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Zmn-0358 薛问天：无穷小数，这是实数表示的一种形式。评新华先生的《0349》

已有 2558 次阅读 2020-11-9 12:43 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0358 薛问天：无穷小数，这是实数表示的一种形式。评新华先生的《0349》。

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0349》新华先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

无穷小数，这是实数表示的一种形式，

评新华先生的《0349》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

薛问天-c.jpg 表达式Σ^∞_n=1x_n10^-n表示的是无穷级数x=x₁/10¹+x₂/10²+x₃/10³+...+x_n/10ⁿ+...，即无穷小数x=0.x₁x₂x₃...x_n...。它表示了区间[0,1]中的全体实数。无穷位小数是确定的实数的一种等价表示(实数的另外表示，如柯西序列、戴德金分割...等)。

(一)，新华先生说【“∞”不是数，没有确定的值，是在不断的变化之中。】这种说法不对。在极限理论中，∞表示的是无限极限。有限极限才是确定的数，无限极限不是数。序列An→∞，是说序列An随着n的增大而无限增大。变化的是序列，而不是∞。∞是个符号不是数，它根本没有值，也不在变，不是新华先生说的【是在不断的变化之中。】

另外在级数中用Σ^∞_n=1a_n表示无穷级数a₁+a₂+...+a_n+...。无穷级数x=x₁/10¹+x₂/10²+x₃/10³+...+x_n/10ⁿ+...，同无穷小数x=0.x₁x₂x₃...x_n...，是对等的概念。无穷级数后面的“⋯”省略号则表示后面无穷个加项，无穷小数后面的“⋯”省略号则表示后面无穷个位。这些项或位的无穷集都是确定的数学对象。

我们知道无穷级数的和等于级数部分和序列的极限，如果说【变化】，那是级数部分和序列随着n的增大在变化，而极限x是确定，不变的。也就是说无穷级数的和是确定的，不变的。

同样，无穷小数的值等于相应的有穷小数值序列的极限，如果说【变化】，那是有穷小数序列的值随着n的增大在变化，而极限x是确定，不变的。也就是说无穷小数的值是确定的，不变的。

而新华先生认为【x的位数在不断增加，x的值在不断变化中，实际上，表达式中的“∞”就是表示位数增加没有完成，不会结束，因而x的值必然在不断变化中，因而x也不是确定的值，因此不能称为数。】纯属潜无穷观的认识，解释不了建立在实无穷观基础之上的集合论和实数理论。换句话说，在潜无穷观的基础上建立不起现代实数理论。

(二、三)，这部分新华先生所讲的本是非常清楚的事实，对任何P进制，有理数由有穷小数和无穷循环小教组成。当然对任何进制，m位有穷小数都是有理数的一部分。

（四)，对于前述任何有穷级数，任何有穷小数來说，自然如新华先生所述【x表达的形式都可转换成分母为 10 的整数次幂的形式，因此都可以转换为10进真分数形式，因此如果是数，也只能为有理数，不包含任何无理数，而且只能占区间[0，1)中有理数的极少一部分；】这个断语是正确的，没有问题。但是对于无穷级数和无穷小数來说，这个断语就是错误的，不能成立。

(五)，新华先生说【按照极限的定义，这个无穷级数必然与其极限a相差一个无穷小，即使n→∞，只能有x=...→a，不能有x=...=a，因此，教材中“把级数和看成部分和的极限时”显然是错误的，不等于而看成等于就是错误的理解了极限理论，在逻辑上是无法解释的，完全违背了逻辑的同一性原则，因为x=...不是一个定值，是在不断变化之中的，而极限a是定值，不会有任何变化的，它们始终相差一个极限为 0 但是它是大于 0 的无穷小，因此无穷级数...和其极限a的属性不同，不能令其或看成相等，这不仅违背逻辑的同一性，也破坏了数学的严密性，】

这里新华先生混淆了「无穷级数的和」同「无穷级数的部分和」这两个不同的概念。「无穷级数的和」是当n→∞时，「无穷级数的部分和」序列的极限。因而「无穷级数的和」是那个确定的极限值。同这个极限值相差一个无穷小的不是「无穷级数的和」，而是「无穷级数的部分和」序列。

(六)

(1)，新华先生说【由于x的末尾用“⋯”，就充分说明它不是数，是变化的量，】

这个理由不充分。省略号「...」这里表示的是无穷个位。无穷位小数是确定的实数的一种等价表示(实数的另外表示，如柯西序列、戴德金分割...等)。

(2)，新华先生说【如果是无限循环小数，它的极限就是分母为含有异于 2 或 5 的因数的分数，但是并不表明无限循环小数与其极限相等，它们相差一个无穷小。】

在这里新华先生混淆了「无穷小数」同「有穷小数」序列这两个不同的概念。「无穷小数」是相应的「有穷小数」序列的极限，因而是等于该极限的。同极限相差一个无穷小的不是「无穷小数」，而是相应的「有穷小数」序列。

(3)，新华先生说【凡是分母含有异于 2 或 5 的因数的分数转换成10进小数都是无限循环小数，因为是无限的，就表明不是准确转换。......无限不循环的形式是由无理数转换而成的，也因为含有无限，表明也不是准确转换。】

由于「无穷小数」都是确定的数，无论「无限循环小数」同部分有理数的转换，还是「无限不循环小数」同无理数的转换，它们在理论上都是精确的和相等的转换。不存在【不精确转换】的问题。

(4)，新华先生说【由于是无限不循环的形式，表明没有规律可循，因此把无理数转换成无限不循环小数比求无限不循环小数的极限容易得多。因为到目前为止除了利用有理数序列极限定义无理数풆外，还没有利用极限定义定义出其它无理数。】

