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Zmn-0329 李振华：贝特朗悖论，点的迷思

已有 2618 次阅读 2020-9-24 08:46 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0329 李振华：贝特朗悖论，点的迷思

【编者按。下面是李振华先生发来的文章。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

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贝特朗悖论，点的迷思

李振华

这一次来谈谈贝特朗悖论，这个著名的几何概率问题，分析产生悖论的原因和解决方法。现有体系宣称已经解决这个悖论，在这里将更加深入地研究这个问题。

给定一个圆，随机选择一条弦，求弦的长度大于圆内接正三角形边长的概率。

对于这个问题，由于角度不同，有三种不同的答案，这就形成了悖论：

答案一：选定三角形的顶点为弦的一端，这个顶点的对边记为a，另一端所确定的弦只有和a有交点的时候，弦的长度才会满足要求，经计算概率是1/3。

答案二：作圆的直径，垂直于该直径的弦，其中点只有位于直径的1/4至3/4之间，弦的长度才会满足要求，经计算概率是1/2。

答案三：弦的中点只有位于直径为原圆1/2的同心圆（小圆）之内，弦的长度才会满足要求，经计算概率是1/4。

在这里，我们主要对情形一（答案一）进行分析。

在情形一中，假定了弦的端点在圆上均匀分布，这与我们的默认假设（均匀的圆）相一致。

假定圆的直径为1。

考虑圆上的n个点，均匀分布（即任意两个相邻点之间的距离都相等）。

n个点确定n(n-1)/2条弦。

任意选择一条弦，求满足要求的概率，前面已经给出了正确的答案：1/3。现在我们感兴趣的是情形一中的情形二，情形一中的情形三。

情形一中的情形二：如果弦的端点在圆上均匀分布，那么垂直于直径的弦中点在直径上就不是均匀分布，而是非均匀分布，分布函数是：f(x)=arccos(1-x)。x是圆上点到半径上某点的距离，0代表圆上的点，1代表圆心。弦中点位于直径1/4至3/4之间的概率=位于半径1/2至1的概率=(f(1)-f(0.5))/f(1)=1/3。

情形一中的情形三：同样的道理，如果弦的端点在圆上均匀分布，那么弦的中点在圆内就不是均匀分布，而是非均匀分布。由弦中点构成的平面点集A的面积求法：令n成为无穷大，圆上相邻点的距离d=2pi/n，A的面积=弦中点（弦）的数目*d^2=n(n-1)/2*(2pi/n)^2=2pi^2。

位于小圆之内由弦中点构成的平面点集B的面积求法：B的面积=(2*pi/3)*2*pi/2=2/3pi^2。弦中点位于小圆内的概率=B的面积/A的面积=2/3pi^2/(2pi^2)=1/3。

一旦假设弦的端点在圆上均匀分布，那么弦中点在直径上，在圆内就不是均匀分布，越靠近圆心的位置，点的分布就越密集。同样的道理，一旦假设弦的中点在直径上均匀分布或在圆内均匀分布，那么弦的端点在圆上就不是均匀分布。悖论产生的原因在于，把不同的情况当做同一种情况，认为弦的端点在圆上均匀分布，弦的中点在直径上，在圆内也还均匀分布。解决这个悖论的核心思想是：承认除了均匀的连续统之外，还有非均匀的连续统，连续统上点的密度不仅可以等于1，还可以等于任意实数。映射有两种基本类型：一种是保密度映射，即映射后密度不变，长度改变。一种是保长度映射，即映射后长度不变，密度改变。如果只知道前一种映射而不知后一种映射，那就会出问题。

情形二简略的定性分析：

由于假定了弦中点在直径上均匀分布，那么弦端点在圆上就是非均匀分布。

情形二中的情形一：情形一的情形一，确定弦的第一个端点无论位于哪个位置，概率都是不变的。情形二的情形一，确定弦的第一个端点在不同的位置上，会导致不同的概率值。

情形二中的情形三：与情形一的情形三一样，弦中点在圆内是非均匀分布的，而且位于小圆内的弦中点比情形一更加密集。

情形三的分析：略。

点的迷思（数学哲学）

点有无大小？

先给出一个公理：有无大小公理。有大小的东西是有，有有大小。无大小的东西是无，无无大小。

定理：如果点是无大小的有，那点是自相矛盾的概念。

根据有无大小公理，既然点无大小，那么点就是无，这与点是有矛盾。既然点是有，那么点有大小，这与点无大小矛盾。

既然点是有，那么点一定有大小。你可以说点无面积，点无长度，但你不能说点无大小，因为无大小比无长度来更加广泛，点担当不起。

点数和点的长度

在集合论中，两条不同长度的线段拥有一样多的点。在这里，两条相同长度的线段也可以拥有不一样多的点。为什么？打个最浅显易懂的比方：我有100张1元，你有100张5角，我的张数和你的张数一样多，但我的钱比你多。我有100张1元，你有200张5角，我的钱和你一样多，但你的张数比我多。

在集合论中，我们只谈论点数，而忽略了点的长度。你也许会说，点的长度是0，任意两个点都是一样大的。然而，就像欧拉所说的，比较大小有两种方法，一种是算术的，一种是几何的。两个数相减是算术的比法，两个数相除是几何的比法。从算术的角度看，任意两个点都一样大，但是从几何的角度看，它们却常常是不同的。我把一厘米的线段分成n份，每一份是1/n，你把一厘米的线段分成2n份，每一份是1/(2n)。令n成为无穷大。你的点数是我的两倍，但是你的点长度只有我的一半，因此纵然你的点数比我多，你的线段依然和我的一样长只有1厘米。

（全文完）

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