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Zmn-0344 薛问天：人类受时空有限的限制，如何认识无穷对象？评林益先生《0343》的十个论点
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Zmn-0344 薛问天：人类受时空有限的限制，如何认识无穷对象？评林益先生《0343》的十个论点。
【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0343》林益先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
人类受时空有限的限制，如何认识无穷对象？
评林益先生《0343》的十个论点。
薛问天
。
林益先生说【数学是一门逻辑非常缜密的学科。可惜我不懂逻辑，只是对数学很感兴趣。数学理论是来自实践的，我只能通过实例来理解数学概念。】
林益先生说这段话，说明他对人类的认知过程的认识是片面的。只强调实践而忽视了逻辑推理。在人类的认知过程中，实践和推理是两个缺一不可的环节，只有实践没有推理是不可能认识世界的。认知过程就是通过感性提高到理性的过程。这是人类区别于其它动物的重要属性。不通过逻辑推理，只通过实践，就不可能有数学，甚至不可能有任何科学理论。【实践是检验真理的唯一标准】，这个命题并不是说实线就是认知过程的全部，也并不否认逻辑推理在认知过程的重要作用。绝不能有重实践而轻理论的片面认识。不要忘记那个年代凭手茧上大学的不尊重知识，不尊重科学的极左的教训。
(1)，如何在无穷集合的无穷多个元素间建立一一对应关系？
林益先生说【还没有见过】，似乎没有【见过】就要否认它的存在。我问你，你见过秦始皇吗？你能否认秦始皇的存在吗？要知道人是很聪明的，现代人没有可能见到秦始皇，但是通过文献考古等历史知识，通过学习丶思维和逻辑推理就可以知道确实有秦始皇的存在。
对于无穷集和无穷集间的一一对应关系，也是一样。我多次说过，由于人受时空限制，不可能把无穷集的元素，全部呈现在你的面前，你确实【没有见过】，但是通过思维推理，知道自然数可以由0经有穷次的后继运算而得到，那么【所有】的自然数就构成一个集合。在我们的思维逻辑中有【所有】这个量词，可以表达这个概念，于是就表达了这个无穷集的存在。在公理集合论中还专门有一条公理来规范这个认识。
人类的每次推理只能使用有限的语言，有限的推理步，那么如何处理无限集的元素和关系呢？
当然人很聪明，有办法。例如给定一个无穷序列An，并不要求把序列的所有元素都列出来，只要给出一种方法，这种方法对任何n能保证有唯一确定的An存在，就可以了。而这种方法可以用有限的语言表达。例如偶数序列，我们可以用An=2n來表达，并不需要把全部偶数都列举出来，就可以认为给定了偶数无穷序列。
无穷集的一一对应关系也同样，并不需要把这种对应关系全部列出来，只要给出一种对全部元素都适用的对应方法即可。例如上述自然数集同偶数集的一一对应关系，只要给出对于所有的自然数n，对应于An=2n，给出这个对应方法即可。
(2)，全体自然数集合是无穷集。
林益先生说:【康托尔的可列集定义就是可列集的元素能够与自然数集合中自然数构成一一对应，既然每一个自然数都是确定的、有限的，因此，对应关系中两个集合对应的元素必然也是有限的，因为没有无穷的自然数。】
这个说法不对，尽管【每一个自然数都是确定的、有限的，】和【没有无穷的自然数。】这很对。但是，所有自然数构成的集合是无穷集，有无穷多个自然数。因而证明一个集合是可列的，必须是证明它与全体自然数这个无穷集合的无穷多个元素间建立一一对应关系。当然证明并不需要把全部的这种对应关系都罗列出來，只要给出一种对应方法即可*。
(3)，关于一一对应定义链的回溯图
林益先生问这张图中箭头的含义。这是一张定义链的回溯图。箭头是代表定义回溯的意思。例如由「一一对应」指向「双射」，是指在一一对应的定义中用到双射，要了解一一对应的含义必须先要知道什么是双射。再例如由「双射」指向「映射」，是指在双射的定义中用到映射，要了解双射的含义必须先要知道什么是映射。又例如由「映射」指向「关系」，是指在映射的定义中用到关系，要了解映射的含义必须先要知道什么是关系。余此类推，可以对照旁边的具体定义内容一直回溯下去，直到回溯到原始概念「集合」。「集合」是原始概念没有定义，它的确切含义由集合论的公理或原则来规约。在数学中任何概念，都不能按它的名称的字面含义來随意理解，而要按它的定义链，一步步回溯弄清它的确切含义。那些用查汉语词典，來了解一一对应作为汉语词汇的字面含义的语义学方法來学习数学，是绝对错误的。我反复强调上数学课不是上语文课。
