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Zmn-0311 薛问天：为什么无穷情况下的这个定理是错误的？评黄汝广先生的《0308》
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Zmn-0311 薛问天：为什么无穷情况下的这个定理是错误的？评黄汝广先生的《0308》
【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0308》黄汝广先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
为什么无穷情况下的这个定理是错误的？
评黄汝广先生的《0308》
薛问天
。
(一)，对于有穷情况，可以严格证明一条定理。
【定理1】在区间(0,1)中挖去有穷个(n个)不同点后，剩余有穷个(n+1个)开区间。
可证这个定理对所有的n都成立，可用数学归纳法来证明。显然n=1时成立。在(0,1)中挖去1个点后，显然剩下两个开区间。假定定理对于n成立，即挖去n个不同点时剩下n+1个开区间，由于要挖去的第n+1个点不同于前n个点，肯定是属于这n+1个开区间中的一个，这样在挖掉它以后，就剩n+2个开区间了。也就是说在假定定理对于n时成立，推出了定理对于n+1时也成立。按数学归纳法，定理对于所有的n都成立。证毕。
(二)，黄汝广先生宣称，他证明了如下在无穷情况下的定理。
【定理2】在区间(0,1)中挖去全部可数无穷个有理点后，剩余有可数无穷个剩余部分。
于是黄汝广先生做了如下推论：
【既然全部有理数已经被挖去，剩下的部分当然就是全部无理数，而且我们可以证明这剩下的每一部分只能是单一的无理点：因为所有有理点均被挖去，所以剩下的任一部分都不可能再包含有理点，如果存在一个剩余部分包含两个不同无理点，那么这两个无理点之间也不可能存在有理点（否则，将会因挖有理点的操作而被分开，不可能还同属于一个部分）；换句话说，也即在数轴上至少存在两个无理点，而它们之间没有任何有理点，但是问题在于，这样的两个无理点对应的是同一个戴德金分割，这显然与戴德金分割的唯一性相矛盾。 因此，按照可完成的实无穷观，如果有理数可数，并且戴德金分割是正确的，那么无理数同样是可数的，进而实数也是可数的。反之，如果实数不可数，则：要么可完成的实无穷观有问题，要么有理数不可数，要么戴德金分割不正确。当然，以上结论还需要一个大前提，即实数只包含有理数与无理数，如果要否定这个大前提，那么结果就是走向非标准分析。】
显然，这个推理没有问题。如果定理2成立，则这个推理的结论也是正确的。那么问题出在哪里了呢？
(三)，无穷情况下的【定理2】不成立。是个伪定理。
也就是说黄汝广先生的证明有误。他的证明并未能得出【结果是可数无穷多个「剩余部分」】。我们来仔细分析黄汝广先生给出的证明。下面是他证明的原文.：
【考察区间（0，1），由于其内的有理可数，因此可以用自然数1，2，3……一一为之编号。现在，我们把编号为1的有理数（假设是0.5）挖去，那么区间（0，1）将被分为两个部分（0，0.5）与（0.5，1），将这两个部分分别编号为0与1；接下来挖去编号为2的有理数，则前面已编号的部分必定有一个又被一分为二，使其中一个保持原编号，而将另外一个编号为2；如此等等，＇当将所有编号为自然数的有理数挖去后，所剩部分的′编号分别为0，1，2……。恰好是全部自然数，因此所剩部分的个数是可数的。】
为了规范上述演算，我们稍作改动，具体规定【前面已编号的部分必定有一个又被一分为二，使其中「左边的」一个保持原编号，而将「右边的」另外一个编号为2；如此等等，】即具体规定，保留原编号的是「左边的」部分，新增编号的是「右边的」部分。当然你也可作另外的规定。
在这里黄先生提供了一种挖点演算，每次挖走一个，施行可数无穷多次，宣称结果是一个【剩余部分】的无穷序列。
首先我们必须承认经过可数无穷多次的「挖点演算」后，结果是区间(0,1)中的「最后剩余部分」。这个「最后剩余部分」集合肯定是存在的。 假定有理数序列是y1,y2,......。这个「最后剩余部分」集合W=｛x丨x∈(0,1)而且乛(∃n｝[x=yn]｝。我们知道W是区间中全体无理数的集合，这是一个确定的集合。在W中没有有理数。
我们仔细分析黄先生的证明。证明中命名的可数无穷多个【剩余部分】，并不是「最后剩余部分」，而是「中途剩余部分」。在这些「中途剩余部分」中仍包括有很多当时未被挖走的有理数。因而不能认为「最后剩余部分」是由这些可数无穷多个「中途剩余部分」的併集构成的。
当然黄先生可能会辩解说，我用自然数编号的「剩余部分」，不是指当时编号时的「中途剩余部分」，而是指的这个「中途剩余部分」经过后面的无穷次挖点演算，从中又切掉了很多新增编号的部分后，最后是【保留编号】的那些最后剩余部分。
是的，这样一来，确实存在可数无穷多个「保留编号的最后剩余部分」。每个「保留编号的最后剩余部分」中都不可能包括有理数。这都是正确的。
但是这个证明并没有保证，在无穷次的挖点演算后的「最后剩余部分集合」W等于这可数无穷多个「保留编号的最后剩余部分」的总和(併集)。也就是说，保证不了剩余的每个无理数都存在于某一个「保留编号的最后剩余部分」之中。 要知道这些「中途剩余部分」在变成「保留编号的最后剩余部分」的过程中，己不是在挖走有理点。而是在不断地切掉其中的「新增编号剩余部分」。在挖掉有理点时，也就同时切掉了其中右边的无理点。甚至我们可以严格证明下述定理：
【定理3】.任何无理数都不在上述的可数无穷个「保留编号的最后部分」之中。
【证明】。假定无理数a在编号为n的「保留编号的最后剩余部分」之中。显然a在被挖走的有理数yn的右边(a＞yn)。由于在yn和a之间有无穷多个有理数，因而存在有m＞n，使ym介于yn和a之间。因而至少在挖走ym时，a己从编号为n的「保留编号的最后剩余部分」之中切除，a己不在其中，同假定a在其中矛盾。所以a不在其编号为n的「保留编号的最后剩余部分」之中。证毕。
可见【定理2】不成立，是个错误定理。这就是黄汝广先生推论错误的关键。 实数理论和集合论都没有错，在区间(0,1)中挖走全部可数无穷多个有理数后，剩下的是不可数无穷多个无理数。
(全文完)
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科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0300 期目录： 2020-8-31 20:36
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