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Zmn-0359 薛问天：搁置次要分歧，在主要问题上取得共识。评师教民先生的《0357》《0339》。

已有 1405 次阅读 2020-11-14 10:00 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0359 薛问天：搁置次要分歧，在主要问题上取得共识。评师教民先生的《0357》《0339》。

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0357，0339》师教民先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

搁置次要分歧，在主要问题上取得共识。

评师教民先生的《0357》《0339》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

(一)，先回答《0357》中的问题。

师先生问【1)您说的上述两个函数中的函数y=f (x) 是否组成我们已经达成共识的复合函数 y=h (y)的两个函数 y=f (x)和 x=g (y)中的函数 y=f (x)？ 】

我的回答「是，没错。」明确的说「函数y=f (x) 是组成复合函数 y=h (y)的两个函数之一，另一个函数是x=g(y)。」

师先生问【2)您说的上述两个函数中的函数 y=f (x)的自变量 x 是否等于组成复合函数 y=h (y)的函数 y=f (x)和 x=g (y)中的 g (y)？】

我的回答是「错，不是。」

作为两个函数之一的y=f(x)，ⅹ是其「自变量」，即不要求令x=g(y)，也不要求令x≠g(y)。也就是说当ⅹ是「自变量」时，才是函数y=f(x)。在组成复合函数时，为求复合函数的映射f·g，按复合函数的定义，才令x=g(y) 。此时x已不是「自变量」了，自变量此时是y，x是复合函数的中间变量。也就是说，令x=g(y)后，函数己是复合函数y=h(y)了，而不是函数y=f(x)。

这里有一种混淆概念的说法。把复合函数y=h(y)说成是【自变量x等于g(y)的函数y=f(x)】，把复合函数说成似乎是函数y=f(x)。殊不知是在构造复合函数时，才令x=g(y)。一旦令x=g(y)，函数就不是函数y=f(x)了，而是复合函数y=h(y)了。这种把函数y=f(x)同复合函数y=h(y)混淆的说法是相当有害的，这会带来后面求导数求微分时的严重混乱。

(二)，现在回答师教民先生在《0339》提出的共识。

师先生说【①由函数 y=f (x)和 x=g (y)组成的复合函数记做y=h (y)或 y=f [g (y)]或 y=f (x) [x=g (y)]，并且，3 个函数式里左边的 y，都是该复合函数的因变量；函数式里的 h (y)和 g (y)中的 y，都是该复合函数的自变量3 个函数式里左边的 y，都是该复合函数的因变量；函数式里的 h (y)和 g (y)中的 y，都是该复合函数的自变量；函数式里的 y=f (x)和 x=g (y)中的 x，都是该复合函数的中间变量．】

我的回答是「对」，但是没有说清它的跟据和逻辑关系。应改写为「①根据复合函数的定义，由函数 y=f (x)和 x=g (y)组成的复合函数，它的映射关系是复合映射:f·g，变量y是它的因变量也是它的自变量，x是它的中间变量。复合函数记做y=h (y)或 y=f [g (y)]或 y=f (x) [x=g (y)]。因而，3 个函数式里左边的 y，是该复合函数的因变量；函数式右边标记中的 y，是该复合函数的自变量；标记中的x是中间变量。」

【②下述等式 y=h (y)=f [g (y)]=f (x) [x=g (y)]成立．】

我的回答「对」。

【③由于函数式 y=h(y)中的函数关系是 h，所以由 y=h(y)标记的上述复合函数简称为复合函数 h 或 h 复合函数，也就是上述复合函数 y=h(y) 的名称为复合函数 h 或 h 复合函数；由于函数式 y=f [g (y)]和 y=f (x) [x=g (y)]中的函数关系是 f·g，所以由 y=f [g (y)]和 y=f (x) [x=g (y)]标记的上述复合函数简称为复合函数 f·g 或 f·g 复合函数，也就是上述复合函数 y=f [g (y)]和 y=f (x) [x=g (y)] 的名称为复合函数 f·g 或 f·g 复合函数． 】

