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Zmn-0308 黄汝广:论康托尔无穷理论与戴德金分割不相容

已有 259 次阅读 2020-9-7 08:11 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0308 黄汝广:论康托尔无穷理论与戴德金分割不相容

【编者按。下面是黄汝广先生发来的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

论康托尔无穷理论与戴德金分割不相容

黄汝广

考察区间(01),由于其内的有理可数,因此可以用自然数123……一一为之编号。现在,我们把编号为1的有理数(假设是0.5)挖去,那么区间(01)将被分为两个部分(00.5)与(0.51),将这两个部分分别编号为01;接下来挖去编号为2的有理数,则前面已编号的部分必定有一个又被一分为二,使其中一个保持原编号,而将另外一个编号为2;如此等等,当将所有编号为自然数的有理数挖去后(注:按照潜无穷观,我们当然是不可能把无穷个有理数挖完的,但是按照康托尔的实无穷观,却是可以挖完的,否则的话,他证明实数不可数的对角线构造法也是不可能完成的——这也正是潜无穷观者不承认对角线法有效性的根源所在;不过,既然我们是论证康托尔无穷理论与戴德金分割的矛盾,当然要采用他的可完成的实无穷观,否则无异于鸡同鸭讲,自说自话),所剩部分的编号分别为012……恰好是全部自然数,因此所剩部分的个数是可数的。

既然全部有理数已经被挖去,剩下的部分当然就是全部无理数,而且我们可以证明这剩下的每一部分只能是单一的无理点:因为所有有理点均被挖去,所以剩下的任一部分都不可能再包含有理点,如果存在一个剩余部分包含两个不同无理点,那么这两个无理点之间也不可能存在有理点(否则,将会因挖有理点的操作而被分开,不可能还同属于一个部分);换句话说,也即在数轴上至少存在两个无理点,而它们之间没有任何有理点,但是问题在于,这样的两个无理点对应的是同一个戴德金分割,这显然与戴德金分割的唯一性相矛盾。

因此,按照可完成的实无穷观,如果有理数可数,并且戴德金分割是正确的,那么无理数同样是可数的,进而实数也是可数的。反之,如果实数不可数,则:要么可完成的实无穷观有问题,要么有理数不可数,要么戴德金分割不正确。当然,以上结论还需要一个大前提,即实数只包含有理数与无理数,如果要否定这个大前提,那么结果就是走向非标准分析。




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