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Zmn-0312 李振华：模糊集幂集，有序对集合定义
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Zmn-0312 李振华：模糊集幂集，有序对集合定义
【编者按。下面是李振华先生发来的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
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模糊集幂集，有序对集合定义
李振华
本文以我以前发的文章《元素密度》为前提，只有搞懂了《元素密度》的内容才能搞懂本文的内容。
隶属度，重数，密度都是同一个概念，名称不同是因为看问题的角度不同。模糊集合论从概率，相似性的角度看问题，所以叫隶属度。多重集从可数，重复性的看到看问题，所以叫重数。我从几何，连续统，疏密度的角度看问题，所以叫密度。隶属度的取值不仅可以是数，还可以是集合（这是一种运算）。
a_x表示元素a的隶属度为x。
集合加法：{a_x,b_y}+{a_z,b_t}={a_(x+z),b_(y+t)}
集合乘法：(a_x,b_y}*{c_z,d_t}={a+c_xz,a+d_xt,b+c_yz,b+d_yt}
集合的幂：{{c},{d}}^{a,b}={{a+c},{a+d}}*{{b+c},{b+d}}
运算法则：P(A+B)=P(A)*P(B),A^(C*B)=(A^C)^B
一、模糊集的幂集
多重集的幂集是很容易求出的，它只是普通集的特例。例如求{a,a,b}的幂集，可以先求{a,b,c}的幂集，然后令其中的c=a，就得到了{a,a,b}的幂集。模糊集的幂集则不容易，因为模糊集中元素的隶属度是介于0和1之间的实数，它不是整数，传统求幂集的方法对它是不起作用的，因此必须发展关于集合的更一般的理论，才能解决这个问题。
考虑A={a_x,b_y,c_z}的幂集，P(A)={0,1}^{a_x,b_y,c_z}
由于P(A+B)=P(A)*P(B)，所以P(A)={0,1}^{a_x}*{0,1}^{b_y}*{0,1}^{c_z}
由于{0,1}^{a}={0,{a}}，{0,1}^{a_x}=({0,1}^{a})^x，所以P(A)={0,{a}}^x*{0,{b}}^y*{0,{c}}^z
在这里我们看到，{0,{a}}^x是问题的核心，如果能解决它，后面的就能以此类推，也就解决了问题。
对{0,{a}}^x进行展开，得到：
{0,{a}}^x={0,{a}_x,{a_2}_x*(x-1)/2,...,{a_n}_x*(x-1)*...*(x-n+1)/n!,.....}
虽然x是介于0和1之间的实数，但{0,{a}}^x展开之后，隶属度出现了负数，也就是说，模糊集的幂集是无法用模糊集来表示的，模糊集的幂集是更加广义的集合。这就好比有理数序列的极限不是有理数，而是无理数。
{0,{a}}^x已经求出，以此类推，得到：
P({a_x,b_y,c_z})={0,{a}_x,{a_2}_x*(x-1)/2,...,{a_n}_x*(x-1)*...*(x-n+1)/n!,.....}*{0,{b}_y,{b_2}_y*(y-1)/2,...,{b_n}_y*(y-1)*...*(y-n+1)/n!,.....}*{0,{c}_z,{c_2}_z*(z-1)/2,...,{c_n}_z*(z-1)*...*(z-n+1)/n!,.....}
对于势更高的模糊集，以此类推。
二、有序对的集合定义
现有体系已经给出了有序对的集合定义，但在这里，将给出有序对的另一种集合定义，这种定义基于隶属度（密度）的概念，就像我在《元素密度》给出自然数的另一种集合定义一样。在现有体系中，虽然给出了有序对的集合定义，但这种定义非常繁琐，特别是当扩展到多元有序组的时候。这里从密度的观念出发，有序对和多元有序组可以用集合定义如下：
(a,b)={x_a,y_b}
(a,b,c)={x_a,y_b,z_c}
........
可以验证，这种定义完全满足有序对的要求。与过去的定义相比，它最大的优点就在于它的简洁性，它不需要递归定义，不需要一个集合套着一个集合，因此它写出来没有过去那种令人眼花缭乱的糟糕性质。。
三、笛卡尔积和集合乘法的比较：
我在《元素密度》中定义了集合的乘法，在现有体系中，也有一个“乘法”叫笛卡尔积，与我定义的乘法有相似之处，但其性质极其糟糕，很多运算律对它都不成立。在这里，将对两者做一番比较。
笛卡尔积：
1.1、R*R={(x,y)|x,y是实数}
乘法：
1.2、{{a_x}|x是实数}*{{b_y}|y是实数}={{a_x,b_y}=(x,y)|x,y是实数}
1.1中相乘的两个集合是同一个集合，而1.2中是不同的两个集合，一个代表x轴上的点集，一个代表y轴上的。
笛卡尔积：
2.1、{0,1}*{0,2}={(0,0),(0,2),(1,0),(1,2)}
乘法：
2.2、{0,{a_1}}*{0,{b_2}}={0,{b_2},{a_1},{a_1,b_2}}={(0,0),(0,2),(1,0),(1,2)}
笛卡尔积：
2.3、{0,2}*{0,1}={(0,0),(0,1),(2,0),(2,1)}
乘法：
2.4、{0,{a_2}}*{0,{b_1}}={0,{b_1},{a_2},{a_2,b_1}}={(0,0),(0,1),(2,0),(2,1)}
2.3是2.1的交换次序，可见交换律对笛卡尔积不成立。2.2和2.4则是两对不同的集合，交换律依旧成立。
通过二维的点集，可以看出集合乘法的几何意义。
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zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
科学网《数学啄木鸟专栏》Zmn-000 到 Zmn-0300 期目录： 2020-8-31 20:36
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