Zmn-0313 薛问天：数学分析和集合论的研究并无冲突，评李鸿仪先生的《0307》

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0307》李鸿仪先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

数学分析和集合论的研究并无冲突，

评李鸿仪先生的《0307》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

李鸿仪先生在《0307》中对数学分析和集合论中有关无穷的研究进行了一些比较。提出了他的一些论点和结论，我认为不正确。特作如下的评论。

(一)，关于研究对象的普遍性。

李先生认为【数学分析中的无穷并未限定于具体的研究对象，所以可以研究任意无限现象，集合论中的无穷研究以无限集（即集合中元素数目不是有限的集合）中元素数目为对象。】

这段话不符合事实，恰恰相反。数学分析是研究【实数集】上的各种属性的，如函数，极限，微分和积分等，都是基于【实数集】上的。而集合论则是研究任何集合的，具有更高的普遍性。因而集合论是在更普遍的意义下研究【任意的集合】的属性，如序数，基数等，这些更具有普遍性。它的研究成果自然也适用于【实数集】。不仅如此，集合论不仅作为数学分析的基础，他还是所有数学分支的基础。

(二)，关于一一对应

李先生说【一一对应原先只用于有限集合，但康托将其推广到无限集合。其推广的可靠性并没有得到过严格的证明，反而产生了诸如“整体等于部分”等矛盾】。

这段话是出于对一一对应的误解。 集合的相等和等势(一一对应)是两个不同的概念，不可混为一谈。集合同它的真子集并不是【相等】的集合。集合的外延公理说得非常清楚。我们称两个集合是【相等】的，当且仅当它们包含的元素完全相同。任何元素x，如果属于A则必属于B，反之如果属于B则必须属于A。满足这个条件才能说A和B是【相等】的集合。因而集合同它的真子集是两个不同的集合，并不【相等】。集合论中证明的无穷集同它的某个真子集一一对应，只是【基数相等】而不是集合【相等】。因而说什么集合论【产生了诸如“整体等于部分”等矛盾】，纯属误读。

无穷集同它的某个真子集一一对应，这是严格证明的命题，而李先生说【并没有得到过严格的证明】，这不符合实际。李先生对此证明，能提出具体的反对意见吗？为什么连推理的正确性都不敢承认。就这么不自信吗？其实就是受到有穷集的规律的束缚，不敢承认无穷集具有同有穷集不同的规律和性质。

(三)，关于研究结果的可靠性。

李先生的逻辑是这样的。他认为数学分析【其结论具有高度的可靠性。】而【集合论的结论必须与数学分析的结论一致，才能证明自己的可靠性】。但是他认为其中的结果是【不一致的】。于是他错误地认为【 集合论对无限问题的把握与数学分析有冲突，其可靠性是存疑的。】

(四)，集合论与数学分析真的有冲突吗？

李先生说【以下通过分析一个最简单的例子来比较两者的区别。当自然数 n 趋于无限时，无穷大 x=n+1 与 y=n 是否相等？集合论用无限旅馆悖论“证明”了两者完全相等（略）。但数学分析却证明了两者不完全相等：】

我理解是否是这样的问题，在数学分析中有两个无穷序列：

x=｛2,3,...,n+1,...｝(即xn=n+1)，y=｛1,2,...,n,...｝(即yn=n)。在集合论中这是两个无穷集合。在分析中和集合论中【相等】的概念是否一致。

要知道，在概念上一定要澄清。【无限旅馆】只是一种形象的比喻和直观的说明，并不是严格的证明。严格地证明是通过一一对应来证明的。而且证明的结果是两个集合【等势】，并不是两个集合【相等】。

我认为从【相等】的概念上讲，他们是一致的。都不【相等】。因为要使两个无穷序列相等，必充条件是对所有的n，各项均相等。由于n+1≠n，所以这两个序列不相等。另一方面，根据外延公理，两个集合相等的必充条件是所含元素完全相同，显然y中有1，而x中无1，显然两个集合也不相等。

从数学分析的【极限】来看，当n→∞时，xn和yn的极限都是无穷大∞，极限是相等的。另外由于当n→∞时xn/yn的极限等于1，即: lim_n→∞[(n+1)/(n)]→1,可知xn与yn是同阶无穷大。

从集合论的【基数】来看，x和y的集合基数都是可数无穷，也是相等的。

不相同的数学对象，有某些属性相同，这里并无任何矛盾之处。

至于李先生说的证明1，由n→∞时，(xn-yn)→1，来证明两个序列不相等，实无必要，实际上只要发现有一项，使xn≠yn，xn-yn≠0，即差的序列只要有一项不等于:0，就可断定两个序列不相等，何需用差的极限等于1来判断。简直多此一举。

另外，两个序列的差的极限等于1，并不能得出两个序列的无穷大极限之差为1(∞-∞=1)，所以也得不出两个序列的极限不相等的结论，不知李先生想用【证明1】来证明什么。

我前面己经说了，xn和yn是两个不同的序列。只是它们的【极限】这个属性相同而己。同样x和y这两个集合是不同的集合，只是它们的【基数】这个属性相同而己。

至于【证明2】，证明了n→∞时，xn/yn→1，李先生错误地说证明了x→y，而且说是这种极限是渐近式的极限，是不可达的极限，所以证明了x≠y。这个推理是欠严格的。

1)，y是个序列，是个变量。说x→y，本身就不倫不类。因为极限或者是一个确定的数，或者是无穷大∞。不能以序列或变量y作为极限，因而就谈不上这是渐近式极限不可达，也就是说，由此推不出x≠y的结论。

2)，一般谈极限不可达，是指的自变量。当我们说函数y=f(x)，当x→a时，y=f(x)→b。这里的x无限趋近于 a，要求x不等于a。即极限的存在与否以及等于多少，同ⅹ=a时的函数值f(a)无关，即求极限时x≠a。这就是通常所说的【极限是不可达的】。这并不是指在求极限过程中，在x≠a的条件下的函数值f(x)，不能等于极限值b。在a附近有沒有x，使f(x)=b，这同是否有y=f(x)→b没有关系。不能由此来分可达的极限和不可达的极限，这样的划分没有任何意义。(xn-yn)→1  属于前者，(xn/yn)→1 属于后者。这对于证明x≠y，起不到任何作用。

我在前面讲了，只要有一项xn≠yn，xn和yn就是不同的序列。根本不需要费劲去用【可达同不可达】来证明 。

可见，从【相等】的概念上讲，数学分析和集合论是一致的。序列xn和yn不【相等】不是同一序列，集合x和y也不【相等】不是同一集合。序列xn和yn的极限都是无穷大，是【相等】的，集合x和y的基数都是可数无穷，基数也是【相等】的。这里并无任何【冲突】和【矛盾】，理论上是协调的一致的。所以说，李先生所谓【 集合论对无限问题的把握与数学分析有冲突，其可靠性是存疑的。】的论点不符合事实，並不成立。

(全文完)

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