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Zmn-0340 薛问天:错误的【基数定义】导致错误的推论,评李鸿仪先生的《0332》

已有 223 次阅读 2020-10-14 11:25 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0340 薛问天:错误的【基数定义】导致错误的推论,评李鸿仪先生的《0332》

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0332》李鸿仪先生文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。】

 

 

错误的【基数定义】导致错误的推论,

评李鸿仪先生的《0332》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg众所周知,数学是一门逻辑非常缜密的学科。每个数学概念都有确定的含义。而人们了解和把握一个数学概念确切含义的唯一途径就是通过数学概念的【定义】。如果定义搞错了,推论的结论自然就失去了正确的依据,常常是产生错误的根源。

 

 (一),错误的【基数定义】。

李鸿仪先生论述的基本依据,是一个错误的【基数定义】,那么在此基础上推论的所有结论,它的正确性就可想而知了。我们来看李鸿仪先生提出的错误的【基数定义】:

定义1:集合中的元素数目称为基数或势】。

在数学中没有这样的定义,这是李先生主观想像强加给数学的定义。李先生承认:【尽管康托并没有明说,而是有点模糊(有意无意我不得而知),但实际上显然有以下定义成立】。也就是说,李先生所给出的这个定义不是康托给出的定义,而是李先生本人认为【实际上显然有】的定义。

这个定义的陈述本身就不符合数学定义的基本要求。什么是定义?定义要求用「己知确切含义的概念」来定义「含义未知的概念」的确切含义。也就是说,用已有定义的概念来定义尚未有定义的概念。因而数学上的任何概念的定义都有相应的一个定义链,一层层的归溯,一直归溯到为数不多的没有定义的原始概念。而这些原始概念的确切含义由有关的「公理」来规约。

不要用一般学科中的「定义」来理解数学的定义。在一般学科中常把对概念的说明和解释也叫作「定义」。在这些描述性的「定义」中自然允许用一些直观的,未加严格定义的概念。但是在数学中这是绝对不允许的,除了极少数的原始概念外,用来定义其它概念的概念本身必须是有严格定义的概念。

我们来看李先生的【基数定义】。用【集合中的元素数目】來定义基数(势)。这显然不能作为数学定义。因为对于无穷集合來说,【集合元素的数目】本身就是一个没有定义的直观概念,怎么能用來定义【基数(势)】呢?

对无穷集合来说,什么是「无穷集合元素的数目」,没有严格的数学定义。也就是说,「无穷集合元素的数目」不是个严格的数学概念,而是一个在各个人的脑海中的「直观概念」。大多数数学家和专业人士认为康托定义的「集合的基数(势)」 可以看作是 「无穷集合元素的数目」的严格定义。但这毕竟是一种【认为】和【看作】,并没有完全划等号。是「仁者见仁,智者见智」。因为一边是直观概念一边是严格的数学概念,不可能用证明的方法证明两者相等。更不能用定义的形式使两者等同,只能靠实践来体会,看两者是否匹配。实践证明在大多数情况下,这两者还是比较匹配的。

可见李先生提出的【基数定义(定义1)】,不仅是数学上没有的定义,而且是个错误的定义。

 

 (二),真正的正确的【基数定义】

实际上,我们早先已经讨论了这个问题。在《Zmn-0102 薛问天:谈严格的「数学定义」-评李鸿先生的错误论点。   2020-2-20 》一文中已介绍了基数的正式数学定义,並画出了它的定义链。

众所周知,康托是用一一对应定义基数概念的。

【基数定义】如果集合X和Y能一一对应,则称集合X和Y的基数相等,反之如果集合X和Y不能一一对应,则称集合X和Y的基数不相等。如果集合X能同Y的一个真子集一一对应,则称集合X的基数小于或等于Y的基数。

由一一对应定义了基数,「一一对应」并不是一个由你从它的字面含义可以根据你的直观随意理解和解释的概念,而是一个有严格定义的概会。由双射定义了一一对应。

由映射定义双射,由关系定义映射,...,形成一个定义链,一直追溯到原始概念「集合」。这一切都有严格的数学定义,不能随意解释。

一一对应定义链-3.jpg

正是由于有了正确的「基数定义」,一些基数的性质才能得以证明。例如李先生所述的性质。

性质1(基数不变性):集合的元素不增不减时,集合的基数不变的】

这个性质很容易由基数定义來证明。因为任何集合都同元素不增不減的它自己一一对应,所以基数相等。其实这个性质并不重要,重要是同有穷集合不同的如下性质。

「性质2(无穷集合基数不变性):任何无穷集合,它的元素增加或减少有穷个或可数无穷个元素时,只要结果还是无穷集合则它的基数是不变的」。这个性质可以由基数的正确定义严格证明(证明略)。但是如果用李先生的错误的【基数定义(定义1)】就无法证明。

