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Zmn-0335 薛问天：超穷数符号的更改不是用「超穷数ω」取代了「无限极限∞」

已有 5703 次阅读 2020-9-29 08:32 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0335 薛问天：超穷数符号的更改不是用「超穷数ω」取代了「无限极限∞」

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0327》林益先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

超穷数符号的更改

不是用「超穷数ω」取代了「无限极限∞」

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

薛问天-c.jpg 现对林益先生的《Zmn-0327》的回复逐条评论如下。

1，林益先生还没有完全理解黄汝广先生提出的从区间(0,1)中挖去无理数的过程。

由于有理数可数，从而可以排成无穷序列y1,y2,y3,...,yn,...。按照这个序列一个一个从(0,1)中挖去。在挖去n个有理数时，剩下n+1个开区间。林先生问这些剩下的开区间的端点【是有理数还是无理数呢？】显然这些剩余的开区间的端点，就是挖掉的那n个有理数和区问(0,1)的端点0或1。当然这些端点都是有理数。

林先生再问是否在这些开区间【里就没有有理数呢？】

当然还有，才挖走n个(有穷个)有理数，这n个有理数及0，1是这n+1个开区间的端点，这n+1个开区间中每个开区间里，此时还有无穷多个有理数和无穷多个无理数。按照不同的编号规定，这n+1个开区间可以赋有不同的编号。

2，林益先生说的对，这是原文笔误，y1,y2,y3,...,yn,...是有理数。

林益先生问【如果假定这个无理数就是√ 2，按薛问天老师规定，要挖去的有理数是 yn是什么有理数呢？它的值是多少呢？使得√ 2< yn，又是什么有理数 yn<√ 2，】

首先请林益先生关注到原文中有个注，(注：由于 √2 不在区间(0,1)中，无理数选√ 2/10 为例。)由于我们讨论的必须是区间内的数，此数√2/10是(0,1)中的无理数，所以在后面就选无理数√2/10 来参与讨论。

其次，我们所说的「规定」只是区间编号的规定，并不影响挖有理数的顺序。挖去有理数仍按有理数序列y1,y2,y3,...的次序一个个地挖去。【要挖去的有理数yn是什么有理数，它的值是多少】取决于开始时对有理数序列的设定。设定的yn是哪个有理数，这第n次挖去的yn，就是那个有理数，不受区间编号规定的不同而改变。此区间编号规定是，规定当√2/10＜yn时应取左边的区间为保留编号，当yn＜√2/10时应取右边的为保留编号。也就是说√2/10永远不会落在某新增区间之中。

林益先生接着问【也就是√2(应是√2/10) 的两边应该分别挖去哪两个有理数？】一共有可数无穷多个有理数，是一个一个地挖去的。所以挖去的不是两个有理数，而是在此无理数的两边按y1,y2,...的次序最后分别各挖去无穷多个有理数。这样形成的无穷序列中，只含有一个无理数√2/10。

3.2，3.3。关于「超穷数ω」和「无限极限∞」。

林益先生说【既然康托尔的集合论是各科数学的基础，必然包含数学分析中的极限理论，那么就应该有逻辑一致性，康托尔是用新数“ω”替换了旧的“∞”，实际已经改变了“∞”不是数的属性，为什么数学分析中还保留“∞”而改用“ω”，造成理论混乱？】

这是林益先生的一个很大的误解。在《超穷数理论基础》一书的引言中(由英文翻译者朱得因所撰写)说的那句话【为了强调这一点我们用"ω"取代了旧符号"∞"。】并不是林益先生所理解的那样:【康托尔是用新数“ω”替换了旧的“∞”，实际已经改变了“∞”不是数的属性，为什么数学分析中还保留“∞”而改用“ω”，造成理论混乱？】

恰恰相反，康托是为了将他提出的「超穷序数」同数学分析中的「无限极限」加以区分，才把它的「超穷序数」开始时所用的符号"∞"，取代为另一符号"ω"。这是指的超穷数本身的符号的更改，丝毫没有用第一个超穷序数ω去取代数学分析中的「无限极限∞」的意思。在数学分析中，∞是无限极限不是数的极限理论没有改变。

关于这一点该书的引言说得很清楚。书中明确写到【...设想成在有穷序列1,2,3,...之后再接一个超穷序列，我们曾经用符号"∞"记第一个超穷数...(原书第40页)】。所以说，这里的【我们用"ω"取代了旧符号"∞".(原书第42页)】指的是【曾经用符号"∞"记第一个超穷数】后来的更改，而不是用「超穷数ω」取代了「无限极限∞」。这是林益先生的一个严重误读。

林益先生说：【无穷编码数(01010101⋯)与无穷编码数(10101010⋯)只是比二进小数少了小数点，当二进小数的位数趋向无穷时，二进小数的末尾都有“⋯”，(0.01010101⋯)和(0.10101010⋯)与(01010101⋯)和(10101010⋯)难道不能构成一一对应吗？】

林益先生说的这段话是对的。无穷位编码数同无穷小数之间可构成一一对应。因而上面对所有可能的「编码规定」的集合不可数，即「所有无穷位二进制编码数集合不可数」，利用幂集定理的证明，可以基本上一字不差地用来证明二进制无穷小数集合不可数。

林益先生问：【二进小数完全可以用乘法定理来统计其势， n位二进小数共有2ⁿ个，当n →∞时，则 2ⁿ→ 2^∞，如果按康托尔用新数“ω”替换了旧的“∞”来证明，不是达到同样效果吗？】而且认为可数无穷集的幂集不可数，也是通过这个办法证明的。