(4)，关于人类对无穷对象的表达丶推理和认知。
由于人类受时空的限制，只能用有限的语言和符号表达亊物，只能用有限的推理步来进行推理。那么人类是否就不能表达和认知无穷对象了呢？
答案是否定的。人类很聪明，不要低估了人类的文明。
「所有自然数的集合」，这只有8个字，是有限的语言，却能表达全体自然数这个无穷集。皮亚诺公理，只有五个公理，每个公理都只有有限个字來表达。但是关于自然数这个无穷集合的任何属性都可以由此有限个字表达的公理，经有限步的推理推导出來。
因而林益先生所说的【任意一个确定的自然数都是有限的，因此只能在有限的范围内运用。】和【既然康托尔引入序数、基数的概念，显然也应该适用于有限的范围。】是不符合事实的，是低估了人类的认知能力。所有自然数的集合是无穷集，人类可以通过推理认识这个无穷集的各种属性。康托尔的理论中有超穷序数和超穷序数，绝对不是限制在只【适用于有限的范围】，而是适用于所有的无穷集合的广阔天地。
(5)，关于全体无理数同全体自然数集合的一一对应。
首先林益说【康托尔的一一对应也没有严格定义】，这是错的。一一对应有严格的定义，详见上述定义链图。定义是非常严格的。怎么能说【没有严格定义】。
林益先生列出了一张关于全体无理数同全体自然数集合7的一一对应图，先把0与所有的正负有理数列出，，任何有理数都可表示为0或±m/n的形式，它先列出0，然后以分子m由左小到右大的方式，分母n由上小下大的方式逐个顺次列出了全部正负有理数。然后用箭头标出自然数同它的一一对应。先自然数0对应于有理数0，接着下个自然数1对应于其箭头所指的有理数1。下个自然数2 对应于其箭头所指的数有理数1/2，下个自然数3对应于其箭头所指的有理数-1/2。下个自然数4对应于其箭头所指的有理数-1(图上笔误漏掉一个向上的箭头)。余此类推。也就是说按这样的规律，下个自然数对应于其箭头在图中所指的有理数。当然图没有列出所有的有理数，但是给出了一个画图的方法，凭林益先生的智商，无论m和n有多大，我相信林益先生都可以顺利的画出含有有理数±m/n的图來，从而计算出是哪个自然数与其对应。当然如果m和n很大，这张图很大，但理论上总是可以画出來的。当然如果林益先生有空，也可以动动脑筋，总结出它的规律，不用画图而直接换算出來。我相信这完全可能。也就是画出的这张图，己经给出了自然数到有理数的映射，而且也表明此映射是单射和满射，即是一个双射。给出了一个符合定义的一一对应。只是没有写完整，读者可以不难把它补齐。
林益先生说【如何在无穷的情况下一一对应，到目前为止，还没有发现定义和具体的实例。至少说如何表达无穷情况下的两个元素的对应关系表达式没有见过，见过的都是有限条件下的确定的有限元素一一对应的表达式。如何推广到无穷情况下的，对于我这个无知的人，还没有见过严格的推理和证明，】
我前面谈过证明两个无穷集一一对应并不需要把全部的这种对应关系都罗列出來，只要给出一种对应方法即可。例如证明自然数集同偶数集一一对应，并不需要也下可能把全部无穷个元素的对应关系列出來，只要给出它的对应方法:对任何′自然数n对应于偶数An=2n即可。其实这种对应也不一定非要有个表达式，只要有有对应的方法，保证对每个自然数都有唯一确定的对应元素即可。当然还要保证这种映射是满足:无重复(单射)和无遗漏(满射)条件的双射。
在很多情况下，证明只给出了有限个自然的对应关系，那是由于作者相信读者可以从此有限个对应中总结出对任何自然数成立的对应方法。这种总结一般这都不难。我相信凭林益先生的这么高的智商，完全可以由这有限个对应中总结出对任何自然数都适应的对应方法来。不是不能也而是不为也。读者看书不能总是抱怨作者由于认为简单或显然而未写全，而应主动动脑筋补齐作者未写全的部分，达到正确理解作者的写作意图。这也是一般看书的习惯。末写全不等于错，只有未写全而不能正确补齐，甚至引起矛盾才能认为是作者的推论有错误。
(6)，关于基数的定义。