了解了李先生的【基数定义:】的错误,就不难看出他的如下命题和相应证明的错误。

命题1:无穷集同它的任何一个真子集的基数不同。

证明:如果无穷集同它的某个真子集基数相同,则根据定义1,无穷集同它的这个真子集的元素数目相等,但根据真子集的定义,任何集合的元素数目必定是多于其真子集的元素的,矛盾!所以,无穷集同它的任何一个真子集的基数不同。证毕

既然对于无穷集來说【集合的元素数目】,没有数学定义,你根据什么断定【任何集合的元素数目必定是多于其真子集的元素的】。也就是说,除了李先生引用了错误的基数定义外,在证明中还犯了「无根据推论的错误」。正相反,我们承认的基数的性质2,是经过严格证明的。这里要说明的是:证明中提到矛盾並不是【客观存在的】,而是产生于李先生毫无根据的对无穷集的【集合的元素数目】的主观错误断言: 【任何集合的元素数目必定是多于其真子集的元素的】。

 

(三),对基数和一一对应的错误理解。

李先生在文中给出如下错误命题和证明。

命题 2 ,对无限集合,不能用一一对应研究其基数。

证明 对任何集合,若能用一一对应研究其基数,根据基数不变性,基数不会因为对应方法的不同而不同,即任何一种一对一(即没有一对多或多对一的对应方法)的对应方法所得出的结果都是一样的。但实际上只有有限集合可以做到这一点,无限集合则存在反例,所以,对无限集合,不能用一一对应研究其基数。证毕。

李先生把集合的一一对应,理解为【对应方法所得出的结果】,认为集合间存在映射(对应方法)是双射就是一一对应,存在映射(对应方法)不是双射,就不是一一对应。这是对集合的一一对应的严重误读。我们多次强调,要掌握数学概念的确切含义必须根据它的定义。我们來看一一对应的定义。'

【定义1(一一对应)】如果存在集合X到集合Y的双射。则称集合X同集合Y一一对应。

集合X和Y间,如果存在从X到Y的映射是双射,则称X,Y一一对应,X,Y基数相等(等势)。

那么在什么情况下,称X,Y不一一对应,X,Y基数不相等(不等势)呢?。李先生错误地以为【存在从X到Y的映射不是双射,则称X,Y不一一对应,X,Y基数不相等(不等势)】。这种理解是错误的。称X,Y不一一对应,X,Y基数不相等(不等势)应是指「任何从X到Y的映射,都不是双射。」

 

这个错误是一个非常简单的逻辑常识性错误。

我们都知道在谓词逻辑中,全称量词和存在量词在否定时是互逆的。即命题A:“存在着x,具有性质P(x)”的否定命题﹁A,应当是:“对于所有的x,皆不具有性质P(x)”,或者说是:“对于所有的x,皆有﹁P(x)”,而不能是“存在有x,使﹁P(x)成立”。

这是一个非常简单的逻辑常识。例如讨论某班的学生性别。命题“存在有男生”的否命题应当是“所有皆女生”,而不是“存在有女生”。 “存在有男生”同“所有皆女生”是相互否定的命题。但是“存在有男生”同“存在有女生”并不是相互否定的命题。

这个问题早就讨论过,见《Zmn-001》 (亦见易126,183)。

李先生问:【如果两个集合之间有多种不同的对应方法,只要其中一种符合一一对应,这两个集合的元素就是一一对应的。请问为什么?有证明吗?如果没有证明,从何而来?

至于李先生的问题,如果是指为什么【集合X和Y间,如果存在从X到Y的映射是双射,则称X,Y一一对应。】这就不需要回答,因为这就是两个集合一一对应的定义。定义不需要问【为什么】,不需要证明,定义只是一种约定。

如果问题是指为什么【称X,Y不一一对应,是指「任何从X到Y的映射都不是双射」,而不是「存在从X到Y的映射不是双射」】则是可以由谓词逻辑的有关否定词后的量词互反的规律严格证明的。

 

(四),关于有穷集同无穷集的不同性质

李先生问【无穷集具有同有穷集不同的规律和性质?有严格的演绎证明吗?

首先要澄请一点,我说的并下是指所有的性质和规律,有穷集同无穷集都不同,而是有些相同有些不同。至于哪些性质相同哪些性质不同,要具体分析,不可一概而论。特别是不能以为在有穷集成立的性质对无穷集就一定成立。无论成立不成立都要经过严格的证明,而不能妄加断定。

李先生断定【命题3 。有限时成立的某公式或规律,若可以用数学归纳法或通式推广至无限,则该公式或规律在无限时也成立。】说的也太宽泛。要具体分析你这里指的【有限】和【无限】指的什么。刚好手头就有一个现成的例子,需要区分【任意有穷】和【无穷】这两个不同的概念。在这里数学归纳法所证明的是【任意有穷】而并不是【无穷】。详见《0337》。

