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Zmn-0321 薛问天：这是严格的逻辑推论，评黄汝广先生的《0319》

已有 1388 次阅读 2020-9-17 09:35 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0321 薛问天：这是严格的逻辑推论，评黄汝广先生的《0319》

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0319》黄汝广先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

这是严格的逻辑推论，

评黄汝广先生的《0319》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

薛问天-c.jpg 黄汝广先生说【薛先生为了达到自己的目的，可以翻手为云覆手雨，一点逻辑一致性都不讲了。】

事实并非如此，我同黄先生的讨论是步步深入的。一步一个脚印，步步都经过严谨的思考。逻辑严密，前后一致。我们可以回顾一下讨论的过程，先后的逻辑，可以说是环环紧扣，条理分明。我把它归结为《0311》三点和《0316》三点，一共是六个推论。黄先生如有质疑，可以明确指出你对这六条推论的哪个推论，有疑问。这样就可以讨论得更加具体和更有针对性。

首先要说明的是，我们的讨论都是围绕着黄汝广先生在《0308》中的【证明】进行的。

(一)，黄先生证明的【定理】。

【定理2】在区间(0,1)中挖去全部可数无穷个有理点后，剩余有可数无穷个剩余部分。

下面是他证明的原文.：

【考察区间（0，1），由于其内的有理数可数，因此可以用自然数1，2，3……一一为之编号。现在，我们把编号为1的有理数（假设是0.5）挖去，那么区间（0，1）将被分为两个部分（0，0.5）与（0.5，1），将这两个部分分别编号为0与1；接下来挖去编号为2的有理数，则前面已编号的部分必定有一个又被一分为二，使其中一个保持原编号，而将另外一个编号为2；如此等等，＇当将所有编号为自然数的有理数挖去后，所剩部分的′编号分别为0，1，2……。恰好是全部自然数，因此所剩部分的个数是可数的。】

(二)，我在《0311》中提出的三个论点。

(1)，第一个论点是，在黄先生给出的形成【可数无穷序列】的过程中，必须给出选定保留和新增编号部分的具体规定。′

在黄先生的证明中，当挖走一个有理点时，前面已编号的部分必定有一被一分为二，使其中一个保持原编号，而将另外一个为新增编号。这里没有具体规定，如何选定。例如我们可以具体规定，保留原编号的是「左边的」部分，新增编号的是「右边的」部分。当然你也可作另外的规定。但是，必须做出具体规定

(2)，第二个论点是，证明中用自然数编号的「剩余部分」，不应是当时编号时的「中途剩余部分」，而是指的这个「中途剩余部分」经过后面的无穷次挖去有理点演算时，从其中又切掉了很多新增编号的部分后，最后才是【保留编号】的那些最后剩余部分。

(3)，第三个论点是，证明中形成的「保留编号的最后剩余部分」的可数无穷序列中，确实不包括有理数。但是这个证明并没有保证，在无穷次的挖点演算后，这个「保留编号的最后剩余部分」可数无穷序列中包括的数的总和，就等于「最后剩余部分」。即没有证明所有无理数点都在此无穷序列之中。

我们甚至可以严格证明，在上述选定保留和新增编号部分的规定(即保留编号选左边，新增编号选右边)下，所有的无理数点都不包括在该形成的无穷序列之中(【定理3】)。

【定理3】.任何无理数都不在上述的「保留编号的最后部分」的可数无穷序列之中(严格证明见《0311》。)

(三)，我在《0316》中又提出的三个论点。

我又继续提出了三个推论，最后终于搞清楚了在挖掉可数无穷多个有理数点后，剩余的是不可数无穷多个无理数点。

(1)，第一个论点是，选择不同的选定保留和新增编号部分的规定，所形成的是不同的「保留编号的最后部分」的无穷序列。

例如在前面的规定(即保留编号选左边，新增编号选右边)下，所有的无理数点都不包括在该形成的无穷序列之中。但是如果针对某无理数α，这样规定。设要挖去的有理数是yn。如果α＜yn，则保留编号的是yn「左边的」部分，新增编号的是yn「右边的」部分。如果yn＜α，则保留编号的是yn「右边的」部分，新增编号的是yn「左边的」部分。可以严格证明，在这样的规定(称为「规定α」)下，在所生成的保留编号的最终剩余部分的无穷序列中，包含该无理数α。证明也很简单，按照这个规定，无理数α不在任何新增编号部分中，所以不会从保留编号部分中被切除。