林益先生讲:【我的理解是：因为只能从定义中体现两个集合基数相等还是不相等，并没有表明什么是基数，因为一个集合就应该有基数，不需要于另外一个集合的基数进行比较，这只能算两个集合关系的定理，而不是一个集合基数的定义。敬请薛问天老师能给出一个集合基数确切的定义，一个集合也应该有基数的。 】
林益先生说的对，我在基数定义中只定义了什么叫两个集合的基数相等，什么叫两个集合的基数不相等。即只定义了集合间的一个关系叫【基数相等】，并没有定义由所有基数构成的【基数数系】。
基数数系可以这样定义。第一步可证集合间的【基教相等】是等价关系。
【定义(等价关系)】一个关系~称为是等价关系，如果满足
(1，自反律)，对任何x，x~x。
(2，对称律)，对任何x y若x~y，则y~ⅹ。
(3，传递律) ，对任诃x,y,z，x~y，且y~z。则x~z。
等二步在所有集合中由【基数相等】的等价笑系形成的等价类即构成【基数数系】。 (注。由序数中所有极限序数定义的基数数系同此定义的基数数系可证明是等价的。)
(7)，一个逻辑错误。
林益先生说【七、薛问天老师给的〖【性质 1（基数不变性）：集合的元素不增不减时，集合的基数不变的】似乎也不合理，我可以利用康托尔的集合论理论举一个反例：区间[0，2]的基数为:2ℵ0。
将区间[0，2]去掉一半(1，2]成为区间[0，1],显然元素减少了，难道区间[0，1]基数变化了吗？按照康托尔连续统假设，的基数不还是 c= 2ℵ0吗？集合的元素的增减有时也不影响基数。 】
林益先生在这里犯了一个逻辑错误。这里是说【集合的元素不增不减时，集合的基数不变】，并不意味着【集合的元素有增有减时，集合的基数一定要变】。而林益先生反驳的是后者，而后者并不是我们的观点，他在逻辑上搞错了，错误地以为前者成立必定后者成立。犯了逻辑的错误，实际上我们强调的正是，对于无穷集来说，当增加或減少有穷个甚至可数无穷个元素时，如果结果还是无穷集，则它的基数不会改变。
(8)，有穷多个闭集的并集并不一定是闭集
林益先生说【八、薛问天老师给的〖如下的命题【「在区间(0,1)中挖去全部无穷个有理数点」，结果是「剩余有穷个开区间。」】并不成立。〗我也不理解：区间(0,1)中的任意一个有理数是闭集，因为所有无穷多个有理数点是离散的，显然无穷个有理数点的并集也是闭集， 开集与闭集的差集应该是开集，当然不是有穷个开区间，而是无穷多个开区间，我一直怀疑，真能把区间(0,1)中挖去全部无穷个有理数点」吗？自然数在通过+1 不断延伸，区间(0,1)有理数必然随着自然数通过+1 不断延伸也不断延伸，既然没有最大自然数，如何能把(0,1)中有理数点都挖去呢？】
这段话里有几个错误。
①，断言【区间(0,1)中的任意一个有理数是闭集，因为所有无穷多个有理数点是离散的，显然无穷个有理数点的并集也是闭集，】是错误的。我己在《0342》 中明确指出「每个有理数构成一个由单独元素构成的集合，每个都是闭集这个没有错。有穷多个闭集的并集一定是闭集，也没有错。但无穷多个闭集的并集並不一定是闭集。」说它一定是闭集就错了。
②，因而由此所得出的推论: 剩余的部分【是无穷多个开区间】也是错误的。实际是，我们证明了「在区间(0,1)中挖去可数无穷多个全部有理数」后，最后剩余的部分中有不可数无穷多个无穷序列，而每个无穷序列的并集是空集或是一个无理数，从而证明了最后剩余的有不可数个无理数。
③，林益先生顽固坚持潜无穷观，怀疑【既然没有最大自然数，如何能把(0,1)中有理数点都挖去呢？】的观点早已应该抛弃。自然数没有最大数只是目然数集的一个特有的属性，並不影响全体自然数集是一个确定的集合，也不影响把它从区间中全部挖去! 不管它有没有最大数，作为一个集合，不容置疑当然可以从区间中全部挖掉。
(9)，关于对角线法。
林益先生说:【九、〖康托尔的对角线法证明的是单位区问(0,1)中的实数不可数，即所有【无穷小数】不可数。康托尔的对角线法是实施在所有【无穷小数】上的。〗既然涉及【无穷小数】，就说明必然涉及无穷，而无穷是有始无终的（薛问天老师的原话），必然是不确定的，虽然极限是确定，但是没有取极限的过程，而单位区问(0,1)中的任意一个实数都是确定的值，因此其表示的点也是确定的，用不确定的【无穷小数】去证明确定的点的势，本身就存在不能一一对应的问题，因此，很难有令人信服的理由。。在有限位中比较，如何形成无穷位的，既然有始无终，如何完成 b 的构造的，显然p有任何定理来保证。因此怀疑康托尔的对角线法证明的是单位区问(0,1)中的实数不可数是否正确是不奇怪的。】
