《数学啄木鸟专栏》分享 http://blog.sciencenet.cn/u/wenqinghui 对错误的数学论点发表评论

博文

Zmn-0312 李振华:模糊集幂集,有序对集合定义

已有 395 次阅读 2020-9-10 10:22 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0312 李振华:模糊集幂集,有序对集合定义

【编者按。下面是李振华先生发来的文章。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

模糊集幂集,有序对集合定义

李振华

本文以我以前发的文章《元素密度》为前提,只有搞懂了《元素密度》的内容才能搞懂本文的内容。

隶属度,重数,密度都是同一个概念,名称不同是因为看问题的角度不同。模糊集合论从概率,相似性的角度看问题,所以叫隶属度。多重集从可数,重复性的看到看问题,所以叫重数。我从几何,连续统,疏密度的角度看问题,所以叫密度。隶属度的取值不仅可以是数,还可以是集合(这是一种运算)。

a_x表示元素a的隶属度为x。

集合加法:{a_x,b_y}+{a_z,b_t}={a_(x+z),b_(y+t)}

集合乘法:(a_x,b_y}*{c_z,d_t}={a+c_xz,a+d_xt,b+c_yz,b+d_yt}

集合的幂:{{c},{d}}^{a,b}={{a+c},{a+d}}*{{b+c},{b+d}}

运算法则:P(A+B)=P(A)*P(B),A^(C*B)=(A^C)^B

一、模糊集的幂集

多重集的幂集是很容易求出的,它只是普通集的特例。例如求{a,a,b}的幂集,可以先求{a,b,c}的幂集,然后令其中的c=a,就得到了{a,a,b}的幂集。模糊集的幂集则不容易,因为模糊集中元素的隶属度是介于0和1之间的实数,它不是整数,传统求幂集的方法对它是不起作用的,因此必须发展关于集合的更一般的理论,才能解决这个问题。

考虑A={a_x,b_y,c_z}的幂集,P(A)={0,1}^{a_x,b_y,c_z}

由于P(A+B)=P(A)*P(B),所以P(A)={0,1}^{a_x}*{0,1}^{b_y}*{0,1}^{c_z}

由于{0,1}^{a}={0,{a}},{0,1}^{a_x}=({0,1}^{a})^x,所以P(A)={0,{a}}^x*{0,{b}}^y*{0,{c}}^z

在这里我们看到,{0,{a}}^x是问题的核心,如果能解决它,后面的就能以此类推,也就解决了问题。

对{0,{a}}^x进行展开,得到:

{0,{a}}^x={0,{a}_x,{a_2}_x*(x-1)/2,...,{a_n}_x*(x-1)*...*(x-n+1)/n!,.....}

虽然x是介于0和1之间的实数,但{0,{a}}^x展开之后,隶属度出现了负数,也就是说,模糊集的幂集是无法用模糊集来表示的,模糊集的幂集是更加广义的集合。这就好比有理数序列的极限不是有理数,而是无理数。

{0,{a}}^x已经求出,以此类推,得到:

P({a_x,b_y,c_z})={0,{a}_x,{a_2}_x*(x-1)/2,...,{a_n}_x*(x-1)*...*(x-n+1)/n!,.....}*{0,{b}_y,{b_2}_y*(y-1)/2,...,{b_n}_y*(y-1)*...*(y-n+1)/n!,.....}*{0,{c}_z,{c_2}_z*(z-1)/2,...,{c_n}_z*(z-1)*...*(z-n+1)/n!,.....}

对于势更高的模糊集,以此类推。

二、有序对的集合定义

现有体系已经给出了有序对的集合定义,但在这里,将给出有序对的另一种集合定义,这种定义基于隶属度(密度)的概念,就像我在《元素密度》给出自然数的另一种集合定义一样。在现有体系中,虽然给出了有序对的集合定义,但这种定义非常繁琐,特别是当扩展到多元有序组的时候。这里从密度的观念出发,有序对和多元有序组可以用集合定义如下:

(a,b)={x_a,y_b}

(a,b,c)={x_a,y_b,z_c}

........

可以验证,这种定义完全满足有序对的要求。与过去的定义相比,它最大的优点就在于它的简洁性,它不需要递归定义,不需要一个集合套着一个集合,因此它写出来没有过去那种令人眼花缭乱的糟糕性质。。

三、笛卡尔积和集合乘法的比较:

我在《元素密度》中定义了集合的乘法,在现有体系中,也有一个“乘法”叫笛卡尔积,与我定义的乘法有相似之处,但其性质极其糟糕,很多运算律对它都不成立。在这里,将对两者做一番比较。

笛卡尔积:

1.1、R*R={(x,y)|x,y是实数}

乘法:

1.2、{{a_x}|x是实数}*{{b_y}|y是实数}={{a_x,b_y}=(x,y)|x,y是实数}

1.1中相乘的两个集合是同一个集合,而1.2中是不同的两个集合,一个代表x轴上的点集,一个代表y轴上的。

笛卡尔积:

2.1、{0,1}*{0,2}={(0,0),(0,2),(1,0),(1,2)}

乘法:

2.2、{0,{a_1}}*{0,{b_2}}={0,{b_2},{a_1},{a_1,b_2}}={(0,0),(0,2),(1,0),(1,2)}

笛卡尔积:

2.3、{0,2}*{0,1}={(0,0),(0,1),(2,0),(2,1)}

乘法:

2.4、{0,{a_2}}*{0,{b_1}}={0,{b_1},{a_2},{a_2,b_1}}={(0,0),(0,1),(2,0),(2,1)}

2.3是2.1的交换次序,可见交换律对笛卡尔积不成立。2.2和2.4则是两对不同的集合,交换律依旧成立。

通过二维的点集,可以看出集合乘法的几何意义。

 


返转到:

   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录







http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1249987.html

上一篇:Zmn-0311 薛问天:为什么无穷情况下的这个定理是错误的?评黄汝广先生的《0308》
下一篇:Zmn-0313 薛问天:数学分析和集合论的研究并无冲突,评李鸿仪先生的《0307》

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2020-12-1 02:48

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部