「在区间(0,1)中挖去任意有穷个有理数」,同「在区间(0,1)中挖去全部无穷个有理数」,这两者显然是不同的,但有人就是分不清。。

【定理】「在区间(0,1)中挖去任意有穷个(n个)有理数」,结果是「剩余有穷个(n+1个)开区间。

这是可以严格用数学归纳法证明的,对于所有的无穷个自然数n都成立的定理。但是对于「在区间(0,1)中挖去全部无穷个有理数点」,结果并不成立,结果并不是「剩余有穷个开区间。即如下的命题【「在区间(0,1)中挖去全部无穷个有理数点」,结果是「剩余有穷个开区间。】并不成立。

这个例子说明【无限】并不是【任意大的有限】。因而李先所说的【将无限定义为有限的无终点的无限延伸即任意大的有限】是错误的,是脑子的分辨率太低,清晰度不够。分不清【挖去任意有限个有理数点】同【挖去全部无限个有理数点】的区别。这一点也不【自然】,完全不【符合客观世界的发展规律。】

 

 (五),关于对角线法

康托尔的对角线法证明的是单位区问(0,1)中的实数不可数,即所有【无穷小数】不可数。康托尔的对角线法是实施在所有【无穷小数】上的。可是李先生的脑子不清晰,分不清【任意有穷小数】同【无穷小数:】的区别,李先生论证的结论只是【b’也已经列出了!……上述规律对于4,5,6…任意位二进制小数都成立,......任何时候都不存在康托所想象的那样,会出现 b’没有列出的矛盾,因此,对角线证明不能成立。】他论证的对角线法无效只是对【任意位二进制小数】而言的。这点没错,对于【任意给定的n位二进制小数】的序列来讲,它的对角线也只有n位,相应的b'肯定在此n位二进制小数的序列当中,用对角线法证明它不可数失效。既使给【任意有穷小数】后面补上0, 变成【0类无穷小数(同有穷小数等价)】,它的对角线是无穷位小数,这样生成的b'尽管已经不在【0类无穷小数】的序列之中,但由于不能保证b'

是【0类无穷小数】,对角线法同样失效。用在【任意有穷小数】上论证对角线法无效,來证明在【无穷小数】上无效,你能接受这样的【论证】吗?

要知道所有【任意有穷小数】的集合本來就是可数的,自然不能用对角线法证明它不可数。李先生用的是什么逻辑?对角线法证明不了所有【任意有穷小数】的集合不可数,就推论出对角线法在证明所有【无穷小数】的集合不可数上无效吗?

李鸿仪先生说【我以为我已经很简单、很严格地把问题说清楚了,其实是混淆了【任意有穷小数】同【无穷小数】两个不同概念的区别,误以为根据对角线法对【任意有穷小数】失效,就可以推论出对【无穷小数】也失效。

 

(六),关于结论。

关于后面的一些论述,涉及到很多没有严格定义的概念,就不再评论了。

关于结论,我仍然坚持认为「序列xn和yn的极限都是无穷大,也就是说它们的【极限】是【相等】的(都是∞)。集合x和y的基数都是可数无穷,它们的【基数】是【相等】的。极限和基数是两个不同的属性概念。既使有极限不等,基数相等的情况也很正常。这里并无任何【冲突】和【矛盾】,理论上是协调的一致的。所以说,李先生所谓集合论对无限问题的把握与数学分析有冲突,其可靠性是存疑的。】的论点不符合事实,並不成立。」

李先生认为【从数学分析的角度来看,证明1,2已经严格地证明了序列xn和yn的极限虽然都是无穷大,但并不相同,因此集合A和B的元素数目即基数不同,这与集合论是冲突的,后者认为集合A和B的元素数目即基数相同。所以说,集合论对无限问题的把握与数学分析有冲突,其可靠性是存疑的。】这中间所说的【但并不相同,因此集合A和B的元素数目即基数不同】,没有说明是什么【并不相同】就使得基教不同,缺乏严格的推论。况且可以严格证明它们的基数是相同的(数学分析中求极限的无穷序列的基数都相等,是可数无穷。)

李先生常愛用一些没有严格定义的概念来主观臆想,如他说【如果把无限定义为有限的无限制延伸,则延伸的起点、速度和加速度都可以不同,这时∞1/∞2就会有各种各样不同的结果。例如,如果分子以加速度延伸,分母是匀速延伸,那比值就是无穷大;再比如说如果分子分母都是匀速延伸,但速度不同,那比值就是某一个常数。】

其中的【无限制延伸】,【延伸的起点、速度和加速度】【匀速延伸】等都是没有在数学中严格定义的数学概念,只能是李先生的直观臆想中的描述和解释,不能作为数学的定义。从而也不能作为数学推理的任何根据。

李先生最后总结说【至于集合论,由于其出发点是一一对应,命题2已经证明了这种方法对于无限集合是错的,且对角线证明不能成立,所以集合论在无限问题上从头至尾都是错的,与数学分析的冲突当然是必然的。

由于我在本文中己严格证明,李先生的命题2,是错误的(见本文三),以及后面的关于对角线方法无效的论述都是错误的 (见本文五),自然李先生据此所得的结论就成水中泡影了,不攻自破。

(全文完)

 


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