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Zmn-0326 薛问天：正确解读不可测集的构造，评林益先生的困惑

已有 4553 次阅读 2020-9-21 09:40 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0326 薛问天：正确解读不可测集的构造，评林益先生的困惑

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0324》林益先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

正确解读不可测集的构造，

评林益先生的困惑

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

(一)，不可测集的构造。

林益先生说：【学过实变函数的人都知道，有一个奇葩的集合叫做不可测集，它是利用选择公理按照设定的选择函数，将区间[0，1]按区间[0，1]的有理数进行分类，使得每一类里只有一个有理数，其它都是无理数，这样就把区间[0，1]分成与区间[0，1]中的有理数的个数相同的类，每一类构成一个集合，按照康托尔的集合论和选择公理的观点，它们基数相同，勒贝格测度相等，它们的并集构成不可测集。】

这段对不可测集的理解，基本上是错的。

【将区间[0，1]按区间[0，1]的有理数进行分类，使得每一类里只有一个有理数，其它都是无理数，】

这个对该分类方法的理解是错误的。该分类方法是这样的。凡两数相減(差)是有理数的分作一个类。例如，由√2±a，其中a是任何有理数，就形成一个类。由π±a，其中a是任何有理数，就形成另一个类。设x是任何无理数，由x±a，其中a是任何有理数，就形成一个类。另外全体有理数形成一个类，因为有理数的差是有理数。这样一來，就只有一个类是全体有理数，而其它类都是由无理数构成。不是林先生所理解的【每一类里只有一个有理数，其它都是无理数，】

林先生的这句话【这样就把区间[0，1]分成与区间[0，1]中的有理数的个数相同的类，每一类构成一个集合，】

就应该改成「这样就把区间[0，1]分成类，而每个类都与区间[0，1]中的有理数的个数相同，每一类构成一个集合，」

然后接着应该说，「按照选择公理，在每一类中迭择一个数，组成的是一个集合。将此集合记为W，即可证W是一不可测集」。请注意，是在不可测集W中【只有一个有理数，其它都是无理数】。而不是【每一类里只有一个有理数，其它都是无理数，】我选了北大周民强《实变函数论》教材中的相应章节(103页)，供大家重温。

不可测集-1.jpg

(二)，对8点困惑的评论。

1，【无穷是有限的延伸，......是一个有理数集合，但是集合中的“⋯”则表示在不断延伸，是动态的，不断在变化之中的，不能完成，如何用选择公理构建不可测集，即使构建，它们也是不不断的构建变化中，有始无终，不会完成，又如何去计算它们的测度】

林益先生忘了，集合论是建立在「实无穷观」的基础之上的。「潜无穷观」者，无法享受集合论的成果。在「实无穷观」者看来，这些无穷集合都是生成过程己完成的，确定的集合。而不是【是动态的，不断在变化之中的，不能完成，】的不被承认的集合。「潜无穷观」者在此是寸步难行，到处踫壁。

2，【区间[0，1]是连续的，点没有三度，即点的长度为 0，能否利用选择公理对区间[0，1]按有理数重排，按不可测集的每一集，排成互不相交的集？】

此题意【对区间[0，1]按有理数重排，按不可测集的每一集，排成互不相交的集？】不清楚，什么叫【按有理数重排】？不可测集就是从每个类中取一个数构成的一个集合，不存在【每一集】，是否指的是这些类。这些类的并集是区间【0，1】中的全部实数，这些类也是互不相交的。关键是【重排】是什么意思？按在不可测集W中数的大小，来重新定义各类之间数的序，而保持类内各数的原序。这样【重排】这些实数的序，自然是可行的。但不要把序理解为离散点的【相邻点】【排排坐】，而应是稠密地分布。

3.，【选择公理按照设定的选择函数按区间[0，1]的有理数分类，每一类里只有一个有理数，那么又有多少个无理数？】

这问题属对不可测集W理解的错误。实际上每个类的基数都是可数无穷多。而W的基数是不可数无穷(连续统)，

4、【按照康托尔的集合论的观点，无理数多于有理数，如果无理数多于有理数，那么区间[0，1]的有理数与无理数是怎样排列的，是否存在两个无理数之间没有有理数？】

在《0322》中我己讲了这个问题，不是【排列】，而是【稠密分布】。

5、【区间[0，1]是连续的，按照实数稠密性定理，任意两个实数必有实数，而且有无穷多个实数，显然这无穷多个实数必然互不相等，既然任意两个实数必有实数，这无穷多个实数又是如何使得两个实数对应的点之间能够连续的呢？】

