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Zmn-0363 薛问天：∞是无限极限的符号，评林益先生《0360》

已有 3846 次阅读 2020-11-18 09:41 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0363 薛问天：∞是无限极限的符号，评林益先生《0360》

【编者按。下面是薛问天先生发来的文章。是对《Zmn-0360》林益先生文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

∞是无限极限的符号，

评林益先生《0360》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

。

（一）无限极限的定义

对于有限极限，有明确的定义。如果序列(整序变量) 收敛，它的极限是a，记作【当n→∞时，An→a。】这个极限是确定的实数a。对无限极限，也有明确规定。当序列An是无限增大(有严格定义)的序列时，称其为无穷大序列。也称此序列An的极限是无穷大，並记作【当n→∞时，An→∞。】序列An的极限是无穷大的严格定义是: 对任何充分大的数E，都存在有数N，使得当n＞N时，有An＞E。这同有限极限An→a的定义不同，有限极限是确定的实数a。而∞不是数，它只是表示无限极限的符号。∞没有值，当然不会处在【不断地变化之中】。变化的是序列An，是整序变量，不是符号本身和它的值(∞没有值)。关于这点我们可以查阅一下有关教材。同济的《高等数学》第35页是这样陈述的。

这里的用语是【我们也说"函数的极限是无穷大"】，实际上这就是无限极限的定义(约定)。

例如2¹+2²+2³+2⁴+... 。是发散级数，它的部分和序列是Sn=2¹+2²+...+2ⁿ。当n→∞时没有有限极限。但当n→∞时，Sn→∞，所以说此部分和序列的极限是无穷大。

(二)，关于√2的历史，

我没有考查过这个历史。不过人们对√2的认识，肯定有个过程。我想作为单位正方形的边长，可能是人类在很早很早以前就知道了。当知道这个边长等于2的平方根√2，那就是勾股弦定理发现以后的事。当人们认识到它不能同单位1共度这个事实，那又是认识的一个飞跃。至于认识到它是无理数，形成有理数同无理数共同组成实数的理论，肯定又是后來发生的事实。总之人类对√2这个数的认识有个逐步深入的认识过程。当时把它称作什么，这得去查数学史。

(三)，逻辑关系和历史前后关系的不同。

理论系统之间有逻辑关系，例如极限理论是微积分学的基础。实数理论又是极限理论的基础，而集合论又是实数理论的基础。这是从理论系统的逻辑关系上看的。但是从数学发展的历史上看，并不是基础理论就一定先出现，实际上往往是后出现，发现理论的基础不稳固，才去研究它的基础。于是从数学史上看，先有微积分再有极限理论，实数理论和集合论。当然先有的积分(第一代微积分)并不完善，有了极限理论后，微积分才最后成熟(二代微积分)。所以这是个相辅相成不断完善的过程。极限理论同实数理论的关系也应如此。我没有仔细考察过数学史。不过我相信这是个非常复杂有趣的过程。人类对这些数学理论的认识，达到现代这个程度，是经过一个不断改进，不断完善和不断提高的认识过程的。至于具体的发展过程是怎样的，要确切地回答林益先生所提的问题，不能靠逻辑推理，要仔细地考查实际的数学发展史的详情事实后才能作出回答。

(四)，从逻辑上讲，实数理论并不以极限理论为基础。

例如用有理数的戴德金分割，区间套等不用极限理论就可以定义无理数，构成完整的实数理论。相反，极限理论必须以实数作为基础，极限值就是确定的实数。

(全文完)

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