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Zmn-0334 李振华：贝特朗悖论补充，再谈不可测集，无穷大运算

已有 2435 次阅读 2020-9-28 08:44 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0334 李振华：贝特朗悖论补充，再谈不可测集，无穷大运算

【编者按。下面是李振华先生发来的文章。是对《Zmn-0329》他自己文章的补充。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

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贝特朗悖论补充，再谈不可测集，无穷大运算

李振华

我前面发的《贝特朗悖论……》，过于匆忙，存在笔误和不完善的地方，这里对它进行完善。

给定一个圆，随机选择一条弦，求弦的长度大于圆内接正三角形边长的概率。

假定弦的端点在圆上均分分布。圆的半径为1。

我们分三种情况来讨论，分别是有限，可数无限，连续统，每种情况分三种方法。在有限和可数无限的情形下，我们是用个数来谈概率，在连续统的情况下，我们才用长度来谈概率。

一、有限情形：

假定有n=12k个点均匀地分布在圆上（即任意两个相邻点之间的距离都相等）。12k个点确定12k(12k-1)/2条弦。

方法1、选定三角形的顶点为弦的一端，这个顶点的对边记为a，另一端所确定的弦只有和a有交点且不等于a的时候，弦的长度才会满足要求。

12k-1:另一端可选择的数目。

4k-1:另一端符合要求的数目。

(4k-1)/(12k-1)：概率。

方法2、作圆的直径，垂直于该直径的弦，其中点只有位于直径的1/4至3/4之间，弦的长度才会满足要求。

(2k-1)/(6k-1):弦中点介于直径1/4至3/4的概率。直径两端在给定的12k个点之中。类型A。

2k/(6k):弦中点介于直径1/4至3/4的概率。直径两端不在给定的12k个点之中。类型B。

(6k-1)/(12k-1):类型A的权重。

6k/(12k-1):类型B的权重。

(2k-1)/(6k-1)*(6k-1)/(12k-1)+2k/(6k)*6k/(12k-1)=(4k-1)/(12k-1):概率。

方法3、弦的中点只有位于直径为原圆1/2的同心圆（小圆）之内，弦的长度才会满足要求。

12k(12k-1)/2:弦中点的数目。

12k(4k-1)/2:小圆内弦中点的数目。

12k(4k-1)/2/(12k(12k-1)/2)=(4k-1)/(12k-1):概率。

二、可数无限的情形。

在有限情形中，令n=12k趋于无穷大，取极限就是可数无限的结果。

(4k-1)/(12k-1)=1/3。

三、连续统的情形。

方法一、弦的另一端的取值范围是圆，长度2pi，符合要求的取值范围是长度2pi/3的弧，概率是2pi/3/2pi=1/3。

方法二、如果弦的端点在圆上均匀分布，那么垂直于直径的弦中点在直径上就不是均匀分布，分布函数是：f(x)=arccos(1-x)。x是圆上点（半径和圆的交点）到半径上某点的距离，0代表圆上的点，1代表圆心。弦中点位于直径1/4至3/4之间的概率=位于半径1/2至1的概率=(f(1)-f(0.5))/f(1)=1/3。

方法三、

弦中点构成的平面点集A的面积：1、基于长度的计算：2pi2pi/2=2pi^2。2、基于个数的计算：圆上相邻点的距离d=2pi/n，A的面积=弦中点（弦）的数目*d^2=n(n-1)/2*(2pi/n)^2=2pi^2。

位于小圆内由弦中点构成的平面点集B的面积：1、基于长度的计算2pi/3*2pi/2=2/3pi^2。2、基于个数的计算：圆上相邻点的距离d=2pi/n，B的面积=小圆内弦中点（弦）的数目*d^2=n(4k-1)/2*(2pi/n)^2=2/3pi^2。弦中点位于小圆内的概率=B的面积/A的面积=2/3pi^2/(2pi^2)=1/3。

可以看到，在有限版本，可数无限版本中三种方法都是一致的，为什么一到连续统版本（按过去的方法，不按这里的方法）三种方法会得出三种答案呢？这值得深思。这里的哲学是：先研究有限，再研究无限，用有限推无限。如果一上来就直接研究无限，往往会产生悖论。

不用选择公理定义不可测集

传统的看法是，选择公理导致了不可测集，但是在这里，将证明这种说法是靠不住的，没有选择公理，同样可以定义不可测集。这里将给出一个最简明的不可测集。

问题：将长度为1的线段“平均分”成“可数无穷多（记为H)”个部分，求每一部分的长度（记为a)。

显然有a+a+a+a+........=a*H=1。若a等于0，则a*H=0。矛盾。若a大于0，则a*H=无限。矛盾。于是a是不可测的。

我以前的文章提出了等式：0*无限=任意数。有些人可能会说，0*无限=1,0*无限=2,1=2，矛盾。今天我就要指出这种逻辑的荒谬之处。

一个运算，有一个结果的，有多个结果的，有无穷多个结果的。同一个运算，参与运算的数不同，结果数也可能不同。3*3的运算结果有1个：9。0*无限的运算结果有无穷多个。0^0.5的运算结果有1个：0。1^0.5的运算结果有2个：1和-1。按照某些人的逻辑：1^0.5=1,1^0.5=-1，于是1=-1，矛盾。如果一个运算有2个结果，那么这两个结果就相等，这是多么荒谬的逻辑。

我们在这里所谈的无限，具有抽象性和绝对性。

无限的运算性质总结如下：

a/0=无限（a不等于0）。a/无限=0（a不等于无限）。0*无限=任意数。0/0=任意数。无限/无限=任意数。无限-无限=任意数。a*无限=无限（a大于0）。无限/a=无限（a大于0小于无限）。0^0=任意数。无限^0=任意数。1^无限=任意数。无限+a=无限（a不等于负无限）。无限-a=无限（a不等于无限）。

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