林益先生对稠密性的理解是正确的，但是不知林益先生是如何理解【连续性】的。说有理数集不具有连续性，是说有理数列的极限有可能不是有理数，或者说，有理数的分划A|A'有可能A无最大有理数，而且A'无最小有理数。说实数具有连续性，是说所有实数序列的有限极限，都是实数。或者说，实数的任何分划A|A'，必然A有最大数，或者A'有最小数。连续性是指关于极限运算的关闭性或者集合确界的关闭性。实数的连续性同稠密性并无矛盾。不知林先生如何理解【连续性】，连续性是数系(即集合)的属性，不是指【两个实数对应的点之间能够连续】。请看菲书中的解释。

连续性-1.jpg

6、【区间[0，1]被上述设定的方法分成应该是ℵ₀，因为区间[0，1]里有理数的基数是ℵ₀，分成的每一集基数应该是ℵ，既然勒贝格测度是能计算点集测度，那么每一集测度就应该能计算出来，它应该是多少？】

林先生的这一问题同对W的错误理解有关。实际上是每个类的基数是可数无穷ℵ₀，每个类的测度是0。W的基数是不可数无穷(连续统ℵ)，但不可测。

7、【既然康托尔已经把“∞”替换成“ω”，而且认为实变函数是最精密的学科，为什么不用“ω”、“ℵ₀”参与测度运算和证明呢？ 】

康托尔并没有【把“∞”替换成“ω”】，这是不同的数学对象。∞是【无穷极限】，ω是【超穷序数】，ℵ₀是【超穷基数:】。在数学上各有各的定义，是不同的数学对象，不可混为一谈。∞是极限，ω是序数，ℵ₀基数。这些都是严格的数学概念。在测度理论中没有用到∞和ω，但是用到了ℵ₀。在勒贝格测度的定义中的「可数可加性」就用到了ℵ₀。林益先生可重温勒贝格测度的定义。

8、【既然康托尔利用对角线证法证明了区间[0，1]里的实数个数为ℵ₀，并作为连续统假设的一个重要条件，区间[0，1]里的每一实数的勒贝格测度都是 0，是否有 0×ℵ₀=1 呢？】

集合的基数，同实数集合的测度，这是两个不同的属性，在数学概念上是不同的，它们各自有各自的计算规则和规律。就如同人有身高和体重这两个不同的属性一样。

不能认为【0×ℵ₀=1】，[0,1]和[0,2]的基数是相同的，但它们的勒贝格测度并不相同，前者为1，而后者为2。

(三)，对5个怀疑的评论

林益先生最后提出了5个怀疑，其中的1，2，4都涉及一个概念叫【连续集】：

1、【选择公理对有限点集或无穷离散点集有效，对连续集是否还有效呢？】

2、【勒贝格测度的对象应该是点集，对连续集是否也有效呢？】

4、【区间[0，1]是连续集，是否真能是由点构成连续集呢？】

不知林益先生的【连续集】是否指满足【连续性】的集合。关于【连续性】我在前面第5点困惑的回答中，己作了解释。连续性是指关于极限运算的关闭性。实数的连续性同稠密性并无矛盾。不知林先生是如何理解【连续性】的。

选择公理是集合论的一个公理，自然对所有集合都有效。

勒贝格测度的对象是点集，实数轴线上的点集就是实数集，实数集满足连续性，是连续集，所以勒贝格测度自然对连续集是有效的。

区间[0，1]上的点集就是大于或等于0而且小于或等于1的实数集，满足【连续性】，自然能是构成的【连续集】。

另外的第3个疑问是：

3、【不可测集是否真的存在，还是勒贝格测度存在不完善之处？】

要相信推理和证明，所构造的集合w是在勒贝格测度下不可测集，这是严格证明的定理，当你找不出证明有任何错误时，提出怀疑都是没有根据的。

5、【如果不可测集存在，也是动态的，不断变化的，有始无终，如何用静态的方法去衡量动态的测度？】

这个问题我己在前面的第1个困惑回答中作了分析。这是受【潜无穷观】的约束。

另外，林先生还问【为什么不直接求出区间[0，1]的测度 1，而要定义区间[0，1]的测度 1 呢？】

【[0，1]的测度为1】，这是勒贝格测度定义的一部分。没有测度的定义，如何去【直接求出】？【[0，1]的测度为1】，是勒贝格测度的基准，有了这个基准，其它集合的测度才可求出。就如同度量长度，必须定义一个准确的【1尺】作为标准的度量单位一样。这个标准是【求】不出来的，【量】不出来，必须通过公认的【定义】。

(全文完)

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