《数学啄木鸟专栏》分享 http://blog.sciencenet.cn/u/wenqinghui 对错误的数学论点发表评论

博文

Zmn-0313 薛问天:数学分析和集合论的研究并无冲突,评李鸿仪先生的《0307》

已有 303 次阅读 2020-9-11 10:54 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0313 薛问天:数学分析和集合论的研究并无冲突,评李鸿仪先生的《0307》

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0307》李鸿仪先生文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

数学分析和集合论的研究并无冲突,

评李鸿仪先生的《0307》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg李鸿仪先生在《0307》中对数学分析和集合论中有关无穷的研究进行了一些比较。提出了他的一些论点和结论,我认为不正确。特作如下的评论。

 

(一),关于研究对象的普遍性。

李先生认为【数学分析中的无穷并未限定于具体的研究对象,所以可以研究任意无限现象,集合论中的无穷研究以无限集(即集合中元素数目不是有限的集合)中元素数目为对象。】

这段话不符合事实,恰恰相反。数学分析是研究【实数集】上的各种属性的,如函数,极限,微分和积分等,都是基于【实数集】上的。而集合论则是研究任何集合的,具有更高的普遍性。因而集合论是在更普遍的意义下研究【任意的集合】的属性,如序数,基数等,这些更具有普遍性。它的研究成果自然也适用于【实数集】。不仅如此,集合论不仅作为数学分析的基础,他还是所有数学分支的基础。

 

(二),关于一一对应

李先生说【一一对应原先只用于有限集合,但康托将其推广到无限集合。其推广的可靠性并没有得到过严格的证明,反而产生了诸如“整体等于部分”等矛盾】。

这段话是出于对一一对应的误解。 集合的相等和等势(一一对应)是两个不同的概念,不可混为一谈。集合同它的真子集并不是【相等】的集合。集合的外延公理说得非常清楚。我们称两个集合是【相等】的,当且仅当它们包含的元素完全相同。任何元素x,如果属于A则必属于B,反之如果属于B则必须属于A。满足这个条件才能说A和B是【相等】的集合。因而集合同它的真子集是两个不同的集合,并不【相等】。集合论中证明的无穷集同它的某个真子集一一对应,只是【基数相等】而不是集合【相等】。因而说什么集合论【产生了诸如“整体等于部分”等矛盾】,纯属误读。

无穷集同它的某个真子集一一对应,这是严格证明的命题,而李先生说【并没有得到过严格的证明】,这不符合实际。李先生对此证明,能提出具体的反对意见吗?为什么连推理的正确性都不敢承认。就这么不自信吗?其实就是受到有穷集的规律的束缚,不敢承认无穷集具有同有穷集不同的规律和性质。

 

(三),关于研究结果的可靠性。

李先生的逻辑是这样的。他认为数学分析【其结论具有高度的可靠性。】而【集合论的结论必须与数学分析的结论一致,才能证明自己的可靠性】。但是他认为其中的结果是【不一致的】。于是他错误地认为【 集合论对无限问题的把握与数学分析有冲突,其可靠性是存疑的。】

 

(四),集合论与数学分析真的有冲突吗?

李先生说【以下通过分析一个最简单的例子来比较两者的区别。当自然数 n 趋于无限时,无穷大 x=n+1 与 y=n 是否相等?集合论用无限旅馆悖论“证明”了两者完全相等(略)。但数学分析却证明了两者不完全相等:】

我理解是否是这样的问题,在数学分析中有两个无穷序列:

x={2,3,...,n+1,...}(即xn=n+1),y={1,2,...,n,...}(即yn=n)。在集合论中这是两个无穷集合。在分析中和集合论中【相等】的概念是否一致。

要知道,在概念上一定要澄清。【无限旅馆】只是一种形象的比喻和直观的说明,并不是严格的证明。严格地证明是通过一一对应来证明的。而且证明的结果是两个集合【等势】,并不是两个集合【相等】。

我认为从【相等】的概念上讲,他们是一致的。都不【相等】。因为要使两个无穷序列相等,必充条件是对所有的n,各项均相等。由于n+1≠n,所以这两个序列不相等。另一方面,根据外延公理,两个集合相等的必充条件是所含元素完全相同,显然y中有1,而x中无1,显然两个集合也不相等。

从数学分析的【极限】来看,当n→∞时,xn和yn的极限都是无穷大∞,极限是相等的。另外由于当n→∞时xn/yn的极限等于1,即: limn→∞[(n+1)/(n)]→1,可知xn与yn是同阶无穷大。

从集合论的【基数】来看,x和y的集合基数都是可数无穷,也是相等的。

不相同的数学对象,有某些属性相同,这里并无任何矛盾之处。

至于李先生说的证明1,由n→∞时,(xn-yn)→1,来证明两个序列不相等,实无必要,实际上只要发现有一项,使xn≠yn,xn-yn≠0,即差的序列只要有一项不等于:0,就可断定两个序列不相等,何需用差的极限等于1来判断。简直多此一举。

另外,两个序列的差的极限等于1,并不能得出两个序列的无穷大极限之差为1(∞-∞=1),所以也得不出两个序列的极限不相等的结论,不知李先生想用【证明1】来证明什么。

我前面己经说了,xn和yn是两个不同的序列。只是它们的【极限】这个属性相同而己。同样x和y这两个集合是不同的集合,只是它们的【基数】这个属性相同而己。

至于【证明2】,证明了n→∞时,xn/yn→1,李先生错误地说证明了x→y,而且说是这种极限是渐近式的极限,是不可达的极限,所以证明了x≠y。这个推理是欠严格的。

1),y是个序列,是个变量。说x→y,本身就不倫不类。因为极限或者是一个确定的数,或者是无穷大∞。不能以序列或变量y作为极限,因而就谈不上这是渐近式极限不可达,也就是说,由此推不出x≠y的结论。

2),一般谈极限不可达,是指的自变量。当我们说函数y=f(x),当x→a时,y=f(x)→b。这里的x无限趋近于 a,要求x不等于a。即极限的存在与否以及等于多少,同ⅹ=a时的函数值f(a)无关,即求极限时x≠a。这就是通常所说的【极限是不可达的】。这并不是指在求极限过程中,在x≠a的条件下的函数值f(x),不能等于极限值b。在a附近有沒有x,使f(x)=b,这同是否有y=f(x)→b没有关系。不能由此来分可达的极限和不可达的极限,这样的划分没有任何意义。(xn-yn)→1  属于前者,(xn/yn)→1 属于后者。这对于证明x≠y,起不到任何作用。

我在前面讲了,只要有一项xn≠yn,xn和yn就是不同的序列。根本不需要费劲去用【可达同不可达】来证明 。

可见,从【相等】的概念上讲,数学分析和集合论是一致的。序列xn和yn不【相等】不是同一序列,集合x和y也不【相等】不是同一集合。序列xn和yn的极限都是无穷大,是【相等】的,集合x和y的基数都是可数无穷,基数也是【相等】的。这里并无任何【冲突】和【矛盾】,理论上是协调的一致的。所以说,李先生所谓【 集合论对无限问题的把握与数学分析有冲突,其可靠性是存疑的。】的论点不符合事实,並不成立。

(全文完)

 


返转到

   zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录







http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1250130.html

上一篇:Zmn-0312 李振华:模糊集幂集,有序对集合定义
下一篇:Zmn-0314 黄汝广:答 Zmn-0311 薛问天的评论

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2020-12-1 02:57

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部