Zmn-0336 薛问天：再谈【不可测集】的结构，评林益先生和李振华先生的文章。

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0331》林益先生和对《Zmn-0334》李振华先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

再谈【不可测集】的结构，

评林益先生和李振华先生的文章。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。。

林益先生坚持认为他对【不可测集】构造的描述就是通常教科书中讲的【不可测集】。而且充满自信地说【我坚信，就是周民强老师，对我的不可测集介绍最多认为表述不好，也不会认为是错误的。】可惜的是，不用周明强老师(北大《实变函数论》的作者)，连我都可以指出，林益先生並未能正确地构造出要构造的集合，不仅他构造的集合不同于一般教科书中的讲述，而且也没有提出任何根据说明这样的集合可以构造出来。

最近李振华先生提出了一个他认为是【最简明的】【不用选择公理定义不可测集】。非常有趣的是李振华先生所提的【不可测集】，竟然同林益先生所讲的【不可测集】的结构完全一样。本文将指出李振华先生缺乏构造的必要根据，並未能构造出这样的【不用选择公理的不可测集】。

(一)，林益先生並未能正确地构造出要构造的不可测集合。

林益先生又一次地叙述了他心目中的【不可测集】的结构。

【将区间[0，1]的实数利用选择公理，按照有理数分类，分成可列个每类只含有一个有理数的等价类，每一类构成一个集合，即不可测集，区间[0，1]就被分成可列个不可测集合的并集，因为每一类构成的集合基数相同，勒贝格测度相等，如果每一个不可测集的勒贝格测度为零，区间[0，1]测度为零，显然与区间[0，1]测度为 1 矛盾；如果每一个不可测集的勒贝格测度大于零，按照阿基米德公理，说得清楚而啰嗦一点，就是可列个大于 0 的数相加是趋向无穷大，显然也与区间[0，1]测度为 1 矛盾；因此才称为勒贝格测度的不可测集。】

林益先生也知道在一般教科书上是怎样构造不可测集的。

 没Q为 (0,1) 中有理点集，对于 (0,1)中的点x与y，若 x-y∈Q，则记为 x～y，根据这一等价关系“～”，将(0,1) 中一切点分类，凡有等价关系者均属一类。这样一来，就只有一个类是全体有理数，而其它类都是由无理数构成。

接着，根据选择公理，在每一类中取出一点且只取一点形成点集并记为W，则 W 为不可测集。

这同林益先生说的把区间【分成可列个每类只含有一个有理数的等价类，每一类构成一个集合，即不可测集，】很不一样。

书上说的不可测集，是从每个类中只取一个元素构成的集合。林先生说的不可测集，是每个等价类构成一个集合，这能一样吗？更何况等价类的每个类要么全是有理数，要么全是无理数，并不符合林先生的要使每类只含有一个有理数的要求。

教科书中由于用选择公理保证了从每个类中选一个且只选一个元素构成的是一个集合W，这个集合才只含有一个无理数。书中在构造不可测集时，只构造了一个W是不可测集，并没有同时构造可数无穷多个W。更没有证明这可数无穷多个W能刚好构成区间(0,1)的等价类。林益先生说【区间[0，1]就被分成可列个不可测集合的并集】，作出这个推论并没有任何根据。而林益先生正是基于这个没有任何根据的论断【区间[0，1]就被分成可列个不可测集合的并集，...每一类构成的集合基数相同，勒贝格测度相等，】来论证构成的集合是不可测集。

然而教科书中并不是这样证明W不可测的。书中证明W不可测的思路是这样的。

将区间(-1,1)中全体有理数排成序列a1,a2,a3,...,an,...。构造可数无穷多个W的平移集合序列Wn=｛x+an丨x∈W｝。显然，对任何m,n，有Wm∩Wn=∅，而且这些Wn的测度都相等(集合的平移测度不变)。把所有的这可数无穷多个Wn的并集记作∪Wn，从而可证

(0,1) ⊂ ∪Wn ⊂(-1,2)。我们约定用m(A)表示点集A的测度，知m(0,1)=1，m(-1,2)=3，m(∪Wn)=∑m(Wn)。则有:

1 ≤ ∑m(Wn) ≤ 3。这就证明了W不可测，因为无论m(W)=0还是m(W)＞0，都不可能满足 1 ≤ ∑m(Wn) ≤ 3。

是不是林益先生把证明W不可测时构造的这可数无穷多个平移集合Wn，误认为是(0,1)的等价类了。Wn刚好有可数无穷多个，而且【每一类构成的集合基数相同，勒贝格测度相等，】【每一类里只有一个有理数，其它都是无理数】这些都同林益说得一致。但是有一条不满足，那就是这可数无穷多个Wn的并集∪Wn并不等于(0,1)。尽管可证(0,1) ⊂ ∪Wn，但∪Wn中却有不少点超出了(0,1)的范围，而落入在(-1,0)和(1,2)之中。因而不能认为这些Wn是区间(0,1)分成的的等价类。

综上所述，林益先生提出的不可测集的构造【将区间[0，1]的实数...分成可列个每类只含有一个有理数的等价类，每一类构成一个集合，即不可测集，区间[0，1]就被分成可列个不可测集合的并集，...每一类构成的集合基数相同，勒贝格测度相等...】。不仅不同于一般教科书中的讲述，而且也没有提出任何根据说明这样的集合可以构造出来。

 (二)，李振华先生所提的【不可测集】，竟然同林益先生所讲的【不可测集】的结构完全一样。

李振华先生在《0334》中提出了一个他认为是【最简明的】【不用选择公理定义不可测集】。非常有趣的是李振华先生所提的【不可测集】，竟然同林益先生所讲的【不可测集】的结构完全一样。

李振华先生这样讲。

【问题：将长度为1的线段“平均分”成“可数无穷多（记为H)”个部分，求每一部分的长度（记为a)。显然有a+a+a+a+........=a*H=1。矛盾。若a大于0，则a*H=无限。矛盾。于是a是不可测的。】

这显然同林益先生所说的【区间[0，1]就被分成可列个不可测集合的并集，...每一类构成的集合基数相同，勒贝格测度相等，...】在结构上完全相同。

我在上面己经讲过，说【区间[0，1]能够被分成可列个集合的并集，每一集合基数相同，勒贝格测度相等。】沒有任何根据 。当然，如果构造了这样的可数无穷个集合，那么就可以证明这些集合都是不可测集。问题是根据什么说能构造出这样的集合來？在沒有根据的情况下，就说能构造出这样的集合，这就是在逻辑上犯了【无根据推论】的错误。

 (全文完)

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