在反证法的推理中要求的推理是如果α,β是整数，则α是偶数，并不要求证明α真正是偶数。实际上滿足所述公式的α,β不可能都是整数，这正是此证明要证的结论。所以说扬先生的理由①不成立。
(2)，扬先生的质疑理由②是【 “α不是奇数就是偶数”这一推理是在合法的应用排中律吗？由于所取论域不同，答案会是截然相反的。】
排中律当然同涉及的论域有关。但是杨先生要注意到我们是在反证法的假定下进行的推理。在反证法的假定中已假定α是整数，在整数的论域中， “α不是奇数就是偶数”这一推理自然是合法的排中律的应用。这里毋庸质疑。所以说杨先生的理由②也是不成立的。
(3)，杨先生还进一步叙述了他的质疑【 为什么在论证中只提α和β是偶数，而不提被蕴涵在后面的γ、δ、……同样也是偶数呢？】
【 事实上，......，可推出α、β、γ、δ、……中的每一个均含有无穷多个因数2……，但这与曾先后假设的β和α均是整数相矛盾，这表明，对于α2 =2β2（β是整数）而言，毕达哥拉斯学派关于“α是偶数”的推理是错误的。】
这一段质疑进一步说明杨先生对反证法的证明方法还缺乏正确的理解。「反证法的假定」是我们要推翻的假定，是我们要证明的命题的否定命题(顺便说一句，这里并不需要任何什么【能够得到满足的】【先行性隐含假定】，它就是 「反证法的假定」)。在这样的假定下当然会推出很多与事实不符的锴误结论和矛盾来，我们证明的思路就是要找出这些推出的错误结论来，证明它们是矛盾的错误的，这样的矛盾和错误可能很多。找出一个错误，就是一个独立的证明。所有的这些证明都是有效的证明。怎么能反过来认为指出由反证法推出的结论是锴误的，竟成了证明本身是错误的了呢！恰恰相反，每证明一个「 由反证法推出的结论是锴误的」，就得出一个定理命题的有效证明。
例如在反证法的假定下得出矛盾A1，就得出有效的证明A。 在反证法的假定下得出矛盾B1，就得出有效的证明B。
(四)在反证法的假定下，得出很多矛盾，每个矛盾都形成一个所证命题的证明，这些证明都是有效的。
例如在证明A中。在反证法假定下证明了a, b互素，又证明了a是偶数，推出b是奇数。但又证明了b是偶数，于是产生了「b是奇数又是偶数的矛盾」(矛盾A2)。同理也可产生 「a是奇数又是偶数的矛盾」(矛盾A3)。这些不同的矛盾形成不同的关于【√2不是有理数】的不同证明，也都是有效的证明。
再例如在证明 B中也可推出矛看「整数β含有无穷多个2的乘幂作因子，同整数β不能含有无穷多个2的乘幂作因子相矛盾」(矛盾B2)。另外，由于含有无穷多个2的乘幂作因子的数不是整数，所从推出的矛盾也可以表述为「α既是整数又不是整数的矛盾」(矛侑B3)和 「β既是整数又不是整数的矛盾」(矛侑B4)等。 这些不同的矛盾同样可形成不同的关于【√2不是有理数】的不同证明，也都是有效的证明。
(五)，文中若干错误论点的评论
(1)，杨先生文中有一大段的空洞议论，由于是非严格的比喻，不知所云，无法评论。
例如说【 使得有理数与无理数之间的矛盾被转换成了整数系统内部的某种矛盾，但这是荒谬的。同时，这样的后续推理也是没有意义的，】不知在说什么，有理数同无理数是实数中的两种不同的数，它们之间有什么矛盾?整数系统的理论是自恰的，有什么矛盾。。
另外把推理【分层】，说什么【 “无法通过第二层”】【却要拿“第三层是真的”说事】，以及什么【 痴情人推理不同于反证法】......等。说的头头是道，好像是在论证什么，但不知是在说什么。
(2)，至于问道【 现今的人们都知道，α和β不可能全是整数，那么，何来互素与否之说？】这个问题好回答。由于证明中反证法假定存在α,β全是整数，在此假定下当然可以讨论α,β互素与同是偶数的矛盾。