林益先生的基本论点就是【无穷是有始无终的（薛问天老师的原话），必然是不确定的，】【用不确定的【无穷小数】去证明确定的点的势，本身就存在不能一一对应的问题，因此，很难有令人信服的理由。】
林益先生的错误在于他坚持潛无穷观，把无穷小数看作是【必然是不确定的。】这其实是一个错误的看法。按实无穷观，无穷小数是一个确定的数学对象，【有始无终】，【没有最大位】，【没有第无穷位】，这只是这个确定对象不同于有穷小数的一个属性，并不影响无穷小数是一个确定的对象。有穷小数是有穷位集{1,2,3,...,n｝→｛0,1｝的映射，而无穷小数是全体自然数集N→｛0,1｝的映射，是确定的数学对象。
林益先生对对p角线方法的理解【在有限位中比较，如何形成无穷位的，既然有始无终，如何完成 b 的构造的，显然没有任何定理来保证。】
对角线方法生成的b是无穷小数，并不是有穷小数。并不是【在有限位中比较】，而是严格地生成了无穷小数，而且用推理证明了，序列中的任何无穷小数都不等于b。从而b不属于该无穷序列。认为是【没有任何定理来保证。】显然不符合事实。
关于无穷小数的生成和给定，我在前面己经讲过多次，并不需要把所有的无穷多位全部列出，呈现在你面前，而是提供一种方法，保证对任何n，都有唯一确定的第n位的值(0或1)存在即可。证明两个无穷小数a≠b ，也只需要证明存在一个n，使第n位小数an≠bn即可。并不需要把无穷小数各位全部列出。
(10)，关于数学分析和集合论。
集合论是各门数学学科的基础，所谓基础，就是要对对学科中的各种概念再作更一步深入的研究，使其概念更加清晰，基础更加坚固。说什么数学分分析与集合论的【冲突】，这是完全不符合实际的，也不符合集合论的初衷。
原有的数学分析是建立在区间和距离之上的，自从点集论引入了点集的测度使得积分概更加清晰，区分出实际上有不同的积分概念，这使人们对数学分分析有了更加深入的理解，使数学分析建立在更加坚实的基础之上。【冲突】论歪曲了这一切，是相当有害的。
林益先生说【没有任何表示薛问天老师的观点存在错误】。其实大可不必如此讲，我们完全可以坦诚公开地讨论间题，你认为我的哪些观点是错误的，完全可以开诚布公的大胆指出。不要有任何顾虑。林益先生可能在比较保守压仰的环境下呆的时间长了，谨小慎微。其实我们在学校的学术环境是相当自由开放的，你说我错我说你错是常有的事，认错就改，不认错就辩论 ，争个面红而赤，这有什么不好，不分师生，大家都挺高兴。这是真诚的友谊！
林益先生说【随便就表明别人观点是错误的是极其不负责任的，甚至是不道德的，不是探讨问题应有的态度，】
我不同意这种观点。什么叫【在没有统一看法之前】。学术讨论达到共识，有统一看法往往需要很长时间，有时还需耍后人评说，难道在此之前我们就不能表达自己的看法了吗？
我同林益的观点刚好相反，我认为隐藏自己的观点，说假话，明知错误不敢反对，还要伪善地迎合，这才是【极其不负责任的，甚至是不道德的，不是探讨问题应有的态度】。
林益先生说得有一定道理，【在探讨问题的栏目里不应该存在一个唯一的判官，谁也没有能力充当这个资格，】实际上，在我们的专栏中，也并没有指定哪位撰稿人是判官。但是我相信由于我们倡导的是「摆事实，讲道理。」在我们争论的各种意见中，总会有一种意见是正确的。所以可以这么说，不是【不存在判官】，而是【判官就存在于我们专栏的网友中。】谁的意见正确，讲的符合事实，推论得有道理，有说服力。谁就在这一轮讨讨论中【充当了判官的资格】。当然，这个临时问题的判官，不是自封的，而是公认的。另外也不可能绝对正确。遇到冤假错案不仅要纠正还需要道歉。
我同林益的观点不同，我认为不要惧怕争议，真理愈辩愈明，争论是科学发展的动力。世界上的最新成果也是在争议中成长的，不了解争议就不会真正了解成果的真缔。人们的认识的长进实际上是在不断克服错误树立正确的过程中成长的。下可能纯而又纯地只接爱正确的知识。正因为如此。这才体现了我们《专栏》的【价值和意义】。
(全文完)
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