我的回答是「结论对，但上述的用【由于...，所以...】表述理由是不对的」。因为命名是一种约定(定义)，不需要论证和追究其根据。所以应改写为「我们约定(定义)复合函数的名称为复合函数h，或复合函数f·g。」

【④复合函数 f·g 和复合函数 h 是由 y=f (x)和 x=g (y)组成的同一个复合函数的两个等价名称，所以复合函数 f·g 和复合函数 h 是同一个函数；y=h(y)，y=f [g (y)]，y=f (x)[x=g (y)]是同一个函数的三个等价标记，所以y=h(y)，y=f [g (y)]，y=f (x)[x=g (y)]「标记的」是同一个函数．】

我的回答是「对」。不过我在最后一句中增加了三个字「标记的」。

师教民先生在《0339》最后又重复了《0323》中的问题。

【请薛问天先生回答下述 2 个问题：

①函数 y=f (x) [x≠g (y)]和由函数 y=f (x)，x=g (y)组成的复合函数 y=f (x) [x=g (y)]是否同一个函数？

②等式 f (x)[x≠g (y)]=f (x)[x=g (y)]是否成立？】

其实我在《0330》中已经作了回答。我说，我的回答是「无法囬答」。原因是其中的y=f(x)[其中x≠g(y)]，没定义清楚，不知是什么。而且分析了师先生对函数y=f(x)[其中x≠g(y)]的解释。要知道我们的讨论只涉及4个函数，f,g,h,k。而且只讨论了其中前三个。我简单问你，你的函数y=f(x)[x≠g(y)]，是哪个函数？还是又新定义了第5个函数？要定义一个函数，必须说清楚函数的映射关系，你说清楚了吗？

(三)，下面对《0339》师教民先生的回复谈点意见。

我认为应当搁置次要分歧，争取在主要问题上取得共识。这是我们讨论中的明智举措。一些次要问题争來争去实在没有意义，浪费时间。不如把宝贵的精力，争取在一些主要问题上取得共识，搁置一些次要分歧的争论。例如:

(1)，复合函数的名称和标记的分组问题

薛问天说【复合函数的两个各称和三个标记的地位是同等的．所指称和标记的函数是一个】所以不存在分两组的问题:，而师教民说【虽然是事实，但是它限制不了用*两组内容来描述复合函数的两个名称和三个标记】，所以师先生认为这一事实不能作为【不存在】【分两组】的理由。

这一分歧可以搁置，不再争论。不伤大局。

(2)，复合函数的标记的隐蔽性问题。

师教民说【在有些标记里，就有隐蔽性的问题了．例如，在标记 y=h (y)里，中间变量 x 和 x 等于的 g (y)都隐蔽起来，所以叫全隐；在标记 y=f [ g (y)]里，中间变量 x 本身隐蔽来，x 等于的 g (y)代替 x 显示出来，所以叫半隐半显；在标记 y=f (x) [x=g (y)]里，中间变量 x 和 x 等于的 g (y)都显示出来，所以叫全显．】

薛问天说：【三个标记都是一样的，只有知道了它标记的是复合函数的定义后,这一切才是明确的，公开的．因而不存在标记的不同的隐蔽性的问题．】

这个问题也属次要问题，可以搁置，不再争论。至于师先生说【等到薛问天先生按照我的要求回答了我提出的问题以后，【讨论这种标记的不同隐蔽性】的【意义】就会明显地表现出来．】

我不认为这有计么意义，起码现在还没有【明显地表现出來】它的意义。所以暂时搁置不伤大局，待真的表现出有意义时，再争论不迟。

(3)，关于导数是函数的导数还是变量的导数问题。

其实这个问题我们对「导数是函数的导数」是有共识的，师先生也认可这个论断。只是我对【导数是变量的导数】的提法有保留，认为要有一定的条件。因而在如何准确表述上有一定的分歧。我认为对这个问题可以采取「坚持共识，搁置分歧」的方法，不再争论。只要在【变量的导数】表述中，不违反我们的共识，从表述或上下文中能正确地确定它是哪个函数的导数即可。