黄汝广先生认为这【显然是矛盾的。】其实这一点矛盾都没有，不同的规定生成不同的序列，有的序列是空集，而有的序列只包含一个无理数。这都是严格证明的事实。

(2)，第二个论点是，原来事实上，黄先生所生成的【用自然数编号的最终剩余部分的可数无穷序列】，不仅可以生成一个可数无穷序列，而是可以同时生成多个可数无穷序列。可以针对另一个无理数点β，选定相应的「规定β」，同时生成包含无理数点β的一个可数无穷序列。

(3)，第三个论点是，穷举所有可能的规定，从而同时生成所有可能的这种最终剩余部分的可数无穷序列，包含了所有的无理数点。

所有可能的规定有多少呢？每挖一个有理数有两种选择，有理数有可数无穷个，这样排列组合下来，可知共有不可数无穷多个不同的规定(相当于可数无穷集的幂集是不可数)。也就是说有不可数无穷多个「可数无穷序列」，包括不可数无穷多个无理数。

经过以上6点论证，最后揭出了在区间(0,1)中挖去可数无穷多个有理数后，剩余不可数无穷多个无理数的真相。

黄先生说【无理数是不可数的，是不可能被编号的，如果可以被编号那就一定是可数的！】

在上述6点论证中，我们并没有要求把无理数进行编号，所进行编号的是每个【可数无穷序列】中各剩佘部分的编号。

黄先生说【在我的论证中，只是按照编号一一把有理数挖去，和无理数没有任何关系！“挖走y1时，可生成2个序列。挖走y2时生成了4个序列，...，挖走yn时共生成2ⁿ个序列，......。”这是我论证中的操作吗？我实在不明白薛先生这里是什么逻辑？我的规则只与有理数有关，只挖有理数，你现在却自己弄一套无理数规则来反驳我不是可笑吗？】

怎么能说【和无理数没有任何关系！】我们要证明的就是剩余部分是不可数个无理数嘛？

黄先生问【这是我论证中的操作吗？我实在不明白薛先生这里是什么逻辑？】

我的逻辑很清楚，你设有考虑【规定】在构成序列中的因素，从而以为只有一个【可数无穷序列】，这是不对的，挖掉全部有理数后，剩余部分不是只有一个【可数无穷序列】，由于【规则】选定的不同，生成的剩余部分【可数无穷序列】就不同。【规则】在你的【操作】中确实没有，从【逻辑】上讲，你认为应该还是不应该考虑【规则】的选定？因为要证明有些【可数无穷序列】中包括无理数，自然这种【规则】就同无理数有关！我不明白这有什么【好笑】？

黄先生说【薛先生反驳我，则完全不顾我的基础前提，而是按照他所要维护的观点，重新制造完全不同的规则！】

看来黄先生还没有认识到，选择左右部分作为保留编号和新增编号部分的「规定」，在形成【可数无穷序列】过程中的重要性。这个「规定」不是我按照我的意愿随意【重新创造】的。而是你在构造【可数无穷序列】过程必不可少的，不可余缺的重要组成部分。没有具体的「规定」，你的【可数无穷序列】的构造过程实际上是无法完成的。这是你考虑不周，思维逻辑不够慎密，不慎疏忽的地方。黄先生对此要有足够的正确的认识。

黄先生说【薛先生一再说不能由有限推无限，......这算由有限推无限么？】

在这里黄先生可能误解了我这句话的原意。我们所说的「不能由有限推无限」并不是否认无穷集的存在，也不是否认有些规律是有穷集和无穷集所共有的，而是反对有些人以为凡有穷集满足的规律，无穷集也无条件地一律满足。实际上在有穷集与无穷集之间，有很多不同的属性。这一切都要具体问题具体分析，不能一概而论。我在这里所有的论断都是有根有据，经过严格论证的，不存在【严于律人而宽于待己】和【双重标准】的问题。

(全文完)

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