直率地说，这个证法是错误的。混淆了两个不同的数系，极限论论述的是【实数】，集合论这里论述的是【基数】。极限论解决不了集合论中的基数的问题。我们来具体分析。

在极限论中∞是无限极限，它不是实数。因而当n→∞时2ⁿ→∞。也就是说当n→∞时序列2ⁿ的极限也是无穷大。并不是2ⁿ→2^∞。∞不是实数，根本就不能参与实数的运算，2^∞是没有意义的。怎么能作为基数不可数的证明呢？

林先生问【有严格证明吗？】回答是肯定的，当然有。这就是有名的康托尔幂集定理(也称康托尔定理)【任何集合的幂集的基数大于原集合的基数】。这个定理可以严格地证明，类似于对角线方法。(不要把康托尔幂集定理同集合论的幂集公理混为一谈。幂集公理说的是幂集的存在性【任何集合的幂集都是一个确定的集合】，它不涉及集合的基数。)

幂集定理的证明思路是这样的。

【证明】用反证法，假定存在集合S的基数同它的幂集P的基数相等，则集合S同P可建立一一对应关系，即存在一双射f:S→P。

我们知道，在此假定下S的任何元素s，在双射f下都对应于S的一个子集f(s)∈P。显然S中的元素s，有的s∈f(s)，而有的s∉f(s)。令那些不属于f(s)的s组成S的一个子集称为B∈P。即B=｛s∈S丨s∉f(s)｝。

令b∈S且f(b)=B。现在问b属不属于B？这里产生了一个矛盾。b∈B和b∉B都不成立。如果b∈B，由于B=f(b)，因而b∈f(b)，根据B的定义，b不在B集合中，即b∉B，这同b∈B矛盾。

反之，如果b∉B=f(b)，则根据B的定义，又推出b∈B，也是矛盾。此矛盾推翻了反证法的假定，从而得知P同S的基数不相等。加之知P的基数大于等于S的基数，最后得出，P的基数大于S的基数的结论，证毕。

这就是康托尔的幂集定理及其严格的证明。我在《0322》中所论述的就是利用幂集定理来证明，「所有无穷位二进制编码数集合不可数」，即所有可能的「编码规定」的集合不可数。

3.4。我主要强调的三点

林先生所指的《易023》不是我的文章。我在当时有关二叉树的一些文章中(如《易036》，《易076》等)。没有发现有什么问题。我当时主要强调的是三点。第一点是给定n，则长度为n的所有有穷枝集合的基数为2ⁿ，是有穷集。第二点是不限定长度为n，所有的有穷枝集合的基数是可数无穷大。第三点是所有无穷枝的集合是不可数的。另外，从某结点后全标记为0的所谓0类无穷枝，同所有的有穷枝集合等势，是可数的。

不少人分不清第二点同第三点的区别，错误地以为既然不限定长度，所有任意长度的有穷枝的集合就是所有无穷技的集合。这个认识是错误的，有穷枝就是有穷枝，不管n有多大，长度为n的枝仍然还是有穷枝，它不是无穷枝，无穷枝有无穷多个结点，长度是无穷的，不等于任何n。为此我有一篇文章专门作过详细论证(《易036-吕陈君：求教-能严格证明无穷ω-二叉树可以排列完所有实数吗？薛问天的跟帖。用“逐层递增计算法”证明所有(无穷)枝集合可数的错误》)。

3.5，「稠密分布」和「顺序排列」

我所说的「稠密分布」指的就是实数区间中的实数是从左到右，从小到大的稠密分布在数轴(直线)上的。【从左到右，从小到大】应该没有分歧，大家都承认实数集是个全序集。而且如果实数α＜β，则在实数轴上点α处在点β的左边。我这里所说的「稠密分布」指的是分布在数轴(直线)上，而不是分布在二维的区域上(没有【分布对应的是区域，不是区间】这样的林益所说的规定，数学上很多「分布」，如正态分布帕松分布等讲的都是在区间上的分布)。我之所以强调「稠密分布」，就是强调实数在直线上的分布一定要满足稠密性，即任何两个实数点之间有无穷多个实数。我为什么认为把实数点在数轴上的分布称为「顺序排列」是不适当的呢？因为这会给人产生一种错觉，误以为实数是按照「无穷序列」的这种离散的方式，一个接一个地以排队的方式「顺序排列」在实数轴上。显然滿足稠密性的实数，没有相邻点，不可能一个接一个地以排队的方式「顺序排列」在实数轴上。而是以一种稠密的方式分布在实数轴上的。其实「稠密分布」和【顺序排列】，这都是一般的汉语词汇，属自然语言，不是严格的数学概念。所以用词并不重要，重要的是所指的内容，只要不产生歧义就好。只要承认实数在数轴上的分布是【从左至右，从小到大】，并且满足【稠密性】无【相邻点】，和滿足【连续性】(请注意【连续性】同【稠密性】是两个不同问特性)，就应该算是基本上达成了共识。

林益先生最后提出了这样的问题：【是否存在两个无理数中没有有理数呢？这是否与实数稠密性和有理数稠密性矛盾呢？】

林益先生提的这个问题非常有趣，他没有说是在什么条件下来回答这个问题。条件不同完全有可能是完全相反的答案。

如果讨论的是在一个完整的区间，当然在区间中不可能在两个无理数中间没有有理数。否则就同实数的稠密性发生矛盾。但是如果我们讨论的不是一个完整的区间，而是把一个区间中全部无理数都挖走了以后剩下的数的集合。在这样的剩余数集合中，当然任意两个无理数中间就肯定没有有理数了，只有无穷多个无理数。因为在这个剩余集合中所有的有理数点都被挖走了，没有有理数，这是理所当然的事，同实数的稠密性一点矛盾都没有。而后一种情况正是我们讨论的情况。我们讨论的正是在从区间中挖走了全部有理数以后，所剩余的数集。

(全文完)

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