Zmn-0342 薛问天：这里清清楚楚没有疑惑，答新华先生的《0341》

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0341》新华先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

这里清清楚楚没有疑惑

答新华先生的《0341》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

非常高兴对新华先生的几点困惑解笞如下。

【一、要认清【任意有穷】和【无穷】的区别的关键是：无穷的定义是什么？无穷与任意有穷的区别究竟是什么？无穷与任意有穷的界限究竟是什么？请头脑清晰的薛问天先生能够像“高分辨率的相机拍照出的人像，眉毛一根一根看的很清晰。”的那样解释清楚。 】

假定你已知什么是自然数集合 N=｛0,1,2,...,n,...｝。那么【任意有穷集】就是存在一个n，能使其同集合｛0,1,2,...,n)建立一一对应的集合。

【无穷集(这里指的是可数无穷集)】，指的是能同全体自然数集N一一对应的集合。

这就是【有穷集】和【无穷集】的定义，区别和界限。

【二、在区间(0,1)中挖去【可数无穷个全部有理数】，【最后剩余可数无穷多个剩余部分。】究竟应该是什么？如何表示这【最后剩余可数一剩余部分】？ 

这是黄汝广先生的观点，本人並不完全同意。黄先生论证这些部分或者是空集或者是由无理数构成的单独点集合，是对的。但黄先生认为剩余的只有一个这样的无穷序列(可数无穷个集合)不对，实际上不至一个，而是有不可数无穷多个这样的序列。每个无穷序列的并集或者是空集，或者是由单独的无理数构成的集合。

【三、【「在区间(0,1)中挖去可数无穷多个全部有理数」，最后剩余的部分是由所有可能的编号规定所形成的不可数无穷多个无穷序列。】这不可数无穷多个无穷序列的项是由什么样的数构成的？如何区分这些不可数无穷多个无穷序列？

这些不可数无穷多个无穷序列的含义又是什么？ 】

在只挖去有穷个有理数时，(即在任意有穷时)，剩余的是有穷个开区间，在不同的编号规定下共编成2ⁿ个有穷开区间序列。序列的项是开区间。

在挖去全体无穷个有理数后，(即在无穷后)，剩余的已不是有穷个开区间了，而是在所有可能的不同的编号规定下共编成的不可数无穷多个无穷序列。我们选择了其中的不可数无穷多个编号规定(对应于每个无理数α)。每个编号规定相应地形成一个无穷序列。可证这些序列的项全是空集或有一个项是由一个无理数构成的单个元素集。也就是说每个序列的并集要么是空集，要么是一个无理数。这无穷序列可由它们的不同编号规定来加以区分。所有这些无穷序列含有元素的并集就是「在区间(0,1)中挖去可数无穷多个全部有理数」后，最后剩余的部分。这就是它们的含义。

【四、在区间(0,1)中，任意一个无理数都是用一个确定的点表示，如√2/2，完全可以用几何方法确定√2/2 对应的定点，根本不需要用无穷序列无限逼近的界限去定义，也就是说，对于区间(0,1)中任意一个无理数，都有一个确定的对应点，而这个确定的对应点对应的数值就是这个无理数，与不可数无穷多个无穷序列没有任何关系，何必多此一举呢？ 】

我所有的论述是在证明【「在区间(0,1)中挖去可数无穷多个全部有理数」，最后剩余的部分是不可数无穷多个无理数。】在整个证明中并没有如新华先生所说:【用无穷序列无限逼近的界限去定义】无理数。而是证明了「在区间(0,1)中挖去可数无穷多个全部有数」后，最后剩余的部分是不可数无穷多个序列，而每个无穷序列的并集是空集或是一个无理数，从而证明了最后剩余的是不可数个无理数。这个证明未涉及无理数的表示，与其究竟是用无穷小数丶戴德金分割丶区间套以及柯西序列䓁表示同我们的证明没有任何关系。

【五、【「在区间(0,1)中挖去可数无穷多个全部有理数」，最后剩余的部分是不可数无穷多个全部区间中的无理数。】这个【定理 5(最后结论)】，那么这些无理数是怎么能够表示出来？是离散点集？还是连续点集？ 】