新华先生的眼界太狹小了。只把「循环」看作是规律。那些不是循环的规律多得很，在新华先生的眼里，难道都不是「规律」？例如求√2的无穷小数的各位数值。显然是不循环的，难道就是没有「规律」了吗？如果沒有规律，你怎么能求出各位的值。实际上对任何自然数n，都能按此规律(或称为方法)求出该无穷小数第n位小数的数值。

另外，不仅常见的e、π等无理数可以用有理数序列的极限定义，早己证明任何无理数都可由有理数序列的极限和实数序列的极限来定义:。

(七)，新华先生说【许多客观事实都表明康托尔集合论和超穷数理论是错误的，】

尽管我不认为发表自己的看法，【随便就表明别人观点是错误的是极其不负责任的，甚至是不道德的，不是探讨问题应有的态度，】恰恰相反，我认为在讨论中完全应该坦诚布公地发表自己的观点，既便是对康托尔这样的历史名家，你没想通，也可以说【康托尔集合论和超穷数理论是错误的】这样的话。

但是不要笼统地否定，而要具体地分析，你认为那点是错误的，一条一条讲出來，需要摆事实讲道理。作出你的论证，讲出的根据和理由來。

例如你说【康托尔的大基数定理，即康托尔定理（幂集定理）也是错误的，因为他证明的方法同对角线证法是同一个证法，即反证法，既违背了反证法的原则，又违反了逻辑学中的排中律，结果也必然是错误的。】

讲得就太【随意】、太简单化了。你要否定康托尔定理的对角线法的证明，就要把证明列出來具体分析，你认为是哪一步推理有问题，讲出你的道理來。为什么反证法就【违背了反证法的原则，又违反了逻辑学中的排中律。】我曾评论过各种不少否定康托尔定理对角线法，证明实数可数的文章，其中错误各式各样。不妨请新华先生把你的观点也具体写出來，看看同这些观点有何不同。

新华先生说:【点集不能解决连续性问题，由于没有连续的两个点，点不能构成连续，因此点不能构成线，虽然数轴上处处有点，而且每一个点对应一个实数，而且它们可以构成一一对应，但是也没有任何理由可以证明线就是由点构成的。】

新华先生没有讲请楚，为什么【点集不能解决连续性问题】。所说的【没有连续的两个点】是什么意思。事实上己经证明，线段上的点同实数一一对应，而且满足稠密性和完备性(即连续性)。不知新华先生要求有怎样的【理由】，才能证明【线就是由点构成的。】这些具体问题新毕先生并未作详细具体的论证，就草率作出了结论，显然显不妥当的不严格的。

(八)，新华先生讲【...实数定义就是康托尔的定义出来的，现行的实数定义是用柯西基本序列定义的，存在一数两码制，显然违背逻辑学中的同一律，是错误的。】

新华先生这里的论述过于粗糙，太随意。用有理数的柯西序列定义无理数，以及用无穷小数来定义实数，这是两种不同的但是等价的定义实数的方式。在柯西序列的定义中，有可能不同的序列定义相同的无理数(极限相同)。只是在无穷小数的定义中，对于有穷小数才存在一数两码的问题。即任何有穷小数都有尾数是无穷个0 和无穷个9 的两种表示形式。这个一数两码的问题，必要时完全可以用规定令其相等，或者规定只允许一种表示的方法來解决，并不影响同实数的一一对应，更不会【违背逻辑学中的同一律】，一数两码不会产生任何矛盾，只有两数一码才会产生矛盾。因而不能认为这种实数的定义【是错误的】。

新华先生【错误理解了极限理论】，认为【按照极限理论，除了常数序列的极限可达，其它的极限都不可达，】我们知道当n→∞时序列An→α，由于∞不是数，n不可能达到∞。这是正确的，但是并未规定「对所有的n，不允许An=a」。也就是说，极限理论是允许序列的某些项An=a的。所谓【极限不可达】，是说序列并无最后一项，并无最后一个时刻，此时序列A_∞=a。在这个意义下，常数序列也是不可达的。因为常数序列也没有最后一项。

新华先生说【康托尔不仅认为极限可达，还在没有任何理论的基础为依据，把ω当成自然数序列的极限，】

这是对康托理论的误解，康托尔并没有【认为极限可达】，也没有【把ω当成自然数序列的极限】。实无穷观的康托尔集合论并不是认为为无穷序列的【极限可达】，而是认为「无穷集合是一个确定的集合，一个确定的数学对象」。超穷序数ω并不是定义为【自然数序列的极限】，而是定义为「全体自然数的集合」。我不知道新华先生的这些错误的论断是哪里來的，我建议新华先生学习数学要查阅概念的正式定义，而不是凭自己的理解和想象。更不能用通俗读物上的直观比喻作为数学论述的依据。

当然，新华先生在此误解的基础上得出的结论【由于实无穷概念建立在错误的基础上，其它一切涉及实无穷的理论和结论都是错误的。】就是武断的错误，不能成立。

结论

新华先生混淆了有穷级数及有穷小数同无穷级数及无穷小数的区别。

有穷级数及有穷小数，只表示了区间[0，1]中有理数中分母为 10 的整数次幂的真分数，即区间 [0，1]部分有理数。而无穷级数及无穷小数，除表示了区间[0，1]中的呈现为无限循环小数的有理数外，还表示了呈现为无限不循环小数的全体无理数。无限循环小数和无限不循环小数，它们并不是【值在不断变化中的变量】，而是确定的数。它们表示出区间[0，1]中的所有实数。

(全文完)

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