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Zmn-0311 薛问天:为什么无穷情况下的这个定理是错误的?评黄汝广先生的《0308》

已有 307 次阅读 2020-9-9 11:09 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0311 薛问天:为什么无穷情况下的这个定理是错误的?评黄汝广先生的《0308》

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0308》黄汝广先生文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

为什么无穷情况下的这个定理是错误的?

评黄汝广先生的《0308》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg

 (一),对于有穷情况,可以严格证明一条定理。

【定理1】在区间(0,1)中挖去有穷个(n个)不同点后,剩余有穷个(n+1个)开区间。

可证这个定理对所有的n都成立,可用数学归纳法来证明。显然n=1时成立。在(0,1)中挖去1个点后,显然剩下两个开区间。假定定理对于n成立,即挖去n个不同点时剩下n+1个开区间,由于挖去的第n+1个点不同于前n个点,肯定是属于这n+1个开区间中的一个,这样在挖掉它以后,就剩n+2个开区间了。也就是说在假定定理对于n时成立,推出了定理对于n+1时也成立。按数学归纳法,定理对于所有的n都成立。证毕。

 

 (二),黄汝广先生宣称,他证明了如下在无穷情况下的定理。

【定理2】在区间(0,1)中挖去全部可数无穷个有理点后,剩余有可数无穷个剩余部分。

 于是黄汝广先生做了如下推论:

【既然全部有理数已经被挖去,剩下的部分当然就是全部无理数,而且我们可以证明这剩下的每一部分只能是单一的无理点:因为所有有理点均被挖去,所以剩下的任一部分都不可能再包含有理点,如果存在一个剩余部分包含两个不同无理点,那么这两个无理点之间也不可能存在有理点(否则,将会因挖有理点的操作而被分开,不可能还同属于一个部分);换句话说,也即在数轴上至少存在两个无理点,而它们之间没有任何有理点,但是问题在于,这样的两个无理点对应的是同一个戴德金分割,这显然与戴德金分割的唯一性相矛盾。 因此,按照可完成的实无穷观,如果有理数可数,并且戴德金分割是正确的,那么无理数同样是可数的,进而实数也是可数的。反之,如果实数不可数,则:要么可完成的实无穷观有问题,要么有理数不可数,要么戴德金分割不正确。当然,以上结论还需要一个大前提,即实数只包含有理数与无理数,如果要否定这个大前提,那么结果就是走向非标准分析。】

显然,这个推理没有问题。如果定理2成立,则这个推理的结论也是正确的。那么问题出在哪里了呢?

 

 (三),无穷情况下的【定理2】不成立。是个伪定理。

也就是说黄汝广先生的证明有误。他的证明并未能得出【结果是可数无穷多个「剩余部分」】。我们来仔细分析黄汝广先生给出的证明。下面是他证明的原文.:

【考察区间(0,1),由于其内的有理可数,因此可以用自然数1,2,3……一一为之编号。现在,我们把编号为1的有理数(假设是0.5)挖去,那么区间(0,1)将被分为两个部分(0,0.5)与(0.5,1),将这两个部分分别编号为0与1;接下来挖去编号为2的有理数,则前面已编号的部分必定有一个又被一分为二,使其中一个保持原编号,而将另外一个编号为2;如此等等,'当将所有编号为自然数的有理数挖去后,所剩部分的′编号分别为0,1,2……。恰好是全部自然数,因此所剩部分的个数是可数的。】

为了规范上述演算,我们稍作改动,具体规定【前面已编号的部分必定有一个又被一分为二,使其中「左边的」一个保持原编号,而将「右边的」另外一个编号为2;如此等等,】即具体规定,保留原编号的是「左边的」部分,新增编号的是「右边的」部分。当然你也可作另外的规定。

 在这里黄先生提供了一种挖点演算,每次挖走一个,施行可数无穷多次,宣称结果是一个【剩余部分】的无穷序列。

首先我们必须承认经过可数无穷多次的「挖点演算」后,结果是区间(0,1)中的「最后剩余部分」。这个「最后剩余部分」集合肯定是存在的。 假定有理数序列是y1,y2,......。这个「最后剩余部分」集合W={x丨x∈(0,1)而且乛(∃n}[x=yn]}。我们知道W是区间中全体无理数的集合,这是一个确定的集合。在W中没有有理数。

我们仔细分析黄先生的证明。证明中命名的可数无穷多个【剩余部分】,并不是「最后剩余部分」,而是「中途剩余部分」。在这些「中途剩余部分」中仍包括有很多当时未被挖走的有理数。因而不能认为「最后剩余部分」是由这些可数无穷多个「中途剩余部分」的併集构成的。

 当然黄先生可能会辩解说,我用自然数编号的「剩余部分」,不是指当时编号时的「中途剩余部分」,而是指的这个「中途剩余部分」经过后面的无穷次挖点演算,从中又切掉了很多新增编号的部分后,最后是【保留编号】的那些最后剩余部分。

是的,这样一来,确实存在可数无穷多个「保留编号的最后剩余部分」。每个「保留编号的最后剩余部分」中都不可能包括有理数。这都是正确的。

但是这个证明并没有保证,在无穷次的挖点演算后的「最后剩余部分集合」W等于这可数无穷多个「保留编号的最后剩余部分」的总和(併集)。也就是说,保证不了剩余的每个无理数都存在于某一个「保留编号的最后剩余部分」之中。 要知道这些「中途剩余部分」在变成「保留编号的最后剩余部分」的过程中,己不是在挖走有理点。而是在不断地切掉其中的「新增编号剩余部分」。在挖掉有理点时,也就同时切掉了其中右边的无理点。甚至我们可以严格证明下述定理:

【定理3】.任何无理数都不在上述的可数无穷个保留编号的最后部分之中。

【证明】。假定无理数a在编号为n的「保留编号的最后剩余部分」之中。显然a在被挖走的有理数yn的右边(a>yn)。由于在yn和a之间有无穷多个有理数,因而存在有m>n,使ym介于yn和a之间。因而至少在挖走ym时,a己从编号为n的「保留编号的最后剩余部分」之中切除,a己不在其中,同假定a在其中矛盾。所以a不在其编号为n的「保留编号的最后剩余部分」之中。证毕。

可见【定理2】不成立,是个错误定理。这就是黄汝广先生推论错误的关键。 实数理论和集合论都没有错,在区间(0,1)中挖走全部可数无穷多个有理数后,剩下的是不可数无穷多个无理数。

 (全文完)




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