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Zmn-0334 李振华:贝特朗悖论补充,再谈不可测集,无穷大运算

已有 210 次阅读 2020-9-28 08:44 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0334 李振华:贝特朗悖论补充,再谈不可测集,无穷大运算

【编者按。下面是李振华先生发来的文章。是对《Zmn-0329》他自己文章的补充。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

贝特朗悖论补充,再谈不可测集,无穷大运算

李振华

我前面发的《贝特朗悖论……》,过于匆忙,存在笔误和不完善的地方,这里对它进行完善。

给定一个圆,随机选择一条弦,求弦的长度大于圆内接正三角形边长的概率。

假定弦的端点在圆上均分分布。圆的半径为1。

我们分三种情况来讨论,分别是有限,可数无限,连续统,每种情况分三种方法。在有限和可数无限的情形下,我们是用个数来谈概率,在连续统的情况下,我们才用长度来谈概率。

一、有限情形:

假定有n=12k个点均匀地分布在圆上(即任意两个相邻点之间的距离都相等)。12k个点确定12k(12k-1)/2条弦。

方法1、选定三角形的顶点为弦的一端,这个顶点的对边记为a,另一端所确定的弦只有和a有交点且不等于a的时候,弦的长度才会满足要求。

12k-1:另一端可选择的数目。

4k-1:另一端符合要求的数目。

(4k-1)/(12k-1):概率。

方法2、作圆的直径,垂直于该直径的弦,其中点只有位于直径的1/4至3/4之间,弦的长度才会满足要求。

(2k-1)/(6k-1):弦中点介于直径1/4至3/4的概率。直径两端在给定的12k个点之中。类型A。

2k/(6k):弦中点介于直径1/4至3/4的概率。直径两端不在给定的12k个点之中。类型B。

(6k-1)/(12k-1):类型A的权重。

6k/(12k-1):类型B的权重。

(2k-1)/(6k-1)*(6k-1)/(12k-1)+2k/(6k)*6k/(12k-1)=(4k-1)/(12k-1):概率。

方法3、弦的中点只有位于直径为原圆1/2的同心圆(小圆)之内,弦的长度才会满足要求。

12k(12k-1)/2:弦中点的数目。

12k(4k-1)/2:小圆内弦中点的数目。

12k(4k-1)/2/(12k(12k-1)/2)=(4k-1)/(12k-1):概率。

二、可数无限的情形。

在有限情形中,令n=12k趋于无穷大,取极限就是可数无限的结果。

(4k-1)/(12k-1)=1/3

三、连续统的情形。

方法一、弦的另一端的取值范围是圆,长度2pi,符合要求的取值范围是长度2pi/3的弧,概率是2pi/3/2pi=1/3。

方法二、如果弦的端点在圆上均匀分布,那么垂直于直径的弦中点在直径上就不是均匀分布,分布函数是:f(x)=arccos(1-x)。x是圆上点(半径和圆的交点)到半径上某点的距离,0代表圆上的点,1代表圆心。弦中点位于直径1/4至3/4之间的概率=位于半径1/2至1的概率=(f(1)-f(0.5))/f(1)=1/3。

方法三、

弦中点构成的平面点集A的面积:1、基于长度的计算:2pi2pi/2=2pi^2。2、基于个数的计算:圆上相邻点的距离d=2pi/n,A的面积=弦中点(弦)的数目*d^2=n(n-1)/2*(2pi/n)^2=2pi^2。

位于小圆内由弦中点构成的平面点集B的面积:1、基于长度的计算2pi/3*2pi/2=2/3pi^2。2、基于个数的计算:圆上相邻点的距离d=2pi/n,B的面积=小圆内弦中点(弦)的数目*d^2=n(4k-1)/2*(2pi/n)^2=2/3pi^2。弦中点位于小圆内的概率=B的面积/A的面积=2/3pi^2/(2pi^2)=1/3。

可以看到,在有限版本,可数无限版本中三种方法都是一致的,为什么一到连续统版本(按过去的方法,不按这里的方法)三种方法会得出三种答案呢?这值得深思。这里的哲学是:先研究有限,再研究无限,用有限推无限。如果一上来就直接研究无限,往往会产生悖论。

不用选择公理定义不可测集

传统的看法是,选择公理导致了不可测集,但是在这里,将证明这种说法是靠不住的,没有选择公理,同样可以定义不可测集。这里将给出一个最简明的不可测集。

问题:将长度为1的线段“平均分”成“可数无穷多(记为H)”个部分,求每一部分的长度(记为a)。

显然有a+a+a+a+........=a*H=1。若a等于0,则a*H=0。矛盾。若a大于0,则a*H=无限。矛盾。于是a是不可测的。

我以前的文章提出了等式:0*无限=任意数。有些人可能会说,0*无限=1,0*无限=2,1=2,矛盾。今天我就要指出这种逻辑的荒谬之处。

一个运算,有一个结果的,有多个结果的,有无穷多个结果的。同一个运算,参与运算的数不同,结果数也可能不同。3*3的运算结果有1个:9。0*无限的运算结果有无穷多个。0^0.5的运算结果有1个:0。1^0.5的运算结果有2个:1和-1。按照某些人的逻辑:1^0.5=1,1^0.5=-1,于是1=-1,矛盾。如果一个运算有2个结果,那么这两个结果就相等,这是多么荒谬的逻辑。

我们在这里所谈的无限,具有抽象性和绝对性。

无限的运算性质总结如下:

a/0=无限(a不等于0)。a/无限=0(a不等于无限)。0*无限=任意数。0/0=任意数。无限/无限=任意数。无限-无限=任意数。a*无限=无限(a大于0)。无限/a=无限(a大于0小于无限)。0^0=任意数。无限^0=任意数。1^无限=任意数。无限+a=无限(a不等于负无限)。无限-a=无限(a不等于无限)。



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