Zmn-0316 薛问天：是怎么剩下不可数个无理点的，评黄汝广先生的《0314》

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0314》黄汝广先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

是怎么剩下不可数个无理点的，

评黄汝广先生的《0314》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

我在《0311》中指出，如果对黄汝广先生提出的，在挖去全部可数个有理点的过程中，对生成【剩余部分序列】的算法，具体规定，保留编号的是yn「左边的」部分，新增编号的是yn「右边的」部分。可以严格证明下述定理。

【定理3】任何无理数都不在上述的可数无穷个保留编号的最后部分序列之中。 

自然会产生黄汝广先生在《0314》中提出的问题【所剩的无理数到哪里去了？】

原来，玄机就在这个生成【剩余部分序列】的算法中的保留编号的部分和新增编号部分的具体规定上。下面细听我慢慢道来。

 (1)，这样规定，可以使在所生成的保留编号的最终剩余部分序列中，包含一个无理数。

假定有一个无理数α，我们这样规定。设要挖去的有理数是yn。如果α＜yn，则保留编号的是yn「左边的」部分，新增编号的是yn「右边的」部分。如果yn＜α，则保留编号的是yn「右边的」部分，新增编号的是yn「左边的」部分。也就是说无理数α始终是不在新增编号的部分之中，从而留在保留编号的剩余部分之内。可以证明在这样的规定之下(我们称这样的规定为「规定α」)，无理数α就包含在所生成的保留编号的最后部分序列之中。.这是因为α不在新增编号的剩余部分之中，所以永远不会从剩余部分中切除 。

 (2)，同时生成两个保留编号的最终剩余部分序列，就可剩余两个无理数。

上面己经证明，如果在挖去可数无穷多个有理数的过程中，按照规定α，生成的保留编号的最终剩余部分序列中，包含有无理数α。其实我们完全沒有必要自己限制自己的手脚，只生成一个剩余部分序列。假定另有一个无理数β，我们可以按照规定β，同时再生成另一个剩余部分序列。这样我们就有了两个保留序号的剩余部分序列，其中包含了两个无理数。

道德经中说「道生一，一生二，二生三，三生万物」。既然能有两个序列，包括剩下的两个无理数，就可以有更多的序列，包括更多的剩余的无理数。于是自然会想到：

(3)，穷举所有可能的规定，生成更多的保留编号的最终剩余部分序列，就可以包含所有众多的无理数。

原来事实是这样的，并不是仅仅只有一个保留编号的最终剩余部分序列。有一个无理数就有一种保留编号的规定。有一个规定就可同时生成一个保留编号的最终剩余部分序列，在此序列中包括一个无理数。那么只要在挖去可数个有理数的过程中，按照所有可能的规定，生成所有的保留编号的最终剩余部分的序列，在这些序列中就包括了在区间(0,1)中所有剩下的无理数。

那么穷举所有可能的规定，究竟能生成多少个保留编号的最终剩余部分序列呢？挖走y1时，可生成2个序列。挖走y2时生成了4个序列，...，挖走yn时共生成2n个序列，......。按照幂集定理，挖走可数无穷多个有理数，一共可生成不可数无穷多个序列，其中包括不可数无穷多个无理数。

这就是，在区问(0,1)中挖去全部可数个有理点后，最后剩下不可数个无理点的真相

 (全文完)

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