Zmn-0281 黄汝广：调和级数发散性的加括号证明与康托尔无穷理论不相容

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调和级数发散性的加括号证明

与康托尔无穷理论不相容

黄汝广

关于调和级数的发散性,有个著名的加括号证明法,即

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+......=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+......

>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+......=1+1/2+1/2+......=∞

假如该证明有效的话,那么康托尔所谓阿列夫零№是最小无穷的断言就是错误的.

很显然,调和级数1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+......项的个数为阿列夫零№,而由上述加括号法得到的1/2的个数也有无穷个,我们设为№*,并且容易知道№*≤№.

下面我们证明№*≠№:假设№*=№,那么调和级数

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+......与级数1+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2......的项就可以一一对应,令

S1=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+......

S2=1+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+......

很显然,在一一对应的条件下S1<S2,但是这显然与上述加括号证明法的结果矛盾.

因此,№*≠№,又因为№*≤№,所以只能№*<№,也即№*是比阿列夫零№更小的无穷!

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