(3)，至于杨先生认为证明中【 并不是把“α为偶数”当做一个准备予以否定的假设条件来对待，相反，“α为偶数”被认为是成立的。】这是杨先生理解错了。 反证法假定: 存在正整数 α和β，使√2=α/β成立。证明否定反证法的假定，就是否定了α,β这样的整数的存在，连它的存在都否定了，怎么还会【 “α为偶数”被认为是成立的。】
(4)，杨先生说【 笔者反对把一开始的假设条件写成 “√2=α：β（α，β互素）”，但也不赞同写成“√2=α：β（α，β均为整数）”，】
这里杨先生没有把假定写全，写全应这样写， 反证法假定: 「存在正整数 α和β，使√2=α/β成立。」
另外，根据推论2，这个假定同 「存在互素的正整数 a和b，使√2=a/b成立。」以及 「存在最小的正整数 a和b，使√2=a/b成立。」是等价的(即逻辑上可以互推)。而且按照有理数的定义，这些反证法的假定都同「√2是有理数」等价。否定了这个假定，就证明了 「√2不是有理数」即 「√2是无理数」。杨先生没有理由反对这些假定作为反证法的假定。
(5)，师先生说【 由于没有明确固定α和β究竟哪一个可以是整数，因而其中的每一个似乎都可能是整数，这样，就容易把α和β都当做是整数，......。合理的做法应该是，先假设其中的一个是整数（注：这一点总是能够得到满足的），然后，再假设另一个也是整数，看是否会引发矛盾，】
作为反证法的假定，它是所证明的命题的否定，与是否【 是能够得到满足的】无关。所证命题是「不存在正整数 α和β，使√2=α/β成立。」因而反证法的假定就是「 存在正整数 α和β，使√2=α/β成立。」也就是说，在假定中同时假定α,β都是正整数。完全没有必要【 先假设其中的一个是整数，......然后，再假设另一个也是整数。】
(6)，另外，杨先生说【 若引发矛盾（再次强调：这里指的不是整数系统内部的某种矛盾，而是指“直接与‘是整数’相矛盾”的矛盾或“直接与‘是偶数’相矛盾”的矛盾），就否定后者，但前者不动。】
这里要提请杨先生注意的是，如果引发矛盾，所否定的是这个反证法的假定，即否定的是「存在正整数 α和β，使√2=α/β成立。」而不是否定矛盾的一方(后者)，而肯定矛盾的另一方(前者)。
(7)，对结束语的评论
杨先生在【结柬语】中说【 结束语：从表面看，“α，β互素”这个假设条件和“α是偶数”这个推理结论似乎成全了毕达哥拉斯学派的反证法，因为这两条将使得“α，β互素”与“α，β非互素”这一对矛盾命题“能够被推出”，但事实上，上述假设条件是不合理的，上述推理结论是错误的。】
这段话说明杨先生对反证法的实质还缺乏正确的理解。
要知道反证法的假定是所证命题的否定命题，是在证明中要被推翻的假定，【 假设条件是不合理的】这很正常，在此假定下推出矛盾的结论，所推出的结论是矛盾的，【 推理结论是错误的】这正是我们证明的目标，我们正是利用这种错误和矛盾来推翻反证法的假定，达到所证命题得证的目的。固而杨先生所说的【 上述假设条件是不合理的，上述推理结论是错误的。】很正常，并无不妥之处。
杨先生说【...对于√2 = α:β而言，如果α和β不全是整数，难道也要在论证中应用“α，β互素”这一假设条件不成？】
关于这个论点我在前面己经评论。 在反证法假定中己经假定存在α,β全是整数，在此假定下当然也存在互素的正整数a,b使√2=a/b成立。 反证法假定: 「存在正整数 α和β，使√2=α/β成立。」同「存在互素的正整数 a和b，使√2=a/b成立。」是等价的。
(全文完)
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科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0250 期目录 2020-6-28 09:19
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