我们的证明思路，是对每个无理数α构造一个编号规定，从而证明在此编号规定下形成的无穷序列中必有一项含有此无理数。这个证明同无理数的表示无关，自然也不会改变无理数的稠密性，变成离散点集。

最后新华先生提出了他自己的观奌，他认为： 

【一、无穷是有限的不断延伸，没有确定的无穷，也就是说无穷不能完成，「在区间(0,1)中挖去可数无穷多个全部有理数」是不可能的。黄汝广先就是在大前提在实无穷完成的条件下讨论的，原因或许也缘于此。 】

既然他认为，「在区间(0,1)中挖去可数无穷多个全部有理数」是不可能的。自然他们就不可能讨论诸如「在区间(0,1)中挖去可数无穷多个全部有理数」还剩余什么的问题。这个问题是实无穷观者讨论的问题。潜无穷观者无法讨论。我早己说过，集合论是建立在实无穷观的基础之上的。潜无穷观者，无法享受集合论的所有研究成果。黄汝广先生不同，他是承认实无穷观的。

【二、在黄汝广先生指出的大前提用实无穷完成的条件下「在区间(0,1)中挖去可数无穷多个全部有理数」，区间(0,1)是开集，可数无穷多个全部有理数是离散的点集，每一个点是闭集，显然可数无穷多个全部有理数集并集也是闭集，那么设为 Q，则 Q 对于区间(0,1)的补集，即区间(0,1)中所有无理数构成的集合必然应该是开集，而而且开集的端点(当然不在开集中)必然就是挖去的有理数，′既然是开集，显然不能是空集，因为虽然空集是任何集合的子集，但是在区间(0,1)中没有任何意义，更何况到目前为止，还没有发现空集用区间表示的方法，如区间(0,1) 挖去 0.5，只能表示(0,0.5)∪(0.5,1)，或者(0,1)-[ 0.5]，明知 0.5 处空，确无法用空集表示出来。】

其中说【每一个点是闭集，显然可数无穷多个全部有理数集并集也是闭集，】是严重错误的断言。

每个有理数构成一个由单独元素构成的集合，备个都是闭集这个没有错。有穷多个闭集的并集一定是闭集，也没有错。但无穷多个闭集的并集並不一定是闭集。这在点集理论中是早己用反例证明的事实。不知为何新华先生还要坚持认为可数无穷多个闭集的并集也是闭集。

由此说明，新华先生实际上並没有把【任意有穷】同【无穷】这两个概念彻㡳分清。对【任意有穷】这样的论断是对的，「在区间(0,1)中挖去任意有:穷多个有理数」，区间(0,1)是开集，有穷多个有理数每一个点是闭集，它们的并集也是闭集。那么它对于区间(0,1)的补集，即区间(0,1)中剩佘的集合必然应该是有穷个开集(开区间)。而且区间的端点必然就是挖去的有理数，

这一点部没有错，这是我们的【定理1】所严格证明的内容。但是对于【无穷】情况，即挖去可数无穷多个全部有理数时，就不对了。最后剩余的部分己不是有穷个开区间，而是不可数无穷多个由集合为项组成无穷序列，它们的并集是全部区间中的无理数。

新华先生最后说【现在问题又出来了：【「在区间(0,1)中挖去可数无穷多个全部有理数」，最后剩余的部分是不可数无穷多个全部区间中的无理数。】如果是离散的点集，那么无法证明有不可数无穷多个无理数，如是构成开区间，则每个构成开区间至少有两个不同的无理数，那么就必然存在连续（没有-隙缝）的无穷多个无理数，显然这又与实数的稠密性矛盾。】 

新华先生问【是离散的点集还是构成开区间呢？】我的回答是既不是离散的点集，也不这些无理数构成开区间。这个问题本身就是一个莫须有的问题。因为我们的证明是在区间中剩下的是全体无理数。并未改变无理数的位置及其相互的关系，这些无理数原来具有的稠密性怎么会无缘无故地变为离散点了呢？

不可数无穷多个无穷序列是稠密地分布在区间中的，它们的并集自然也是稠密地分布在区间中的。

当然更不能是构成区间，区间中必然有有理数，而这里己把所有有理数挖掉了，自然构不成区间。

(全文完)

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