我之所以反对把函数y=f(x)的导数f'(x)说成是复合函数y=h(y)的因变量y对中间变量x的导数，是因为这种表述混淆了导数f'(x)究竟是哪个函数的导数。本应是函数f的导数f'(x)=dy①/dx①，结果错误地导致成是函数h的导数f'(x)=dy③/dx①，这里dy①是函数f因变量的微分，而dy③是复合函数h因变量的微分。导致错误的原因就是没弄清导数f'(x)是函数f的导数，而不是复合函数h的导数。

(4)，关于函数y=f(x)[x≠g(y)]的定义不清的问题，

这个问题也可搁置，同我们的讨论没有关系。

(四)，应该取得共识的基本点。

我认为经过这么长时间的讨论，应该达成的共识的基本点如下。

(1)，我们的讨论涉及四个函数，关注的是前三个。

①，函数y=f(x)。

②，函数x=g(x)。

③，函数y=h(y)=f[g(y)]，它是由函数 y=f (x)和 x=g (y)组成的复合函数，

④，函数x=k(x)=g[f(x)]，由函数 x=g (y)和y=f (x)组成的复合函数，在讨论中未具体关注。

(2)，函数的导数。

①，函数y=f(x)的导数是f'(x)=dy①/dx①。

②，函数x=g(x)的导数是g'(y)=dx②/dy②。

③，函数y=h(y)的导数是h'(y)=dy③/dy②=f'(x)g'(y)。

(3)，函数的微分。

①，dy①是函数y=f(x)因变量的微分，dx①=Δx是函数y=f(x)自变量的微分。

②，dx②是函数x=g(x)的因变量的微分，dy②=Δy是函数x=g(x)的自变量的微分。

③，dy③是函数y=h(y)的因变量的微分，dy②也是函数y=h(y)的自变量的微分。

(4)，特殊关系。

由于y=f (x)和 x=g (y)互为反函数，则它们的函数、导数和微分间有些特殊关系。

①，由于y=f (x)和 x=g (y)互为反函数。则由它们组成的复合函数y=h(y)是恒等函数，即y=h(y)=y。

②，由于复合函数y=h(y)是恒等函数，导数等于1，即h'(y)=dy③/dy②=1，于是dy③=dy②。

③，由于y=f (x)和 x=g (y)互为反函数，根据反函数导数定理，它们的导数互为倒数。即f'(x)=1/g'(y)，亦即dy①/dx①=1/(dx②/dy②)，即dy①/dx①=dy②/dx②，即dy①dx②=dy②dx①=ΔyΔx。

(5)，由于函数因变量的微分是函数增量的线性主部，所以对于一般函数來说，函数因变量的微分不等于函数增量。于是在这里，由于dy②=Δy，dx①=Δx是函数增量，所以一般讲，dy①≠dy②，而且dx①≠dx②。

以上5个基本点都是根据二代微积分的定义定理严格推导出來的。我希望最起码能对以上5个基本点求得共识。不知师教民先生有何异义。

(五)，争论的焦点。

什么是我们争论的主要问题？什么是我们争论的焦点？

不要忘了我们争论的问题是我反对师教民先生认为第二代微积分中有矛盾的论点。他说他证明了dy①=dy②，dx①=dx②。当然，如果师先生真的证明了这两个等式，就同基本点(5)的dy①≠dy②，dx①≠dx②发生了矛盾。第二代微积分就存在矛盾了。只可惜他的证明都被我一一驳倒了。`他证明的错误主要源于混淆了函数y=f(x)因变量的微分dy①同复合函数y=h(y)因变量的微分dy③。由于可证dy③=dy②(基本点(4) ②)。师先生就以此得出了dy①=dy②的错误结论。

经过这么长时间的讨论，不知师先生是否还坚持认为他可以证明dy①=dy②，dx①=dx②。如果还有什么新的【证明】，不妨写出來让大家评评，看看错在哪里？

(全文完)

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